平行四邊形單元 期末復(fù)習(xí)測(cè)試題試題

平行四邊形單元期末復(fù)習(xí)測(cè)試題試題

一、選擇題

1.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、D重合），PE_LBC于點(diǎn)

E,PF_LCD于點(diǎn)F,連接EF給出下列五個(gè)結(jié)論：①AP=EF；②AP_LEF；③僅有當(dāng)NDAP=

45°或67.5°時(shí)，AAPD是等腰三角形；④/PFE=NBAP：⑤XlpD=EC.其中有正確有

()個(gè).

A.2B.3C.4D.5

2.如圖，正方形A8CO和正方形CEFG中，點(diǎn)。在CG上，BC=T,CE=3,”是

AF的中點(diǎn)，那么C”的長(zhǎng)是（）

3.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD±,Z\AEF是等邊三角形連接AC交EF

于G,下列結(jié)論:①BE=DF,②NDAF=15。，③AC_LEF,④BE+DF=EF,⑤EC=FG；其中

正確結(jié)論有（）個(gè)

4.如圖，正方形48co的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)￡在邊48上，4￡=1,若點(diǎn)P為對(duì)角線8。上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△%￡周長(zhǎng)的最小值是（）

C.5D.6

5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)

A、D重合），同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D、C重合），點(diǎn)E與點(diǎn)F

的運(yùn)動(dòng)速度相同.BE與AF相交于點(diǎn)G,H為BF中點(diǎn)，則有下列結(jié)論：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE；③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，GH=^?；④當(dāng)CAAGB=（"+2）a時(shí)，S四邊形

GEDF=ya2,其中正確的是（）

C.①③④D.①④

6.正方形ABCD,正方形CEFG如圖放置，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，點(diǎn)P在BC邊上,

PA=PF,且NAPF=90°,連接AF交CD于點(diǎn)M.有下列結(jié)論：①EC=BP；②AP=AM：

③NBAP=NGFP；@AB2+CE2=-AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S&APF，其中正確的是

C.①②④⑤D.①③④⑤

7.如圖，已知△八8c中，N4CB=90。，AC=BC=2,將直角邊AC繞4點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至47,連

接8。，E為8U的中點(diǎn)，連接CE,則CE的最大值為（）.

CB

A.75B.72+1c.—+1D.叵+1

22

8.如圖，在平行四邊形A8CO中，ZC=120°,AD=4,AB=2,點(diǎn)E是折線

BC—CO—OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、8重合）.則△ABE的面積的最大值是（）

A2B.1C.3yliD-26

2

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點(diǎn)，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

DF,則DF的長(zhǎng)度是（）

375

于

10.如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=1,點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF,連接

CE、AF交于點(diǎn)H,連接DH交AC于點(diǎn)O,則下列結(jié)論：①4ABFgACAE；②NFHC=NB；

?△ADO^AACH：④S菱形.8二石；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

11.如圖，在正方形ABCO中，點(diǎn)￡尸將對(duì)角線AC三等分，且AC=6.點(diǎn)P在正方

形的邊上，則滿足PE+尸產(chǎn)=5的點(diǎn)p的個(gè)數(shù)是個(gè).

12.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB=0B,點(diǎn)E,F分別是

0A,0D的中點(diǎn)，連接EF,EM_LBC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)N,若NCEF=45°,FN=5,

則線段BC的長(zhǎng)為.

13.如圖，在RtZkABC中，ZBAC=90°,AB=5,AC=12,P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（P不與B、C

重合），PE_LAB于E,PF_LAC于F,M為EF中點(diǎn)，則AM的取值范圍是

14.如圖，在平行四邊形48C。中，48=6,8c=4,Z4=120°,E是48的中點(diǎn)，點(diǎn)F在

平行四邊形488的邊上，若為等腰三角形，則EF的長(zhǎng)為.

3

15.已知在矩形A3CQ中，43=二,3。=3,點(diǎn)尸在直線8。上，點(diǎn)。在直線CO上，且

2

4尸_1尸。,當(dāng)4尸=尸。時(shí)，AP=.

