2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-排列組合+概率統(tǒng)計21-30-專項訓(xùn)練【含答案】

由乘法原理知故不同的分組方法有60種.【例52】將6本不同的書按照下列不同的要求進行操作，求不同要求下的分法種數(shù).（1） 平均分成三堆；（2） 分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本；（3） 平均分給甲、乙、丙三人；（4） 甲得1本，乙得2本，丙得3本；（5） —人得1本,一人得2本,一人得3本.【解析】（1）將6本書平均分成三堆，不需要考慮順序.故有答：共有15種不同的分法.（2） 由于三堆書的本數(shù)各不相同，所以直接分組后，不會出現(xiàn)相同的分法.故有答：共有60種不同的分法.（3） 先將書平均分成三堆，再分給甲、乙、丙三人，故有答：共有90種不同的分法.（4） 實際上和（2）的問題是等價的.故有答：共有60種不同的分法.（5） 由于誰得1本、2本、3本未定，所以除了要將書作非平均分組外，還要再乘以故有答：共有360種不同的分法.【評注】（1）和（2）是分組問題；（3）、（4）、（5）是分配問題；（1） 是平均分組問題，是無序的，要將直接分組后的結(jié)果除以組數(shù)的全排列數(shù)；（2） 是非平均分組，按規(guī)定中的各組中元素的個數(shù)，直接分組即可；（3） 是平均分配問題，將（1）中的平均分組數(shù)再乘以組數(shù)的全排列數(shù)；（4） 是確定了方案的非平均分配問題，（2）中的非平均分組數(shù)即是本小題的非平均分配數(shù)；（5） 是無確定方案的非平均分配問題，將（2）中的非平均分組數(shù)乘以組數(shù)的全排列數(shù)，即為非平均分配數(shù).八、異元進盒，先堆后排對于將不同的元素放入幾個不同的盒子內(nèi)的問題，當有的盒子內(nèi)有不少于2個元素時，不可分批放入（同一盒子內(nèi)的球必須一次性放入），必須先分堆再放入.對于排列與組合的混合問題，宜先用組合選取元素，再進行排列（簡稱：排組混合、先選后排）.【例53】4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子內(nèi)，則恰有1個空盒子的放法有種.【答案】144.【解析】因為恰有1個空盒子，故必有1個盒子內(nèi)有2個小球（同一盒子內(nèi)的球是組合），而不同的球放入不同的盒子是排列，因此，這是一個排列與組合的混合問題.可先從4個球中選出2個球，有種.把這2個球視為1個球與其余2個球一共3個球分別排入4個盒子內(nèi)，有種.由乘法原理知.故恰有1個空盒子的放法有144種.【評注】同一盒子內(nèi)的球必須一次性排入.【例54】將這4個球放入編號為的3個盒子中，每個盒子中至少放1個球，且這2個球不能放在同一個盒子中，則不同的放法有（）.A.15種 B.18種 C.30種 D.36種【答案】.【解析】因為是4個球放入3個盒子，故必有1個盒子內(nèi)有2個小球.可先從4個球中選出2個球綁在一起，有種，并把這兩個球視為1個球與其余2個球共3個球，分別排入3個盒子內(nèi)，有種，然后減去同盒的情況，即種.共有【例55】5個老師分配到3個班里搞活動，每班至少1人,不同的分法有種.【答案】150.【解析】先把5位老師分成3組，有兩類：①3個班的老師數(shù)分別為1,1,3時，有種；②3個班的老師數(shù)分別為1,2,2時，有種.再將分組后的老師安排到3個班里，有種.由加法、乘法原理知故不同的分法有150種.【評注】不同的老師不可分批進入同一個班，須一次性到位（類似同一盒內(nèi)的元素必須一次性進入），否則會產(chǎn)生重復(fù)計數(shù).【例56】5個老師分配到3個班里搞活動，不同的分法有種.【答案】243.【解析】分五步，每步分1個老師到3個班里均有3種，故5個老師分到3個班里，共有35=243（種）.