2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-三角函數(shù)與平面向量1-10-專項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

第一章三角基礎(chǔ)，牢固掌握三角函數(shù)的一切問題都源于三角函數(shù)的定義，而定義的本質(zhì)都在單位圓中的三角函數(shù)線上得到體現(xiàn).我們把單位圓比喻為三角函數(shù)的“母親”，當(dāng)我們遇到困難時(shí)，首先想到的是“母親”，因此，當(dāng)我們?cè)诮鉀Q三角問題遇到障礙時(shí)，應(yīng)首先想到單位圓中的三角函數(shù)線.一、三角線段，靈活應(yīng)用（一）函數(shù)值的大小比較【例1】若為銳角,則的大小關(guān)系為【答案】【解析】令其中,因?yàn)?所以因?yàn)樗运浴疽?guī)律探索】若為銳角,則如圖,在單位圓中,，即所以【例2】若則A. B. C. D.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，排除當(dāng)時(shí)排除故選【變式訓(xùn)練】1.若則的大小關(guān)系為2.若則（）A. B. C. D.3.若則的取值范圍是（）A. B. C. D.【拓展提升】滿足的所有正整數(shù)的和是【例3】若則（）A.B.C.D.【答案】 【解析】因?yàn)樗砸驗(yàn)樗怨蔬x【例4】關(guān)于的不等式的解集為【答案】【解析】解得,所以【拓展提升】如圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁按逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是（）.【例5】如果，，那么的取值范圍是【答案】【解析】不等式等價(jià)于又是上的增函數(shù),所以,故.因?yàn)樗缘娜≈捣秶牵ǘ┖瘮?shù)定義域的確定【例6】函數(shù)的定義域是【答案】【解析】由題意得即如圖,取公共部分,即得.【變式訓(xùn)練】1.函數(shù)的定義域是2.函數(shù)的定義域是3.函數(shù)的定義域是【拓展提升】1.的定義域是值域是2.的定義域是值域是（三）求值計(jì)算，符號(hào)為上【例7】已知?jiǎng)t【答案】【解析】解法1:由得,則是方程的兩根，該方程可化為解得.又所以從而.所以.解法2:由得從而得,所以【變式訓(xùn)練】已知?jiǎng)t【例8】已知是三角形的內(nèi)角,則的取值范圍是【答案】【解析】設(shè),則因?yàn)樗栽O(shè)則區(qū)為,所以【例9】已知?jiǎng)t【答案】3或【解析】因?yàn)榱顒t,化簡(jiǎn)得即,解得或.【例10】已知直線與直線的交點(diǎn)在直線線上,則【答案】0【解析】由已知條件，可設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，則適合關(guān)于的方程,即為方程的兩根.因此,即【變式訓(xùn)練】1.已知?jiǎng)t的值為.A.B.C.D.2.已知?jiǎng)t的值為.A.B.C.或D.3.已知為第二象限角，且那么的取值范圍是（）A.B.C.D.4.定義一種運(yùn)算且，則的最大值是（）A.B.C.D.【例11】已知為銳角則與的函數(shù)關(guān)系為【答案】【解析】令，則原題等價(jià)于：已知為銳角,為鈍角,則與的函數(shù)關(guān)系為因?yàn)樗杂傻?則所以又所以【例12】已知矩形的邊,,為邊上一動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，線段的長(zhǎng)為（）A.1或3B.1.5或2.5C.2D.3【答案】C【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系,則.設(shè)則(1)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),此時(shí)為銳角.(2)當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),此時(shí)取大,即所求線段的長(zhǎng)為2.故選C.【評(píng)注】當(dāng)過點(diǎn)的圓與軸相切于點(diǎn)時(shí)，最大.【例13】如圖，在屏幕之間坐標(biāo)系中，是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線與射線交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),記且求的最大值.【解析】解析則再令則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.經(jīng)驗(yàn)證等號(hào)可以取到,所以面積的最大值為.二、多角化歸，求值計(jì)算當(dāng)所求代數(shù)式中出現(xiàn)多個(gè)非特殊角時(shí)，破解思路為將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角，或分子、分母相消，從而得到常數(shù).（一）切割化弦，作角化歸【例14】的值為【答案】1【解析】【變式訓(xùn)練】求的值.【例15】的值為【答案】【解析】【變式訓(xùn)練】的值為【例16】的值為【答案】32【解析】【變式訓(xùn)練】求的值（二）多角并存，湊角化歸【例17】的值為【答案】【解析】【例18】的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】故選【例19】的值為【答案】【解析】【例20】已知若求【解析】由得,從而由上例計(jì)算可知.三、兩弦齊次，構(gòu)造求值對(duì)于三角函數(shù)齊次整式型代數(shù)式的計(jì)算，除了可以用高次降冪、和積互化，還可以利用余弦定理的幾何背景進(jìn)行構(gòu)造，從而快速求值.【例21】求的值.【解析】解法1：構(gòu)造右圖，設(shè)圓的直徑,則由余弦定理得：由正弦定理得:所以即原式.解法2：【變式訓(xùn)練】1.求的值.2.求的值.【例22】若關(guān)于的方程組有實(shí)數(shù)解，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【解析】將條件中的兩式