2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-拉檔提分數(shù)列01-10-專項訓(xùn)練【含答案】

第一章等差等比,題型梳理—、等差數(shù)列,經(jīng)典題例1、緊扣定義，活用公式【例1】設(shè)是等差數(shù)列，前項和為，已知，，若,求的值.【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，，得方程組，解得，，故由，，得方程解得或（舍）,所以.【評注】本題用一般通項公式解更快捷：【概念梳理】等差數(shù)列的通項公式：，；公差公式：，且當時，是一個一次函數(shù).【例2】設(shè)，數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則.【答案】21【解析】由題設(shè)知，，因為是奇函數(shù)，所以有對稱性，又，所以，故有【評注】抓住奇函數(shù)及等差數(shù)列的性質(zhì)特征是破解關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】已知數(shù)列中，，，若是等差數(shù)列，則等于（）A. B. C. D.2、等差和式，形式多變【例3】已知數(shù)列是等差數(shù)列，，，則此數(shù)列的前20項和等于（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】因為是等差數(shù)列，所以，又，，所以，所以所以，故選B.【評注】靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì).【規(guī)律探索】等差數(shù)列中，如果，則，特別的，當時，，是的等差中項.【例4】已知一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和.【解析】解法1：由等差數(shù)列性質(zhì)知：成等差數(shù)列，設(shè)其公差為則其數(shù)列前10項的和為：，即將代入上式得，故解法2：由于，，則，又，故解法3：設(shè)數(shù)列的公差為，由于，故數(shù)列是等差數(shù)列，公差為則，且，將已知數(shù)值代入上式，消去，可得解法4：設(shè)等差數(shù)列的前項和為由，，得，解得，則故，【規(guī)律探索】①等差數(shù)列等距和仍成等差數(shù)列，即等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即成等差數(shù)列.②若是等差數(shù)列，公差為，則是公差為的等差數(shù)列.【變式訓(xùn)練】設(shè)為實數(shù)，首項為，公差為的等差數(shù)列的前項和，且滿足（1）若，求及；（2）求的取值范圍.【例5】一個等差數(shù)列的前12項和為354，前12項中偶數(shù)項和與奇數(shù)項和之比為，則公差為.【答案】5【解析】，由題設(shè)得：，即，所以，所以所以【評注】（1）等差數(shù)列的奇數(shù)項和與偶數(shù)項和有重要性質(zhì)：（2）本題巧妙運用合分比定理使運算簡捷快速.【變式訓(xùn)練】1、一個等差數(shù)列共有項，其奇數(shù)項之和為305，偶數(shù)項之和為276，則此數(shù)列第項為（）A. B. C. D.2、一個等差數(shù)列共有10項，其偶數(shù)項之和為15，奇數(shù)項之和為12.5，，則它的首項與公差分別是（）A. B. C. D.3、等差性質(zhì)，靈活運用【例6】已知數(shù)列是等差數(shù)列.若前四項和為21，末四項和為67，且前項和為286，求；若，，求；若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為44，偶數(shù)項和為33，求數(shù)列的中間項和項數(shù).【解析】（1）依題意知，，所以，所以因為（2）因為成等差數(shù)列。所以（3）設(shè)項數(shù)為，則奇數(shù)項有項，偶數(shù)項有項，中間項為，則，，所以，中間項為，項數(shù)為7項.【評注】等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活運用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題.對稱項倒序和是破招要領(lǐng).【規(guī)律探索】①；②若是偶數(shù)，則；③若是奇數(shù)，則（中間項）【例7】若等差數(shù)列、的前項和分別是，且，則的值為（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列、的公差分別是，則，故選C.【評注】靈活運用等差數(shù)列求和公式很重要，學(xué)會變式運用.【規(guī)律探索】若和均為等差數(shù)列，且前項和分別是與，則【變式訓(xùn)練】1、已知兩等差數(shù)列、的前項和分別是與，且，則的值為（）A. B. C. D.2、已知兩等差數(shù)列的前項和為30，前項和為100，則它的前項和為（）A. B. C. D.4、和式特征，二次函數(shù)【例8】設(shè)等差數(shù)列的前項和是，已知，，.（1）求公差的取值范圍；（2）指出中哪一個值最大，并說明理由.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的首項為，公差為，由已知有將代入兩個不等式，消去得解得（2）解法1：由由（1）知，，可知，所以中最大的是解法2：，，得，所以所以最大.解法3：，二次函數(shù)的對稱軸方程為，由于所以，所以當時，最大.【評注】本題解法3充分利用了等差數(shù)列前項和的二次函數(shù)特征，結(jié)合圖像即得，快速有效.【規(guī)律探索】等差數(shù)列的前項和公式：（似梯形面積公式）；（二次函數(shù)型）；，當時，它是一個二次函數(shù)，由于其常數(shù)項為零，所以圖其像過原點；等差數(shù)列通項直線零點與前項和拋物線對稱軸之差為0.5，如圖，即【變式訓(xùn)練】已知等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列前多少項的和最小？已知在等差數(shù)列中，，若，則當數(shù)列的前項和取得最大值時，.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則當取得最大值時，的值為（）A. B. C. D.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A. B. C. D.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，且它的前項和為有最大值，則使得的的最大值為（） B. C. D.5、證明等差，回到定義【例9】已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達式.【解析】（1）因為，又，，又因為，所以.由等差數(shù)列的定義知數(shù)列是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列.由（1）知，則當時，有，又因為，不適合上式，所以【評注】等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而通項公式法和前項和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷.判定等差數(shù)列可以有五種特征形式，但證明等差數(shù)列必須回到定義式.【規(guī)律探索】判定等差數(shù)列的有五種特征形式：定義式：；定義變式：；遞推式：；通項一次特征：；和式二次特征：【變式訓(xùn)練】1、已知數(shù)列中，，，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列中的最大項和最小項，并說明理由.2、已知數(shù)列的前項和為，且滿足,（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求的表達式.6、數(shù)列最值，差商比值【例10】已知數(shù)列滿足，它的前項和為，且，若，求數(shù)列前項和的最小值.【解析】解法1：因為，所以是等差數(shù)列.設(shè)的首項為，公差為，由，，得所以所以則由題意因為，所以，數(shù)列前項為負值.所以最小，又可知，，所以解法2：同解法1求出因為，所以當時，有最小值，且最小值為【評注】已知是等差數(shù)列，求前項和的最值時，若，，且滿足，則前項和最大；若，，且滿足，則前項和最小.【例11】設(shè)等差數(shù)列滿足，且它的前項和有最大值，則當數(shù)列的前項和取得最大值時，正整數(shù)的值為（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，由題意知，，，，，故，選D.【評注】本題解法靈活，對和式進行了適當變形.【規(guī)律探索】【變式訓(xùn)練】1、在等差數(shù)列中，，它的前項和為.（1）求的最小值，并求出取最小值時的值；（2）求.2、在數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.7、正項求和，分段討論【例12】已知數(shù)列的前項和為滿足求的通項公式；求的前項和【解析】（1）當時，；當時，，故（2）由可知，當時，；當時，，當時，；當時，；所以【評注】數(shù)列絕對值項求和，必須分類討論找到正負項的分界項，然后用分段函數(shù)表示.8、抽象數(shù)列，拓展提