2025高考數(shù)學二輪復(fù)習-函數(shù)與不等式171-180-專項訓練【含答案】

【例34】若正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______________.【答案】或【解析】令，則，由均值不等式得，即，解得，所以等價于在上恒成立，所以，解得或.【例35】已知正實數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】.【解析】解法1：由得,由得，即，由均值不等式，得，所以.解法2：由，可將視為方程的兩個正根，故，所以解法3：由，且，設(shè)則所以.【例36】已知，若，且，則實數(shù)的取值范圍是______【答案】.【解析】因為，故，在平面直角坐標系中作出可行域（圖略），由線性規(guī)劃知識得.由得，解得【例37】已知不等式對于任意的及恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】.【解析】由得，又，所以.所以，所以.【例38】已知，且滿足，則的取值范圍是______.【答案】【解析】其中，可以視為可行域內(nèi)的點與點連線的斜率，可得，故.十四、齊次整式，構(gòu)造分式對于已知式和所求式均為齊次式的問題，其通法是把這兩式分別作為分子和分母構(gòu)成齊次分式，并同時除以一個字母的最高次數(shù)，化為單變元函數(shù)，從而求得最值.【例1】實數(shù)滿足，設(shè)，求的最值.【解析】解法1：注意到所給條件與所求問題均是二次齊次式，故可構(gòu)造一個新的分式齊次式.令，則.因為，所以，即的最大值為，最小值為.解法2：由得，即,整理得，，即，解得說明：這里整體消去，通過代換化歸為以為主元的二次方程是關(guān)鍵.解法3：注意到所給條件與所求問題的系數(shù)相等，且含有交叉項，故可考慮雙變元換元.令則原問題轉(zhuǎn)化為：實數(shù)滿足，設(shè)，求的最值.此時可看成是橢圓上一點到橢圓中心的距離問題，故顯然有所以解法4：所給條件與所求問題均是二次齊次型，也可用三角代換法.令則原問題轉(zhuǎn)化為：實數(shù)滿足，設(shè)，求的最值.由于，所以解法5：也可考慮用基本不等式放縮法.由得，一方面，由得，則，另一方面，止得則.所以變式訓練1.已知實數(shù)滿足，設(shè)，求的取值范圍.2.已知實數(shù)滿足，設(shè)，求的取值范圍.【例2】若，求的最大值.【解析】令，則令，則，整理得，，即，得，即所以的最大值為160.【評注】本題也可以用三角代換，令變式訓練若，求的取值范圍.十五、條件最值，合理搭配【例1】已知，且，求的最小值.【解析】因為，且，所以【評注】用柯西不等式更快變式訓練1.若為正實數(shù)，且，求的最小值.2.已知，且，求的最小值.3.若，求的最小值，并求的值.【例2】已知，求的最小值.【解析】，當且僅當，即時，上式取等號，故.變式訓練已知，求的最小值.拓展提升已知，求的最小值.【例3】已知正數(shù)滿足，求的最小值.【解析】解法1：利用均值不等式，當且僅當即時等號成立，故的最小值是18.解法2：消元法由得，由得，又，所以，則當且僅當，即時等號成立.故的最小值是18.解法3：三角換元法令則有則，易求得當時等號成立.故的最小值是18.解法4：用柯西不等式法更快..故的最小值是18.【評注】此類問題是學生求解易錯的一類題目，普遍有這樣一種錯誤的求解方法：錯誤原因是等號成立的條件不一致.變式訓練1.已知，且，求的最小值.2.已知，且，求的最小值.3.已知，且，求的最小值.【例4】已知，求函數(shù)的最小值.【解析】因為，所以所以當且僅當，即時，上式取等號，故.變式訓練已知，求函數(shù)的是小值.【例5】若，且，求的最大值.【解析】設(shè)，則，【例6】已知關(guān)于的不等式的解集為.求實數(shù)的值；求的最大值.【解析】（1）由，得，則，解得.（2）原式，當且僅當，即時等號成立，故變式訓練已知，函數(shù)的最小值為4.求的值；求的最小值.【例7】求函數(shù)的最值.【解析】由題意知注意到與的和為定值，則有當且僅當，即時取等號，又，所以，故，當時變式訓練1.求函數(shù)的取值范圍.2.求函數(shù)的取值范圍.3.求函數(shù)的取值范圍.4.求函數(shù)的取值范圍.5.求函數(shù)的取值范圍.6.求函數(shù)的取值范圍.7.求函數(shù)的取值范圍.【例8】已知，且，求的最大值.【解析】當且僅當，即時等號成立.故的最大值是.【評注】利用均值不等式求幾個正數(shù)積的最大值，關(guān)鍵在于構(gòu)造條件，使其和為常數(shù)，通常要通過乘以或除以常數(shù)、拆因式(常常是拆高次的式子)、平方等方式進行構(gòu)造.本題也可將納入根號內(nèi)，即將所求式化為，先配系數(shù)，再運用均值不等式的變式，也可巧用柯西不等式，請讀者自行嘗試.【例9】求函數(shù)的最大值.【解析】因為，所以，則，欲求的最大值，可先求的最大值.,當且僅當,即時,不等式中的等號成立，故此函數(shù)最大值是.【評注】本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”,為利用基本不等式創(chuàng)造了條件.總之，我們利用基本不等式求最值時，一定要注意“ー正二定三相等”，同時還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式.變式訓練1.已知，求函數(shù)的最大值.2.已知為正實數(shù)，，求函數(shù)最大值.