【例57】有3個班級（每個班級的人數(shù)多于5人），從這3個班級里選5個人組成科技小組，每班至少有1人，不同的分法有種.【答案】6.【解析】將5個人視為5個相同的小球，5個小球排成一排，用2塊擋板去插入，得3部分，即3個不同的班級，有種.【變式訓(xùn)練9】從3個班級（每個班級的人數(shù)多于5人）里選5個人組成科技小組，不同的選法有種.從3個箱子（每個箱子里的球足夠多）里選8個小球，每個箱子至少選2個小球，不同的選法有種.【例58】某旅館剩余三人間、兩人間、單人間三種房間各一間，有三個成人帶兩個小孩子來此住宿小孩子不宜單住一間（必須有成人陪同），則不同的住宿方法有（ ）.A.35種 B.27種 C.21種 D.18種【答案】.【解析】成人用“大"表示，小孩子用“小"表示，按每個房間所住的客人情況可分為四類:（小大），（小大），（大），此種情況有種；（小小大），（大），（大），此種情況有種；（小大大），（小大），（空），此種情況有種；（小小大），（大大），（空），此種情況有種.由加法原理得故不同的住宿方法有27種.【例59】用填入圖14的方格內(nèi)，使折疊成的正方體相對的面上數(shù)字之和均相等的概率為.【答案】.【解析】滿足要求的三個相對的面的數(shù)字組合為（1,6）,（2,5）,（3,4）,選定三個位置C,D,F,將其全排列可得每個小格可以從每個數(shù)字組合中的2個數(shù)字中選1個，則有種.由乘法原理可知，符合條件的種數(shù)為，又全部排列的種數(shù)為，,故概率為?九、同元進盒，擋板分隔將無編號元素分堆或裝進盒子，由于沒有編號容易導(dǎo)致重復(fù)計數(shù)，故對于相同元素裝進同一個盒子的問題，必須先分堆，再將球一并放入盒內(nèi)，一般宜用擋板分隔法.【例60】從5個班級中選10人組成?；@球隊，每個班級至少選1人，則不同的選法有種.【答案】126.【解析】這里只是選人員而已，與順序無關(guān)，故可把10個人看成10個相同的小球放入5個不同的盒子內(nèi)，每個盒子至少有1個小球.可先把10個小球排成一列，再在其中的9個間隙中選4個位置插入4塊擋板，分成5個部分，有種方法.【評注】擋板分隔模型專門對付同種元素的分配問題.【變式訓(xùn)練10】從5個班級(每個班級的人數(shù)多于10人)中選10個人組成校足球隊，則不同的選法有種.從5個班級(每個班級的人數(shù)多于15人)中選15個人組成校足球隊，每班至少選2個人，則不同的選法有種.【例61】有10塊糖，每天至少吃1塊，不同的吃法有種.【答案】512.【解析】按吃糖的天數(shù)分類，并用擋板法，可得不同的吃法有(種).【例62】的展開式有多少項？【解析】多項式展開后的各單項式次數(shù)和都為10,故問題轉(zhuǎn)化為10個相同的球放入4個不同的盒內(nèi)，有幾種不同的放法，即10個球與3塊擋板的排列，故有項.【例63】已知集合,,映射滿足,則滿足條件的映射有種.【答案】84.【解析】把集合中的元素按從小到大的順序排列，然后用擋板插入即可.由于定序，故相當于6個相同的球放入4個盒子，且允許有空盒，故有(種).【變式訓(xùn)練11】1.已知集合,,映射為滿射，且,則滿足條件的映射有種.2.集合,從到的映射滿足：①；②'的象只有2個.這樣的映射有個.【例64】甲、乙兩隊各出7名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋比賽，雙方由1號隊員開始比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員比賽，直到一方隊員全被淘汰為止,則所有可能出現(xiàn)的比賽過程有種.【答案】3432.【解析】解法1若甲隊取勝，比賽結(jié)果可能的比分是，，，,，，，.若比分為，則只有1個過程；若比分為，則共8場，乙隊在前7場中勝1場，有種不同的過程；若比分為，則共9場，乙隊在前8場中勝2場，有種不同的過程；若比分為，則共10場，乙隊在前9場中勝3場，有種不同的過程；所以甲隊取勝的過程種數(shù)是：類似乙隊取勝也有同樣的過程數(shù)，故不同的比賽過程共有（種）.