信息必刷卷01（新高考Ⅱ卷專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷含解析

信息必刷卷01（新高考Ⅱ卷專用）-2025年高考數(shù)學(xué)考前信息必刷卷絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷01（新高考Ⅱ卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動向：新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單）+3（多選題）+3（填空題）+5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數(shù)學(xué)思維能力，難度較大。高考·新考法：“八省”整體思想分析大方向2025年第五批高考綜合改革省、自治區(qū)將要首考落地，適應(yīng)性測試卷結(jié)合這些省區(qū)的實(shí)際情況，在結(jié)構(gòu)、考查內(nèi)容和要求上進(jìn)行了合理設(shè)計(jì)。試卷立足高考內(nèi)容改革，遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，重點(diǎn)考查必備知識、能力和核心素養(yǎng)，強(qiáng)化基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求。試卷堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，深化基礎(chǔ)考查焦學(xué)科主干知識，突出考查思維過程與方法，體現(xiàn)了重視思維、關(guān)注應(yīng)用、鼓勵創(chuàng)新的指導(dǎo)思想，助力拔新人才選拔。命題·大預(yù)測：本套試卷圍繞高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容設(shè)計(jì)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)和實(shí)際生活，在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上力求創(chuàng)新，在注重基礎(chǔ)知識、基本能力的同時，凸顯了綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性。巧設(shè)三角函數(shù)與存在、任意性問題，強(qiáng)調(diào)綜合性。第14題將三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式恒成立問題等融合在一起設(shè)題，試題區(qū)分度高，具有較好的選拔功能。概率與集合結(jié)合，體現(xiàn)創(chuàng)新性。第18題結(jié)合新定義集合的劃分考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和創(chuàng)新性。（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．3．已知向量滿足，，則（

）A．2 B． C．4 D．4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過上一點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．25 B．16 C．9 D．46．已知滿足，，則（

）A． B． C． D．7．已知動直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若線段上一點(diǎn)滿足，且，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，，若，則（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．1984年至2024年歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的獎牌數(shù)（單位：枚）如表所示，則下列說法正確的是（

