平行四邊形單元測試綜合卷檢測試題

平行四邊形單元測試綜合卷檢測試題

一、選擇題

1.如圖，已知平行四邊形ABCD,A8=6,BC=9,ZA=120°,點尸是邊AB上一

動點，作PE上BC于點E,作NEP/=120。（P/在PE右邊）且始終保持

PE+PF=yji，連接。尸、。尸，設機=。尸+￡）尸，則機滿足（）

2.如圖，在菱形ABCD中，AC與BD相交于點O,AB=4,BD=4，i，E為AB的中點,

點P為線段AC上的動點，則EP+BP的最小值為（）

3.將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△48C）的長直角邊與含45°角的三角尺

（△4CD）的斜邊恰好重合.已知46=46，P、Q分別是4C、8c上的動點，當四邊形。P8Q

為平行四邊形時，平行四邊形。P8Q的面積是（）

4.如圖，正方形ABCD的邊長為2a,點E從點A出發(fā)沿著線段AD向點D運動（不與點

A、D重合），同時點F從點D出發(fā)沿著線段DC向點C運動（不與點D、C重合），點E與點F

的運動速度相同.BE與AF相交于點G,H為BF中點，則有下列結(jié)論：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③當E運動到AD中點時，GH=x5〃；④當繪AGB=（6+2）。時，S四邊形

2

GEDF=5M,其中正確的是（）

6

ID

\l

----'c

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

5.如圖，正方形ABCD中，AB=12,點E在邊CD上，且CD=3DE,將AADE沿AE對折至

△AFE,延長EF交邊BC于點G,連接AG、CF,下列結(jié)論：①4ABGgZ\AFG；

②BG=GC；③AG〃CF；④SAFGC=28.8.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

6.已知：如圖，在正方形ABCD外取一點E,連接AE、BE、DE.過點A作AE的垂線交DE

于點P.若AE=AP=LPD=2,下列結(jié)論：①EB_LED；②NAEB=135°；③S正方形ABCD=

5+20；④PB=2；其中正確結(jié)論的序號是（）

A.①③?B.②③④C.①②④D.①②③

7.線段AB上有一動點C（不與A,B重合），分別以AC,BC為邊向上作等邊AACM和等

邊ABCN,點D是MN的中點，連結(jié)AD,BD,在點C的運動過程中，有下列結(jié)論：

①4ABD可能為直角三角形；②AABD可能為等腰三角形；③△CMN可能為等邊三角形；

④若AB=6,則AD+BD的最小值為3枚.其中正確的是（）

A.②③B.①②③④C.①③④D.②③④

8.如圖，點P,Q分別是菱形ABCD的邊AD,BC上的兩個動點，若線段PQ長的最大值為

8石，最小值為8,則菱形ABCD的邊長為（）

D

A.4mB.10C.12D.16

9.如圖，△48iG中，4i8i=4,4cl=5,81cl=7.點4、&、Cz分別是邊&G、4J、

48i的中點;點小、83、C3分別是邊82c2、42c2、6282的中點；……;以此類推，則第2019

個三角形的周長是（）

A.22014B.2刈5C.D.

10.如圖，己知正方形ABCD的邊長為4,P是對角線BD上一點，PE_LBC于點E,

PF_LCD于點F,連接AP,EF,給出下列結(jié)論：①PD=0EC；②四邊形PECF的周長為8：

③4APD一定是等腰三角形：④AP=EF；⑤EF的最小值為2應；?AP±EF,其中正確結(jié)論

的序號為（）

C.②④⑤D.②④

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,48=5,AC=2石，則平行四邊形ABCD

的周長等于.

12.如圖，在矩形ABCD中，NBAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于點F,點G

是EF的中點，連接CG,BG,BD,DG,下列結(jié)論：①BC=DF；②NOG尸=135°;

325

③BG-LDG；④AB=—AD,則S血;=SFDG，正確的有?

13.如圖，在△48C中，48=3,AC=4,BC=5,P為邊8c上一動點，PE_L48于E,

3,點尸在直線8C上，點。在直線CD上，且

人尸_1尸。,當從尸=尸。時，AP=

15.如圖，正方形A8CD的邊長為6,點E、F分別在邊4D、8c上.將該紙片沿EF折疊，

使點A的對應點G落在邊0C上，折痕EF與4G交于點。，點K為G，的中點，則隨著折

痕EF位置的變化，AGQK周長的最小值為一.

16.如圖，在菱形ABCD中，AC交BD于P,E為BC上一點，AE交BD于F,若AB=AE,

NEAD=2/BAE,則下列結(jié)論：①AF=AP；②AE=FD；③BE=AF.正確的是,（填

序號）.