BC

16.如圖，RfAABE中,/8=90°,48=8及將乙43七繞點(diǎn)人逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到

過(guò)。作OC_L3E交8E的延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，連接8H并延長(zhǎng)交QC于點(diǎn)尸，連接

DE交BF于點(diǎn)0.下列結(jié)論：①OE平分N”O(jiān)C；②。。=?！辏虎跜D=HF；

?BC-CF=2CE.⑤H是的中點(diǎn)，其中正確的是

17.如圖，有一張矩形紙條ABCD,AB=10cm,BC=3cm,點(diǎn)M,N分別在邊AB,CD上,

CN=lcm.現(xiàn)將四邊形BCNM沿MN折直，使點(diǎn)B,C分別落在點(diǎn)夕，C上.在點(diǎn)M從

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，若邊加8'與邊CD交于點(diǎn)E,則點(diǎn)E相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為

18.如圖，正方形ABC。面積為1,延長(zhǎng)D4至點(diǎn)G,使得AG=AD,以。G為邊在正

方形另一側(cè)作菱形OG/E,其中NE/G=45°，依次延長(zhǎng)A氏BC,CO類(lèi)似以上操作再

作三個(gè)形狀大小都相同的菱形，形成風(fēng)車(chē)狀圖形，依次連結(jié)點(diǎn)￡”,N,則四邊形

FHMN的面積為.

19.如圖，四邊形A8CP是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)E在邊CP上，P￡=l；作"〃BC,分別

交AC、AB于點(diǎn)G、F,M.N分別是4G、8E的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)是.

￥

---------JE

BC

20.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,AC=3,8c=6,點(diǎn)。為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且滿足4。

=4,連接8D,取8。的中點(diǎn)E,連接CE,則CE的最大值為.

A

CB

三、解答題

21.如圖，在RfABC中，ZACB=90°,過(guò)點(diǎn)C的直線MN〃AB,D為AB邊上一

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作OEJ.BC,交直線MN于E,垂足為尸，連接CO、BE

MeEN

ADU

(1)當(dāng)。在AB中點(diǎn)時(shí)，四邊形3ECQ是什么特殊四邊形?說(shuō)明你的理由；

(2)當(dāng)。為AB中點(diǎn)時(shí)，NA等于度時(shí)，四邊形5ECD是正方形.

22.如圖，在ABCO中，對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)、E、尸分別為08、OD的

中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE至G,使EG=4E,連接CG.

(1)求證：MOE=ACOF；

(2)四邊形EGCF是平行四邊形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)若四邊形EGC尸是矩形，則線段A3、4C的數(shù)量關(guān)系是.

23.如圖，在RfAABC中，ZABC=90°,ZC=30°,AC=l2cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)

沿A3以每秒1cm的速度向點(diǎn)5運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)沿。以每秒2cm的速度向

點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒(0vf<6),過(guò)點(diǎn)。作D尸J.BC于點(diǎn)尸.

圖①圖②

(1)試用含，的式子表示AE、AD.OF的長(zhǎng)；

(2)如圖①，連接E/，求證四邊形是平行四邊形；

(3)如圖②，連接OE,當(dāng)，為何值時(shí)，四邊形是矩形？并說(shuō)明理由.

24.在矩形48CD中，將矩形折疊，使點(diǎn)8落在邊4D(含端點(diǎn))上，落點(diǎn)記為E,這時(shí)折

痕與邊8c或者邊8(含端點(diǎn))交于點(diǎn)F(如圖1和圖2),然后展開(kāi)鋪平，連接8E,

EF.

(1)操作發(fā)現(xiàn)：

①在矩形4BCD中，任意折疊所得的是一個(gè)三角形；

②當(dāng)折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)4時(shí)，8E與4E的數(shù)量關(guān)系為.

(2)深入探究：

在矩形48CD中，AB=58c=26.

①當(dāng)ABEF是等邊三角形時(shí)，求出8F的長(zhǎng)；

②△8EF的面積是否存在最大值，若存在，求出此時(shí)EF的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

25.如圖,點(diǎn)A、F、C、。在同一百線卜，點(diǎn)8和點(diǎn)￡分別在官線A0的兩側(cè),日

NA=ND,AF=DC.

(1)求證：四邊形8CEF是平行四邊形；

(2)若NDEF=90°,0E=8,EF=6,當(dāng)4F為時(shí)，四邊形8CEF是菱形.

26.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E、F是正方形內(nèi)兩點(diǎn)，BE//DF,EF工BE,為

探索這個(gè)圖形的特殊性質(zhì)，某數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)歷了如下過(guò)程：

A

B

圖1

(1)在圖1中，連接B。，且BE=DF

保證：E尸與80互相平分；

翱證：(6七+。尸)2+后尸2=2楨2；

(2)在圖2中，當(dāng)BE工DF,其它條件不變時(shí)，(8E+。尸)2+￡尸2=2452是否成

立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖2

NDPB=135°,=時(shí)，求PO之長(zhǎng).