）年份金牌數(shù)銀牌數(shù)銅牌數(shù)獎牌總數(shù)1984158932198851112281992162216541996162212502000281614582004321714632008482230100201239312292201626182670202138321989202440272491A．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的金牌數(shù)的中位數(shù)是32B．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銀牌數(shù)的眾數(shù)是22C．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銅牌數(shù)的平均數(shù)是18D．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的獎牌總數(shù)的第60百分位數(shù)是6310．已知是定義在上的奇函數(shù)，是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C． D．當(dāng)時，11．如圖，正三棱柱的所有棱長均為4，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．三棱錐的體積為B．若為的中點(diǎn)，則到平面的距離為C．的周長的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡的長度為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．展開式中的系數(shù)為.13．已知分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且，若的面積為，則．14．已知函數(shù)圖象的對稱軸為直線，若存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，不等式恒成立，則當(dāng)取得最大值時，．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的面積為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為且．(1)求；(2)設(shè)的平分線交于點(diǎn)，若，，求的長．16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上（異于點(diǎn)）一點(diǎn)，且．(1)若，為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．17．（15分）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，求的值；(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（17分）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，，且，那么稱子集族為集合的一個劃分．已知集合．(1)若．①寫出集合的所有3劃分；②從集合的所有劃分中任取一個，求這個劃分恰好為3劃分的概率．(2)設(shè)集合為集合的非空子集，隨機(jī)變量表示子集中的最大元素．若，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（17分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，求證：為定值；(3)已知點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，直線是在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是上異于點(diǎn)的動點(diǎn)，且過點(diǎn)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線交于兩點(diǎn)，定義為雙曲線在點(diǎn)處的切割比，記為，求切割比．絕密★啟用前2025年高考考前信息必刷卷01（新高考Ⅱ卷）數(shù)學(xué)考情速遞高考·新動向：新的試題模式與原模式相比變化較大，考試題型為8（單）+3（多選題）+3（填空題）+5（解答題），其中單選題的題量不變，多選題、填空題、解答題各減少1題，多選題由原來的0分、2分、5分三種得分變?yōu)椤安糠诌x對得部分分，滿分6分”，填空題每題仍為5分，總分15分，解答題變?yōu)?題，分值依次為13分、15分、15分、17分、17分。函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不再是壓軸類型，甚至有可能是第一道大題，增加的新定義的壓軸題，以新舊知識材料為主來考察考生的數(shù)學(xué)思維能力，難度較大。高考·新考法：“八省”整體思想分析大方向2025年第五批高考綜合改革省、自治區(qū)將要首考落地，適應(yīng)性測試卷結(jié)合這些省區(qū)的實(shí)際情況，在結(jié)構(gòu)、考查內(nèi)容和要求上進(jìn)行了合理設(shè)計(jì)。試卷立足高考內(nèi)容改革，遵循課程標(biāo)準(zhǔn)，重點(diǎn)考查必備知識、能力和核心素養(yǎng)，強(qiáng)化基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性的考查要求。試卷堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向，深化基礎(chǔ)考查焦學(xué)科主干知識，突出考查思維過程與方法，體現(xiàn)了重視思維、關(guān)注應(yīng)用、鼓勵創(chuàng)新的指導(dǎo)思想，助力拔新人才選拔。命題·大預(yù)測：本套試卷圍繞高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容設(shè)計(jì)，結(jié)合學(xué)生的學(xué)習(xí)和實(shí)際生活，在穩(wěn)定的基礎(chǔ)上力求創(chuàng)新，在注重基礎(chǔ)知識、基本能力的同時，凸顯了綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性。巧設(shè)三角函數(shù)與存在、任意性問題，強(qiáng)調(diào)綜合性。第14題將三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式恒成立問題等融合在一起設(shè)題，試題區(qū)分度高，具有較好的選拔功能。概率與集合結(jié)合，體現(xiàn)創(chuàng)新性。第18題結(jié)合新定義集合的劃分考查古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和創(chuàng)新性。（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全集及補(bǔ)集寫出集合A即可.【詳解】由題知，由，得．故選：C2．若復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法及共軛復(fù)數(shù)定義可得，即可判斷對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】因?yàn)?，所以，所以在?fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：B3．已知向量滿足，，則（

）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知有，應(yīng)用向量的數(shù)量積運(yùn)算律得方程求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以．故選：A4．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過上一點(diǎn)作于點(diǎn)，若，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】可用兩種方法進(jìn)行求解，方法一利用拋物線定義及題設(shè)條件可得是等邊三角形，從而可求得值；方法二，設(shè)，利用的勾股定理，以及拋物線的焦半徑，聯(lián)立方程組，利用待定系數(shù)法即可求得值.【詳解】解：方法一：連接，由拋物線定義可得，因?yàn)?，所以是邊長為4的等邊三角形．

如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，又，所以，所以．方法二：設(shè)與軸的交點(diǎn)為，則，設(shè)，在中，，即①，又②，聯(lián)立方程組①②，解得：，；所以．故選：C．5．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．25 B．16 C．9 D．4【答案】D【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，（也可由等差數(shù)列的性質(zhì)得，得）解得，又，所以，解得或．因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以．故選：D6．已知滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用兩角和（差）的正弦公式即可求得結(jié)果.【詳解】由題得，（觀察所求式發(fā)現(xiàn)，結(jié)合條件可知需要先求得的值）因?yàn)?，所以，則．故選：C．7．已知動直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若線段上一點(diǎn)滿足，且，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：根據(jù)題設(shè)有、且，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求軌跡方程；法二：設(shè)，由的坐標(biāo)表示及已知求軌跡方程.【詳解】法一：設(shè)，若為原點(diǎn)，由，得，因?yàn)樵趫A上，所以，連接，