17.如圖，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=1O,點M是AC邊上任意一點，連接MB,以

MB、MC為鄰邊作平行四邊形MCNB,連接MN,則MN的最小值是

18.已知：如圖，在長方形48。。中，AB=4,AD=6.延長BC到點E,使

CE=2,連接OE,動點P從點5出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC—8—04向終

點A運動，設點P的運動時間為/秒，當f的值為秒時，A48P和AOCE全等.

19.如圖，正方形ABC。面積為1,延長DA至點G,使得AG=A。，以。G為邊在正

方形另一側(cè)作菱形OG/E,其中NER7=45°，依次延長A&BC,C。類似以上操作再

作三個形狀大小都相同的菱形，形成風車狀圖形，依次連結(jié)點￡”，M,N,則四邊形

FHMN的面積為.

20.如圖，四邊形ABCP是邊長為4的正方形，點E在邊C尸上，Pf=l；作EF〃8C,分別

交AC、48于點G、F,M.N分別是4G、8E的中點，則M/V的長是.

三、解答題

21.已知，在△48C中，ZBAC^r,乙48c=45°,。為直線8c上一動點(不與點8,C

重合)，以4。為邊作正方形2DEF,連接CF.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,當點。在線段8c上時，8c與CF的位置關(guān)系是,8C、CF、CD三條線

段之間的數(shù)量關(guān)系為;

(2)如圖2,當點。在線段8c的延長線上時，其他條件不變，請猜想8c與CF的位置關(guān)

系8C,CD,CF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

(3)如圖3,當點。在線段8c的反向延長線上時，點4F分別在直線8c的兩側(cè)，其他

13

條件不變.若正方形4DEF的對角線4E,DF相交于點0,，DB=5,則△ABC的面積

2

為.(直接寫出答案)

22.(1)如圖①，在正方形ABCD中，AAEF的頂點E,F分別在BC,CD邊上，高AG與

正方形的邊長相等，求NE4F的度數(shù)；

(2)如圖②，在放AA8O中，NB4D=90",4O=AB,點M,N是BD邊上的任意兩

點，且NK4N=45°，將A4W繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90度至&4O”位置，連接NH,試判

斷MN,ND,DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)在圖①中，連接BD分別交AE,AF于點M,N,若正方形ABCD的邊長為12,

(圖①)(圖②)

23.如圖，在平面直角坐標系中，已知刀。48c的頂點4(10,0)、C(2,4),點D是

的中點，點P在8c上由點8向點C運動.

(1)求點B的坐標；

(2)若點P運動速度為每秒2個單位長度，點P運動的時間為t秒，當四邊形PCO4是平

行四邊形時，求t的值；

(3)當△OOP是等腰三角形時，直接寫出點P的坐標.

24.直線修友心是同一平面內(nèi)的一組平行線.

(1)如圖1.正方形A8C。的4個頂點都在這些平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的距

離都是1,其中點A,點。分別在直線4和乙上，求正方形的面積；

⑵如圖2,正方形A8CO的4個頂點分別在四條平行線上，若四條直線中相鄰兩條之間的

距離依次為%%%.

①求證：丸=%；

②設正方形A8CO的面積為S,求證S=2酥+2h也+考.

25.在平面直角坐標中，四邊形OCNM為矩形，如圖1,M點坐標為(m,0),C點坐標

為（0,n）,已知m,n滿足-5+|5—時=0.

(2)①如圖1,P,Q分別為OM,MN上一點，若NPCQ=45。，求證：PQ=OP+NQ：

②如圖2,S,G,R,H分別為OC,OM,MN,NC上一點，SR,HG交于點D.若NSDG=

135°,HG=^~，則RS=；

2

(3)如圖3,在矩形0ABe中，0A=5,OC=3,點F在邊BC上且OF=OA,連接AF,動

點P在線段OF是(動點P與0,F不重合)，動點Q在線段0A的延長線上，且AQ=

FP,連接PQ交AF于點N,作PMJ_AF于M.試問：當P,Q在移動過程中，線段MN的

長度是否發(fā)生變化？若不變求出線段MN的長度；若變化，請說明理由.

26.如圖，點A的坐標為(-6,6)：軸，垂足為B,AC-Ly軸，垂足為C,點

分別是射線BO、OC上的動點，且點。不與點5、。重合，ZDAE=45.

（1）如圖1,當點。在線段3。上時，求AOOE的周長；

（2）如圖2,當點力在線段3。的延長線上時，設A4DE的面積為，，ADOE的面積為

S一請猜想S1與S?之間的等量關(guān)系，并證明你的猜想.