圖3

27.在矩形ABCD中，BE平分NABC交CD邊于點(diǎn)E.點(diǎn)F在BC邊上，且FE_LAE.

(1)如圖1,①NBEC=0；

②在圖1已有的三角形中，找到一對(duì)全等的三角形，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,FH〃CD交AD于點(diǎn)H,交BE于點(diǎn)M.NH〃BE,NB//HE,連接NE.若AB=4,

AH=2,求NE的長(zhǎng).

28.已知E,F分別為正方形ABCD的邊BC,CD上的點(diǎn)，AF,DE相交于點(diǎn)G,當(dāng)E,F分

別為邊BC,CD的中點(diǎn)時(shí)，有：①AF=DE；②AF_LDE成立.

試探究下列問(wèn)題：

上述結(jié)論①，

②是否仍然成立？(請(qǐng)直接回答〃成立"或"不成立")，不需要證明)

(2)如圖2,若點(diǎn)E,F分別在CB的延長(zhǎng)線和DC的延長(zhǎng)線上，且CE=DF,此時(shí)，上述結(jié)

論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，連接AE和BF,若點(diǎn)M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,

AD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形〃中的哪一種，并證明你的結(jié)論.

29.已知：正方形ABCD和等腰直角三角形AEF,AE=AF(AE<AD),連接DE、BF,P是

DE的中點(diǎn)，連接AP.將AAEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

(1)如圖①，當(dāng)AAEF的頂點(diǎn)E、F恰好分別落在邊AB、AD時(shí)，則線段AP與線段BF的位

置關(guān)系為.,數(shù)量關(guān)系為.

(2)當(dāng)4AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖②所示位置時(shí)，證明：第(1)問(wèn)中的結(jié)論仍然成

立.

(3)若AB=3,AE=1,則線段AP的取值范圍為

30.如圖，ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,AB1AC,AB=6cm,BC=\Ocm,

點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿4。方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，連接P。，并延長(zhǎng)交BC

于點(diǎn)。.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒.

（1）求8。的長(zhǎng)（用含，的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)四邊形AB。尸是平行四邊形時(shí)，求，的值；

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

過(guò)P作PG_LAB于點(diǎn)G,根據(jù)正方形對(duì)角線的性質(zhì)及題中的己知條件，證明AAGPgZXFPE

后即可證明①AP=EF；?ZPFE=ZBAP；在此基礎(chǔ)上，根據(jù)正方形的對(duì)角線平分對(duì)角的性

質(zhì)，在RtaDPF中，DP2=DF2+PF2=EC?+EC2=2EC2,求得DP=J，EC,得出⑤正確，即可得出

結(jié)論.

【詳解】

過(guò)P作PG_LAB于點(diǎn)G,如圖所示：

???點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn),

/.GP=EP,

在AGPB中，ZGBP=45°,

，NGPB=45°,

，GB=GP,

同理：PE=BE,

VAB=BC=GF,

AAG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

/.AG=PF,

在AAGP和AFPE中，

AG=PF

<ZAGP=ZFPE=90°,

PG=PE

/.△AGP^AFPE(SAS),

，AP=EF,①正確，ZPFE=ZGAP,

/.ZPFE=ZBAP,④正確;

延長(zhǎng)AP到EF上于一點(diǎn)H,

AZPAG=ZPFH,

VZAPG=ZFPH,

.?.ZPHF=ZPGA=90°,

AAP1EF,②正確,

丁點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，NADP=45。，

:.當(dāng)ZPAD=45?；?7.5。時(shí)，△APD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，故③正確.

VGF/7BC,

/.ZDPF=ZDBC,

又?.?NDPF=NDBC=45°,

.,.ZPDF=ZDPF=45°,

/.PF=EC,

，在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC+EC2=2EC2,

ADP=V2EC,

即也PD=EC,⑤正確.

2

，其中正確結(jié)論的序號(hào)是①?③④⑤，共有5個(gè).

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，

勾股定理的運(yùn)用.本題難度較大，綜合性較強(qiáng)，在解答時(shí)要認(rèn)真審題.