由，得，故，故動點(diǎn)的軌跡方程為．法二：設(shè)，則由，得，得，①②同時平方并相加，得．又在圓上，，所以，得，故動點(diǎn)的軌跡方程為．故選：A8．已知函數(shù)，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】已知函數(shù)寫出的表達(dá)式，根據(jù)換底公式得，利用作差法得，進(jìn)而得解.【詳解】由，得，，，因?yàn)?，則，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．1984年至2024年歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的獎牌數(shù)（單位：枚）如表所示，則下列說法正確的是（

）年份金牌數(shù)銀牌數(shù)銅牌數(shù)獎牌總數(shù)1984158932198851112281992162216541996162212502000281614582004321714632008482230100201239312292201626182670202138321989202440272491A．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的金牌數(shù)的中位數(shù)是32B．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銀牌數(shù)的眾數(shù)是22C．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銅牌數(shù)的平均數(shù)是18D．歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的獎牌總數(shù)的第60百分位數(shù)是63【答案】BC【分析】根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的數(shù)據(jù)，利用樣本的數(shù)字特征的定義以及百分位數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A：將歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的金牌數(shù)按從小到大排序：．可得中位數(shù)為，A不正確．對于B：歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銀牌數(shù)中，出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)為，B正確．對于C：歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的銅牌數(shù)的平均數(shù)為，C正確．對于D：將歷屆夏季奧運(yùn)會中國獲得的獎牌總數(shù)按從小到大排序：，．因?yàn)?，所以第百分位?shù)是從小到大排序后的第7個數(shù)，D不正確．故選：BC10．已知是定義在上的奇函數(shù)，是奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞減C． D．當(dāng)時，【答案】ABD【分析】根據(jù)題設(shè)得，進(jìn)而有，結(jié)合已知區(qū)間單調(diào)性，即可判斷A、B；將自變量代入，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求函數(shù)值判斷C；由得，再由即可判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，令，得，以代替得，再以代替得，正確．對于B：由知，在上單調(diào)性與在上相同，由題意，在上單調(diào)遞減，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又函數(shù)的圖象連續(xù)，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，正確．對于C：因?yàn)椋?，即，所以，不正確．對于D：當(dāng)時，，所以，，所以當(dāng)時，，正確．故選：ABD11．如圖，正三棱柱的所有棱長均為4，點(diǎn)在棱上運(yùn)動，點(diǎn)在四邊形內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動，則下列結(jié)論正確的是（

）

A．三棱錐的體積為B．若為的中點(diǎn)，則到平面的距離為C．的周長的最小值為D．若，則點(diǎn)的軌跡的長度為【答案】ACD【分析】利用等體積法求出體積及點(diǎn)到平面的距離判斷AB；將側(cè)面和側(cè)面沿展開到一個平面內(nèi)，求出長判斷C；求出點(diǎn)的軌跡長度判斷D.【詳解】正三棱柱的所有棱長均為4，對于A，點(diǎn)到平面的距離即為正邊上的高，則，A正確；對于B，在中，，由為的中點(diǎn)，得，的面積為，由選項(xiàng)A得三棱錐的體積為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，B錯誤；對于C，將正三棱柱的側(cè)面和側(cè)面沿展開到一個平面內(nèi)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，，又，因此的周長的最小值為，C正確；

對于D，取的中點(diǎn)，連接，由三棱柱是正三棱柱，得側(cè)面，，連接，由，得，因此點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的半圓弧，點(diǎn)的軌跡的長度為，D正確.故選：ACD