解法2設(shè)每個隊員勝利得1分，失敗不得分，甲隊每個隊員的得分分別為：，如果獲勝，則必有.因為，故有類似乙隊取勝也有同樣的過程數(shù)，故不同的比賽過程共有（種）.解法3對14個隊員排位，由于是團體比賽，故與個體順序無關(guān)，只要甲隊或乙隊位置選定，另一隊也定了，故共有（種）.十、兩類元排，組合選位“兩類元排”是指所討論的問題只涉及兩類元素的排列，一般宜用組合選位法，即只要用組合思想在所排列的位置上選出其中的一類元素的位置即可.【例65】有10級樓梯，要求7步跨完，且每步最多跨2級,不同的跨法有種.【答案】35.【解析】由題意知，有4步跨1級、3步跨2級，這是兩類不同元素的排列，所以只要在7步中任意選3步跨2級即可，答案為（種）.【評注】兩類元素的排列問題涉及面很廣，應(yīng)予以重視.【例66】有3面紅旗，2面黃旗，全都升上一根旗桿作信號，可組成不同的信號有種.【答案】10.【解析】從一根旗桿上的5個位置中，選2個位置放黃旗，其余3個位置放紅旗，可知有（種）.【例67】沿圖15中的網(wǎng)格線從頂點A到頂點B，最短的路線有條.【答案】35.【解析】將問題轉(zhuǎn)化為豎與橫的兩類元素的排列，故有（條）.【例68】從5個班（每班人數(shù)多于10人）中選10人組成?；@球隊，每班至少選1人，則不同的選法有種.【答案】126.【解析】反過來考慮相當于把10個球分到5個盒子內(nèi)，且每個盒子內(nèi)至少有1個球.用4塊擋板作間隔，分別插入上述10個球構(gòu)成的9個間隔中（不包含兩頭），有（種）.【例69】從5個班（每班人數(shù)多于10人）中選10人組成?；@球隊，則不同的選法有種.【答案】1001.【解析】這里是10個球與4塊擋板的排列問題，故有（種）.【評注】本題與上題的不同之處在于不一定每個班都選到，有可能選自同一個班，也有可能選自2個班，故要先將元素增加5個，再用擋板分割.【例70】4個人站在正方形的四個頂點上傳球（只傳給同一條邊上的人），經(jīng)過8次傳球后，球又回到了原地,則不同的傳球方法有種.【答案】128.【解析】記順時針傳一次為-1，逆時針傳一次為1，代數(shù)和為4的倍數(shù)時，球恰在原地.代數(shù)和為0時，有4個-1，4個1共種；代數(shù)和為4時，有2個-1，共種（代數(shù)和為-4的結(jié)果也是；代數(shù)和為8時，有0個-1,共種（代數(shù)和為-8的結(jié)果也是；由于，故不同的傳球方法有128種.【例71】三個人站在三角形的三個頂點上傳球，經(jīng)過5次傳球后，球又回到了徐地，則不同的傳球方法有種.【答案】10.【解析】記順時針傳一次為-1，逆時針傳一次為1，則可知代數(shù)和為3的倍數(shù)時，球恰在原地.①代數(shù)和為3時，有1個-1，共種；②代數(shù)和為-3時，有1個1，共種.又，故不同的傳球方法有10種.【例72】三個人站在三角形的三個頂點上傳球，在11次傳球后，球恰在原地，則共有幾種不同的傳法？【解析】記順時針傳一次為-1，逆時針傳一次為1，則可知代數(shù)和為3的倍數(shù)時，球恰在原地.當代數(shù)和為3或-3時，有4個-1或1，結(jié)果均有種；當代數(shù)和為0或6時，不可能，因為總數(shù)是奇數(shù)11；當代數(shù)和為9或-9時，有1個-1或1,結(jié)果均有種.又，故不同的傳球方法有682種.【例73】現(xiàn)有兩堆木箱，灰色有5個，白色有3個，如圖16所示，工人隨機將其一個個地搬上車，不同的搬法有種.【答案】56.【解析】灰色木箱用5個灰球表示，白色木箱用3個白球表示，則完成一次搬運任務(wù)就對應(yīng)一次灰白球的排列.只要在8個位置中選3個放白球，其余5個位置放5個灰球，則有（種）.【變式訓(xùn)練12】現(xiàn)有兩堆木箱，5個黑色，3個白色，2個灰色，如圖17所示，工人隨機將其一個個地搬上車，不同的搬法有種.