2.D

解析：D

【分析】

連接AC、CF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC、CF,ZACD=ZGCF=45°,再求出NACF=90°,然

后利用勾股定理列式求出AF,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可.

【詳解】

如圖，連接AC、CF,

。正方形ABCD和正方形CEFG中,BC=1,CE=3,

AAC=V2,CF=3收，ZACD=ZGCF=45°,

/.ZACF=90°,由勾股定理得，AF=>/AC2-CF2=275*

TH是AF的中點(diǎn)，，CH=!AF=!X26=J^.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，

熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.

3.B

解析：B

【分析】

根據(jù)已知條件易證△ABEgAADF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判定①②；由正方形的性質(zhì)

就可以得出EC=FC,就可以得出AC垂直平分EF,即可判定③；設(shè)EC=FC=x,由勾股定理和

三角函數(shù)計(jì)算后即可判定④⑤.

【詳解】

???四邊形ABCD是正方形，

AAB=BC=CD=AD,ZB=ZBCD=ZD=ZBAD=90°.

???△AEF等邊三角形，

，AE=EF=AF,ZEAF=60°.

.?.ZBAE+ZDAF=30°.

在RtAABE和RtAADF中,

{AE=AF

[AB=AD'

RtAABE^RtAADF（HL）,

ABE=DF（故①正確）.

ZBAE=ZDAF,

???NDAF+NDAF=30°,

即NDAF=15。（故②正確），

VBC=CD,

/.BC-BE=CD-DF,即CE=CF,

VAE=AF,

???AC垂直平分EF.（故③正確）.

設(shè)EC=FC=x,由勾股定理，得：

EF-42x,CG-FG-—X,

2

JECWFG（⑤錯(cuò)誤）

在RtAAEG中，

AG=AEsin60=EFsin60=2xCGsin60=^-x,

2

s巫x+6x

??AC=1/

2

.正立曰

2

y[3x+x\13x-x

BE=-------------x=-----------/

22

:.BE+DF=&c-x于叵x(chóng)，（故④錯(cuò)誤），

綜上所述，正確的結(jié)論為①@③，共3個(gè)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等

邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答本題時(shí)運(yùn)用勾股定理的性質(zhì)解題的關(guān)鍵.

4.D

解析：D

【分析】

連接AC、CE,CE交BD于P,此時(shí)4P+PE的值最小，求出CE長(zhǎng)，即可求出答案.

【詳解】

解：連接4C、CE,CE交BD于P,連接4P、PE,

???四邊形48CD是正方形，

：.OA=OC,ACLBD,即。和。關(guān)于8。對(duì)稱(chēng),

：.AP=CP,

即AP+PE=CE,此時(shí)4P+PE的值最小，

所以此時(shí)△%￡周長(zhǎng)的值最小，

???正方形48CD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在邊A8上，AE=1,

，NA8c=90°,8E=4-1=3,

由勾股定理得：CE=5,

/.△AAE的周長(zhǎng)的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=5+1=6,

故選。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)與軸對(duì)稱(chēng)一一最短路徑問(wèn)題，知識(shí)點(diǎn)比較綜合，屬于較難題型.

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△BAEgZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)角為90。，得出

AF_LDE,即可判斷①，②無(wú)法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

④根據(jù)ABAEg/XADF,即可得到S四邊彬GEDF=S.，即可求解.

【詳解】

①證明：：￡在八D邊上（不與A.D重合），點(diǎn)F在DC邊上（不與D.C重合）.

又V點(diǎn)E.F分別同時(shí)從A.D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，

；?AE=DF,

???四邊形48CD是正方形，

:.AB=DA^BAE=ZD=90,

在"AE和"DF中，

AE=DE

<NBAE=NAO尸=90

AB=AD,

：.^BAE^LADF(SAS),

AZ1=Z2,

VZ2+Z3=90

???Z1+Z3=9O

即ZAGB=90

ZBGF=90,

NBGF是定值；正確.

②無(wú)法判斷NGB尸與NCB戶的大小，BF平分NCBE；錯(cuò)誤.

③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn)，

CF=-CD=a,

2

BFVBC'CF?=氐,

GH==，B”=@a,正確.

22

④"AEg△AD￡

則S四邊形GEDF=SABG,

當(dāng)CAAGB=(>/6+2)〃時(shí)，

AG+GB—

(AG+GB)2=AG2+2AG-GB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

:.2AGGB=2cr,

2

SAlir=-AGGB=-a,

S四邊形GEDF=；7a2，故S內(nèi)邊形GE0F="7a2，錯(cuò)誤。

26

故選A.