第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．展開式中的系數(shù)為.【答案】【分析】變換，根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算得到答案.【詳解】的展開式的通項(xiàng)為：，，取和，計(jì)算得到系數(shù)為：.故答案為：.13．已知分別是離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)且，若的面積為，則．【答案】2【分析】解法一：由離心率得，，設(shè)，，結(jié)合橢圓定義及題干求得，，然后利用等比三角形面積列式求得，即可得解；解法二：由離心率得，，設(shè)，，，結(jié)合橢圓定義及題干，利用余弦定理得，利用面積公式列式求解即可.【詳解】解法一：由題得，所以，，設(shè)，，則，由題知，將代入，得，解得，故，所以是等邊三角形，故，得，得．解法二：由題得，所以，，設(shè)，，，則，，由余弦定理得，故，得．故答案為：214．已知函數(shù)圖象的對稱軸為直線，若存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，不等式恒成立，則當(dāng)取得最大值時，．【答案】【分析】利用相鄰的兩對稱軸或兩對稱中心之間的距離是，任意兩對稱軸或兩對稱中心之間的距離為，其中為三角函數(shù)的最小正周期．得到函數(shù)解析式為，再利用恒成立問題的轉(zhuǎn)化即可求的結(jié)果.【詳解】設(shè)的最小正周期為，易知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，因?yàn)閳D象的對稱軸為直線，所以，，又，所以，所以，直線是圖象的一條對稱軸，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，所以．存在?shí)數(shù)，使得對于任意的，不等式恒成立,即存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的恒成立，（該不等式中，將視為未知數(shù)，視為常數(shù)，解關(guān)于的不等式即可）則對應(yīng)方程的根的判別式，即，可得，可得，解得，當(dāng)取得最大值時，，，所以，所以．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）在中，內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)的面積為，分別以為邊長的正三角形的面積依次為且．(1)求；(2)設(shè)的平分線交于點(diǎn)，若，，求的長．【答案】(1)；(2).【分析】（1）應(yīng)用三角形面積公式化簡，結(jié)合余弦定理及三角形面積公式求，（2）法一：由（1）及三角形的面積公式及的大小得到，結(jié)合余弦定理求，進(jìn)而求；法二：由（1）得，邊角關(guān)系得，進(jìn)而求.【詳解】（1）由題意，，，（2分）則．由余弦定理得，所以，（4分）又，所以，（5分）則，又，所以．（6分）（2）法一：由（1）知，又，所以，所以，所以．（8分）由余弦定理可得，得，，（10分）所以，所以，在中．（13分）法二：由（1）知，，整理得，（8分）由正弦定理得，（9分）又，所以，因?yàn)椋?，由，，得．?1分）在中，.（13分）16．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上（異于點(diǎn)）一點(diǎn)，且．(1)若，為的中點(diǎn)，求證：平面；(2)若異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）先根據(jù)線線位置關(guān)系判斷點(diǎn)的位置，取的中點(diǎn)，連接，利用平行四邊形性質(zhì)得，進(jìn)而利用線面平行的判定定理證平面即可；解法二：建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及平面的一個法向量，利用向量法證明位置關(guān)系；（2）利用異面直線所成角的余弦值的向量公式列式求出的長，進(jìn)而求出平面、平面的法向量，利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)，解法一：在平面四邊形中，由，得，由，，，得，解得，即，（1分）所以為的中點(diǎn)且，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，（3分）因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?分）解法二：因?yàn)槠矫妫?，所以兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，（2分）所以，又，所以，解得，故．（3分）易知平面的一個法向量為，因?yàn)椋?，又平面，所以平面．?分）（2）由（1）中解法二，則，，，，（7分）所以，．設(shè)異面直線與所成的角為，則，得．（9分）則，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得．（11分）設(shè)平面的法向量為，則，得，取，得．（13分）設(shè)二面角的平面角為，觀察圖形可知為銳角，所以，即二面角的余弦值為．（15分）17．（15分）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，求的值；(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)0或或4；(2).【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，再將問題化為僅有一個解，討論參數(shù)a，求范圍；（2）根據(jù)題設(shè)有恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求右側(cè)的最大值，即可得范圍.