【例74】有網(wǎng)格線（條豎線和條橫線組成的），如圖18所示，以網(wǎng)格線為邊的矩形中的正方形概率是種.【答案】【解析】按邊長為：分類，則能組成矩形中正方形的概率為【例75】投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正反面出現(xiàn)的概率都是，這樣反復(fù)投擲，數(shù)列定義如下:，若，則事件“”的概率為.【答案】【解析】說明前8次中有3次是-1，5次是1，故概率【例76】已知集合，在其4元子集中，任意2個元素的差的絕對值都不為1,這樣的4元子集有個.（用數(shù)字作答）【答案】2380【解析】由題意知，的元素是不相鄰的，故需從1，2，3,???，20中選出4個不相鄰的元素.可看作有16個球排成一行，包括首尾2個空位共有17個位置，在17個位置中插入4塊擋板，所以有.故滿足題意的子集個數(shù)為2380個.【例77】從1，2，3,,???,14中按由小到大的順序取出且，則符合條件的不同取法有種.【答案】120【解析】先看成將無編號小球進行排位，除外，再取出2個，剩余9個小球，產(chǎn)生10個空位，插入3個位置，有，再在中間兩個各放1個球.故不同取法有120種.【例78】已知組有7人，編號1—7，組有7人，編號1—7，兩組進行一對一淘汰賽，比賽結(jié)果有種.【答案】120【解析】將勝利用紅球表示，失敗用黑球表示，則有7個紅球，7個黑球，將這14個球進行排列，每種比賽結(jié)果對應(yīng)1種紅黑球排列，可得比賽結(jié)果有04=3432（種）【例79】將3個相同的黑球和3個相同的白球自左向右排成一排，從任何一個位置（含該位置）開始向左數(shù)，黑球個數(shù)總不少于白球個數(shù)的概率為.【答案】【解析】根據(jù)題意，滿足題意的情形有以下兩類：如圖19所示，虛線框中有1個黑球2個白球時，有3種；如圖20所示，虛線框中有1個白球1個黑球時，有2種.故所求概率為.【例80】圖21中所示的是在豎直平面內(nèi)的一個“信道游戲”，圖中豎直線段和斜線段都表示信道,并且在交點處相通,若豎直線段有1條的為第一層，有兩條的為第二層，依次類推，現(xiàn)有1顆小彈子從第一層的信道里向下運動.求：該小彈子落入第四層第二個豎直通道的概率(從左向右數(shù))；猜想小彈子落入第層的第個信道里的概率；該小彈子落入第乃層第個豎直通道的概率與該小彈子落入第層第個豎直通道的概率之和.【解析】記第層第個豎直通道為.因為在交點處小彈子向左或向右是等可能的，所以彈子落入的路徑只有1條，落入的路徑有3條，落入的路徑有3條，落入的路徑有1條，故所求的概率設(shè)小彈子落入的概率為,根據(jù)楊輝三角的特點可猜想，所求的概率因為,所以,即,所以所求的概率之和等于小彈子落入第層第個豎直通道的概率的2倍，即十一、序號個數(shù)，填滿分隔對于個數(shù)不少于盒子編號數(shù)的入盒排列，一般宜先按要求填滿盒子，再對剩余的球用擋板分隔法.【例81】15個相同的小球放入編號為1,2,3的盒子內(nèi)，盒子內(nèi)的小球數(shù)不小于編號數(shù)，則不同的放法有種.【答案】55【解析】由于小球是相同的，故先用6個小球按編號數(shù)“填滿"各盒子(符合最低要求)，再把9個小球放入3個盒子內(nèi)即可.可用2塊擋板與9個球一起排列(即為兩類元素的排列問題)，可得故符合題意的不同放法有55種.【評注】個數(shù)不小于盒子編號數(shù)，用填滿分隔法.十二、正難則反，間接處理對于某些排列組合問題的正面情況較復(fù)雜，而其反面情況較簡單時，可先進行無限制條件的排列，再減去其反面情況的總數(shù).【例82】編號為1,2,3,4,5的五個人入座編號也為1,2,3,4,5的五個座位，至多有兩個人對號入座的坐法有種.【答案】109【解析】問題的正面有三種情況：全不對號、有且僅有一人對號、有且僅有兩人對號，且每種情況均較難處理，而反面只有