【點(diǎn)睛】

考杳正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

6.D

解析：D

【分析】

①由同角的余角相等可證出△EPFZZ\BAP,由此即可得出EF=BP,再根據(jù)正方形的性質(zhì)即

可得出①成立；②沒(méi)有滿足證明AP=AM的條件；③根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出

ZGFP=ZEPF,再由NEPF=NBAP即可得出③成立；④在RSABP中，利用勾股定理即可得

出④成立；⑤結(jié)合④即可得出⑤成立.綜上即可得出結(jié)論.

【詳解】

①:ZEPF+ZAPB=90°,ZAPB+ZBAP=90°,

???NEPF=NBAP.

NEPF=NBAP

在AEPF和ABAP中，有<NFEP=NPBA,

PA=PF

/.△EPF^ABAP(AAS),

，EF=BP,

??,四邊形CEFG為正方形,

/.EC=EF=BP,即①成立；

②無(wú)法證出AP=AM；

③〈FGaEC,

/.ZGFP=ZEPF,

XVZEPF=ZBAP,

/.ZBAP=ZGFP,即③成立；

④由①可知EC=BP,

在R3ABP中，AB2+BP2=AP2,

VPA=PF,且NAPF=90°,

/.△APF為等腰直角三角形，

.?.AF2=AP2+EP2=2AP2,

.\AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=gAF2,即④成立；

⑤由④可知:AB2+CE2=AP2,

*,?S正方形ABCD+S正方形CGFE=2SAAPF，即⑤成立.

故成立的結(jié)論有①③④⑤.

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及勾股定理，解題

的關(guān)鍵是逐條分析五條結(jié)論是否正確.本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，

通過(guò)證明三角形全等以及利用勾股定理等來(lái)驗(yàn)證題中各結(jié)論是否成立是關(guān)鍵.

7.B

解析：B

【分析】

取A8的中點(diǎn)連接CM,EM,當(dāng)C￡=CM+￡M時(shí)，CE的值最大，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

AC=AC=2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到EM二!47=1,根據(jù)勾股定理得到

2

AB=2垃,即可得到結(jié)論.

【詳解】

取A8的中點(diǎn)連接CM,EM,???當(dāng)C￡=CM+EM時(shí)，CE的值最大.

???將直角邊47繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AC,：,AC=AC=2.

???￡為8C'的中點(diǎn)，：.EM=-AC=1.

2

VZACB=90°,AC=BC=2,,48=2夜,:?CM=；AB=叵,：.CE=CM+EM-y/2+\?

故選B.

A

CB

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

8.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，高一定，底邊BE最大時(shí)面積最大；②當(dāng)E在CD

上時(shí)，4ABE的面積不變；③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，4ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，E與C重合時(shí)，4ABE的面積最大，如圖1,

過(guò)A作AF_LBC于F,

丁四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AB/7CD,

/.ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

/.ZB=60c,

RtZXABF中，ZBAF=30°,

ABF=yAB=l,AF=V3?

，此時(shí)AABE的最大面積為：Jx4xg=2百；

②當(dāng)E在CD上時(shí)，如圖2,此時(shí)，^ABE的面積=!S.，ABCD=!X4X75=2J5；

22

圖2

③當(dāng)E在AD上時(shí)，E與D重合時(shí)，4ABE的面積最大，此時(shí)，4ABE的面積=26，

綜上，4ABE的面積的最大值是26；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，并運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長(zhǎng)，由折疊的性質(zhì)可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面積法可求

CH=生叵，由勾股定理可求EH的長(zhǎng)，由三角形中位線定理可求DF=2EH=1.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

;在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點(diǎn),

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

???BE=4BC2+CE?=J16+4=2層，

;將ABCE沿BE翻折至ABFE,

，CE=EF=2,BE±CF,FH=CH,

VCE=DE,FH=CH,

4A/5

DF=2EH=

5

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是本題

的關(guān)鍵.

10.B

解析：B

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明艮1可判斷①；根據(jù)4ABFg4CAE得到NBAF=NACE,再利

用外角的性質(zhì)以及菱形內(nèi)角度數(shù)即可判斷②；通過(guò)說(shuō)明NCAH/NDAO,判斷

△ADO^^ACH不成立，可判斷③；再利用菱形邊長(zhǎng)即可求出菱形面積，可判斷④.