【詳解】（1）由題知，則，（2分）又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，（3分）因?yàn)樵撉芯€與的圖象有且只有一個交點(diǎn)，所以方程僅有一個解，即僅有一個解，（5分）當(dāng)時，方程可化為，僅有一個解，滿足題意；當(dāng)時，由，得，解得或．（7分）綜上，的值為0或或4．（8分）（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以恒成立，由（1）知，故恒成立，所以，（11分）令，，則，（12分）當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，（14分）則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（15分）18．（17分）定義：如果集合存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集，，且，那么稱子集族為集合的一個劃分．已知集合．(1)若．①寫出集合的所有3劃分；②從集合的所有劃分中任取一個，求這個劃分恰好為3劃分的概率．(2)設(shè)集合為集合的非空子集，隨機(jī)變量表示子集中的最大元素．若，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】(1)①答案見解析；②(2)分布列見解析，【分析】（1）①按集合劃分的定義寫出所有3劃分即可；②分別計(jì)算2劃分、3劃分和4劃分的個數(shù)，再用古典概型的概率計(jì)算公式求概率．（2）根據(jù)題意，利用集合子集的個數(shù)得，根據(jù)已知得，再寫出分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可．【詳解】（1）當(dāng)時，①集合的所有3劃分為；；；；；．（4分）②集合的2劃分的個數(shù)為；3劃分的個數(shù)為6；4劃分只有1個，所以集合的所有劃分共有14個．（7分）設(shè)從集合的所有劃分中任取一個，這個劃分恰好為3劃分為事件，則．（9分）（2）集合的非空子集的個數(shù)為，所以集合共有種可能．當(dāng)時，最大元素為的子集可視為集合的子集與集合的并集，而集合的子集個數(shù)為，所以，所以，（11分）可得，解得．（12分）所以隨機(jī)變量的所有可能取值為，則，，，，，（15分）隨機(jī)變量的分布列為12345故．（17分）（17分）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為，求證：為定值；(3)已知點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，直線是在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是上異于點(diǎn)的動點(diǎn)，且過點(diǎn)與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）平行的直線交于兩點(diǎn)，定義為雙曲線在點(diǎn)處的切割比，記為，求切割比．【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)求的值，寫出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出根與系數(shù)的關(guān)系，求出的值，（3）先求出切線方程，結(jié)合兩直線方程求出，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式求出、，根據(jù)切割比定義求解.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的右焦點(diǎn)為，所以，所以的離心率為，所以，，（3分）故的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）（2）由（1）知，由題意知的斜率不為0，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程，得，得，所以，，，（7分）所以，得證．（9分）（3）由題意知，顯然在點(diǎn)處的切線的斜率存在，設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為，即，代入，消去得，因?yàn)榕c相切，所以，解得．所以在點(diǎn)處的切線方程為．（11分）易知直線的斜率，可設(shè)直線的方程為，，．由方程組，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以．（13分）由方程組，消去可得，則，所以，，所以，同理可得，（15分）所以，（16分）所以，即．（17分）2025年高考考前信息必刷卷01（新高考Ⅱ卷）數(shù)學(xué)·參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．12345678CBACDCAD二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BCABDACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13．214．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）【詳解】（1）由題意，，，（2分）則．由余弦定理得，所以，（4分）又，所以，（5分）則，又，所以．（6分）（2）法一：由（1）知，又，所以，所以，所以．（8分）由余弦定理可得，得，，（10分）所以，所以，在中．（13分）法二：由（1）知，，整理得，（8分）由正弦定理得，（9分）又，所以，因?yàn)?，所以，由，，得．?1分）在中，.（13分）16．（15分）【詳解】（1）設(shè)，解法一：在平面四邊形中，由，得，由，，，得，解得，即，（1分）所以為的中點(diǎn)且，如圖，取的中點(diǎn)，連接，則