【詳解】

解：???在菱形ABCD中，AB=AC=1,

/.△ABC為等邊三角形，

AZB=ZCAE=60%

又??，AE=BF,

/.△ABF^ACAE(SAS),故①正確；

AZBAF=ZACE,

:.ZFHC=ZACE+ZHAC=ZBAF+ZHAC=600,故②正確；

VZB=ZCAE=60\

則在△ADO和△ACH中，

ZOAD=60°=ZCAB,

/.ZCAH#600,即NCAHNNDA。，

???△ADOg/XACH不成立，故③錯(cuò)誤；

VAB=AC=1,過(guò)點(diǎn)A作AG_LBC,垂足為G,

1

/.ZBAG=30°,BG=—,

2

?*,AG=JA3?—3G2=，

?,?菱形ABCD的面積為：BCXAG=\XB=B,故④錯(cuò)誤；

22

故正確的結(jié)論有2個(gè)，

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，外角

的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)證明全等.

二、填空題

11.8個(gè)

【分析】

作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,可得點(diǎn)H到

點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小，可求最小值，即可求解.

【詳解】

如圖，作點(diǎn)F關(guān)于BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M,連接FM交BC于點(diǎn)N,連接EM,交BC于點(diǎn)H,

丁點(diǎn)E,F將對(duì)角線AC三等分，且AC=6,

EC=4,FC=2=AE,

點(diǎn)M與點(diǎn)F關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，

CF=CM=2,ZACB=ZBCM=45°,

ZACM-90%

???EM=JEC2VM2="2+22=2石，

則在線段BC存在點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距離之和最小為2石＜5,

在點(diǎn)H右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，則PE+PF=4+2=6,

，點(diǎn)P在CH上時(shí)，2百VPE+PFW6,

在點(diǎn)H左側(cè)，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，

VFN±BC,ZABC=90°,

，F(xiàn)N〃AB,

AACFN^ACAB,

?FN—CN—CF—1

**AB-CB-CA'S>

??，AB=BC=刀AC=3&

1/-

AFN=-AB=y/2，

CN=：BC="

，BN=BC-CN=2收,

BF=VFN2+BN2=>/2+8=X/K)，

VAB=BC,CF=AE,ZBAE=ZBCF,

.,.△ABE^ACBF(SAS),

???BE=BF=癡，

???PE+PF=2jiU，

，點(diǎn)P在BH上時(shí)，VPE+PFV2J15，

，在線段BC上點(diǎn)H的左右兩邊各有一個(gè)點(diǎn)P使PE+PF=5,

同理在線段AB,AD,CD上都存在兩個(gè)點(diǎn)使PE+PF=5.

即共有8個(gè)點(diǎn)P滿足PE+PF=5,

故答案為8.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，在BC上找到點(diǎn)H,使點(diǎn)H到點(diǎn)E和點(diǎn)F的距

離之和最小是本題的關(guān)鍵.

12.4.75

【分析】

設(shè)EF=x,根據(jù)三角形的中位線定理表示AD=2x,AD〃EF,可得NCAD=NCEF=45°,證

明AEMC是等腰直角三角形，則NCEM=45°,證明△ENF@Z\MNB,則EN=MN=1x,

2

BN=FN=5,最后利用勾股定理計(jì)算X的值，可得BC的長(zhǎng).

【詳解】

解：設(shè)EF=x,

丁點(diǎn)E、點(diǎn)F分別是。分0D的中點(diǎn)，

AEF是AOAD的中位線，

/.AD-2x,AD〃EF,

AZCAD=ZCEF=45°,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AD〃BC,AD=BC=2x,

/.ZACB=ZCAD=45°,

VEM1BC,

/.ZEMC=90°,

/.△EMC是等腰直角三角形，

AZCEM=45°,

連接BE,

D

E

///

/?■g

j//.\///

B3/C

VAB=OB,AE=OE

ABE!AO

AZBEM=45O,

ABM=EM=MC=x,

，BM=FE,

易得△ENFgZXMNB,

1

AEN=MN=-X,BN=FN=5,

2

《△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即52=/+§幻2

解得，x=2小,

BC=2x=4>/5.

故答案為：4石.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、勾股定理；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問(wèn)題.

30

13.一CAM<6

13

【分析】

由勾股定理得BC=13從而得到點(diǎn)A到BC的距離，M為EF中點(diǎn)，所以AM=《EF,繼而求得

AM的范圍.

【詳解】

因?yàn)镹BAC=90°,AB=5,AC=12,

所以由勾股定理得BC=13,

則點(diǎn)A到BC的距離為AfC=曹,

BC1313

所以AM的最小值為程+2=普，

因?yàn)镸為EF中點(diǎn)，所以AM^EF,

當(dāng)E越接近A,F越接近C時(shí)，EF越大，

所以EFVAC,則AMV6,

所以一WAM<6,

13

30

故答案為—WAMV6.

14.3百或3或巨

2

【分析】

△AEF為等腰三角形，分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和30°直角三角形性質(zhì)、平

行四邊形的性質(zhì)可求解.

【詳解】

解：當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH_LE/于”，

E是AB的中點(diǎn),

/.AE=-AB=3

2t

AE=AF,AH1EF,ZA=120°,

/.NAEF=ZAFE=30°,FH=EH,

AH=-AE=-tEH=y(3AH=—f

222

EF=2EH=3A/3，

當(dāng)A/二E/時(shí)，如圖2,

在平行四邊形ABC。中，AB=6,BC=4,ZA=120°,

?.AD=BC=4,ZADC=60°,

ZDAN=30°,

:.DN=-AD=2tAN=￡DN=20，

AB//CD,ANLCD,FM1AB,

AN=MF=2也，

AF=EF,FMLAB,

3

AM=ME=-

2

EF=3,

綜上所述：E尸的長(zhǎng)為3月或3或孚.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)

題是本題的關(guān)鍵.

is.之也或3加

22

【分析】

根據(jù)點(diǎn)尸在直線BC上，點(diǎn)。在直線C。上，分兩種情況：LP、Q點(diǎn)位于線段上；2.P、Q

點(diǎn)位于線段的延長(zhǎng)上，再通過(guò)三角形全等得出相應(yīng)的邊長(zhǎng)，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC上，Q點(diǎn)位于線段CD上時(shí)：

丁四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

AZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

,/AP=PQ

：.ABP蘭PCQ

333

,PC=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

.-.AP=J（2）2+（2）2=|V2

V222

當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC的延長(zhǎng)線上，Q點(diǎn)位于線段CD的延長(zhǎng)線上時(shí)：

???四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

,/AP=PQ

：.ABP=PCQ

APC=AB=-，BP=BC+PC=3+—=-

222

AAP=/(—)2+(—)2

V222

故答案為：不＞/^或不Jid

【點(diǎn)睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

16.①@④⑤

【分析】

根據(jù)NB=90°,AB=BE,ZiABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到AAHD,可得4ABE會(huì)AAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DCJ_BC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,即DE平分NHDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形，有NADC=90。，NHDC=45。，由

①有DE平分NHDC,得NHDO=22.5°,可得/AHB=67.5°,NDHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證NOHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確；

利用AAS證明ADHE會(huì)ADCE,貝U有DH=DC,ZHDE=ZCDE=22.5%易的NDHF=22.5°,

ZDFH=112.5°,則ADHF不是直角三角形，并DHxHF,即有：CDwHF,所以③錯(cuò)誤；

根據(jù)AABE是等腰直角三角形，JHJLJE,〈J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，得到2」H=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過(guò)H作HJJ_BC于」，并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,得IJ_LAD,I是AD的中點(diǎn)，J是BC的中點(diǎn)，

H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

【詳解】

TRtAABE中，NB=90°,AB=BE,

/.ZBAE=ZBEA=45°,

又??,將AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,得到AAHD,

AAABE=AAHD,并且ZSABE和AAHD都是等腰直角三角形,

.?.ZEAD=45°,AE=AD,ZAHD=90°,

.*.ZADE=ZAED,

/.ZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

AAD//BC,

/.ZADE=ZDEC,

/.ZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

AZDCE=ZDHE=90°

???由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=NCDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確：

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

...四邊形ABCD是矩形，

/.ZADC=90°,

AZHDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

11

ZHDO=—ZHDC=—X45°=22.5>,

22

VZBAE=45%AB=AH,

.\ZOHE=ZAHB=g(1800-ZBAE)=yx(180°-45(>)=67.5<,,

AZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.5°=22.5°

AOD=OH,

在^AED中，AE=AD,

11

:.ZAED=—(180°-ZEAD)=—x(1800-45o)=67.5°,

/.ZOHE=ZHEO=67.5%

/.OE=OH,

/.OD=OE,所以②正確；

在^DHE和ADCE中，

ZDHE=ZDCE

</HDE=NCDE,

DE=DE

/.△DHESADCE(AAS),

1

/.DH=DC,NHDE=NCDE=—x45°=22.5°,

2

VOD=OH,

/.ZDHF=22.5°,

/.ZDFH=180<,-ZHDF-ZDHF=180a-45o-22.50=112.5°,

??.△DHF不是直角三角形，并DH/HF,

即有:CDwHF,所以③不正確；

如圖，過(guò)H作HJJ_BC于J,并延長(zhǎng)HJ交AD于點(diǎn)I,

「△ABE是等腰直角三角形，JH1JE,

.*.JH=JE,

又〈J是BC的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，

/.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

/.2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有：BC-CF=2CE,所以④正確;

VAD//BC,

/.IJ±AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

JI是AD的中點(diǎn),

???四邊形ABCD是矩形，HJ1BC,

，J是BC的中點(diǎn)，

???H是BF的中點(diǎn)，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①@?⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

17.Vio-i

【分析】

探窕點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)軌跡，尋找特殊位置解決問(wèn)題即可.

【詳解】

如圖1中，當(dāng)點(diǎn)M與人重合時(shí)，AE=EN,設(shè)4E=EN=xcm,

在RtZXADE中，則有X2=3?+(9-x)2,解得x=5,

：.DE=1Q-1-5=4(cm)，

B'

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到M0_L人8時(shí)，OF的值最大，Df=10-1-3=6(cm),

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)&落在C。時(shí)，

,2,2

NB=>JCN+CB=Vi2+32=Vio

DB'（即DE"）=10-1-V10=19-曬）（cm）,

，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡EfESE",運(yùn)動(dòng)路徑=￡￡'+￡8'=6-4+6-(9一廂)=(V10-1)

(cm).

故答案為：Vio-i.

【點(diǎn)睛】

本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)

用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題.

18.13+8及

【分析】

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P,過(guò)N作NK_LCD于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q,交NS于

點(diǎn)R,首先利用正方形性質(zhì)結(jié)合題意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后進(jìn)一步根據(jù)菱形性質(zhì)得出

DE=EF=DG=2,再后通過(guò)證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=&,進(jìn)一步可得

FN2=FR2+NR2=13+85/2?再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)Z,利用全等三角形性質(zhì)與判定證

明四邊形FHMN為正方形，最后進(jìn)一步求解即可.

【詳解】

H匕------

如圖所示，延長(zhǎng)CD交FN于點(diǎn)P,過(guò)N作NK_LCD于點(diǎn)K,延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)Q,交NS于

點(diǎn)R,

VABCD為正方形，

/.ZCDG=ZGDK=90°,

???正方形ABCD面積為1,

AAD=CD=AG=DQ=1,

.,.DG=CT=2,

???四邊形DEFG為菱形，

/.DE=EF=DG=2,

同理可得：CT=TN=2,

VZEFG=45°,

AZEDG=ZSCT=ZNTK=45°,

VFE//DG,CT/7SN,DG±CT,

AZFQP=ZFRN=ZDQE=ZNKT=90°,

ADQ=EQ=TK=NK=72-FQ=FE+EQ=2+0,

VZNKT=ZKQR=ZFRN=90°,

???四邊形NKQR是矩形，

???QR=NK=&,

；?FR=FQ+QR=2+2應(yīng)，NR=KQ=DK-DQ=+1-72=1，

???FN?=FR1+NK=+8五,

再延長(zhǎng)NS交ML于點(diǎn)Z,易證得：△NMZ會(huì)ZXFNR(SAS),

jFN=MN,ZNFR=ZMNZ,

VZNFR+ZFNR=90°,

/.ZMNZ+ZFNR=90°,

即NFNM=90°,

同理可得：ZNFH=ZFHM=90°,

???四邊形FHMN為正方形，

???正方形FHMN的面積=硒2=13+8立，

故答案為：13+8JL

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正方形和矩形性質(zhì)與判定及與全等三角形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用，熟練掌

握相關(guān)方法是解題關(guān)鍵.

19.5

【分析】

先判斷四邊形BCE尸的形狀，再連接尸加、FC,利用正方形的性質(zhì)得出AFG是等腰直

角三角形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出=即可.

【詳解】

???四邊形ABCP是邊長(zhǎng)為4的正方形，