27.在正方形48C0中，連接BD,P為射線CB上的一個動點（與點C不重合），連接4P,

AP的垂直平分線交線段8°于點已連接4邑PE.

提出問題：當點P運動時，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變？

探究問題；

（1）首先考察點P的兩個特殊位置：

①當點P與點B重合時，如圖1所示，乙4PE=°

②當BP=BC時，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫出你的結(jié)論：

:（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點P的一般位置：依題意補全圖3,圖4,通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結(jié)論在一般情況下;（填“成立"或“不成立”）

圖3圖1

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請從圖3和圖4中任選一個進行

證明；若不成立，請說明理由.

28.如圖，在四邊形0A8C是邊長為4的正方形點P為04邊上任意一點（與點0、A不

重合），連接CP,過點P作PM_LCP,且PM=CP,過點M作MN〃A0,交B0

于點N,聯(lián)結(jié)BM、CN,設OP=x.

（1）當工=1時，點、M的坐標為（,一）

（2）設S四邊形c“MB=y，求出）'與工的函數(shù)關(guān)系式，寫出函數(shù)的自變量的取值范圍.

（3）在1軸正半軸上存在點。，使得QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合

條件的點。的坐標（用X的式子表示）

29.閱讀下列材料，并解決問題：

如圖1,在RI&4BC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,點。為4c邊上的動點（不與

An

A、C重合），以40,8。為邊構(gòu)造ADBE,求對角線OE的最小值及此時二片的值

AC

是多少.

圖1

在解決這個問題時，小紅畫出了一個以AO,BD為邊的ADBE（如圖2）,設平行四

邊形對角線的交點為。，則有4。=30.于是得出當OO_L4c時，O。最短，此時

OE取最小值，得出OE的最小值為6.

圖2

參考小紅的做法，解決以下問題:

AD

(1)繼續(xù)完成閱讀材料中的問題：當OE的長度最小時,---=■

AC

(2)如圖3,延長DA到點尸，使4F=D4.以OF,Q6為邊作FDBE,求對角線

與邊AB交于點E,連接CE,

過點C作交PQ于點尸，連接Ab.

⑴求證：四邊形AEC尸是菱形：

⑵若AC=8,AE=5,則求菱形4EC尸的面積.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【解析】

【分析】

設PE=x,則PB=冬叵x,PF=36x,AP=6-冬叵x,由此先判斷出AF_L2戶，然后可分

33

析出當點P與點B重合時，CF+DF最小；當點P與點A重合時，CF-DF最大.從而求出m

的取值范圍.

【詳解】

如上圖：設PE=x,則PB=冬叵x,PF=3&x，AP=6-冬叵x

33

/BPE=30°,/EPF=120°

???NAPE=30°

由AP、PF的數(shù)量關(guān)系可知ZPAF=60°

D

如上圖，作NR4M=60°交BC于M,所以點F在AM上.

當點P與點B重合時，CF+DF最小.此時可求得b=3A/5,DF=3小

如上圖，當點P與點A重合時，CF+DF最大.此時可求得Cb=3x/7,D尸=9

???3g+3幣<m<3幣+9

故選：D

【點睛】

此題考查幾何圖形動點問題，判斷出4尸_12尸，然后可分析出當點P與點B重合時,

CF+DF最?。划旤cP與點A重合時，CF+DF最大是解題關(guān)鍵.

2.C

解析：c

【解析】

【分析】

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,根據(jù)菱形的性質(zhì)推出A。是BD的垂直平分線，推出

PE+PB=PE+PD=DE且值最小，根據(jù)勾股定理求出DE的長即可.

【詳解】

如圖，設AC,BD相交于0,

A

???四邊形ABCD是菱形,

；BD=26

AAC1BD,A0=-AC,B0=

2

VAB=4,

AA0=2,

連結(jié)DE交AC于點P,連結(jié)BP,作EM_LBD于點M,

???四邊形ABCD是菱形，

AAC1BD,且D0=B。，即A0是BD的垂直平分線,

，PD=PB,

/.PE+PB=PE+PD=DE且值最小，

???E是AB的中點,EM1BD,

11/-

/.EM=yAO=l,BM=yBO=V2?

/.DM=DO+OM=|BO=3石,

7

,DE=VEAFTDM=肝+(3病2=2幣,

故選C.

【點睛】

此題考查了軸對稱?最短路線問題，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的判定和一角函數(shù)解答.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

由于四邊形DP8Q為平行四邊形，則8C〃DP,即DPJ_AC,P為4c中點，作出平行四邊

形，再利用平行線的距離相等可知：PC就是口。。8。的邊P。所對應的高，代入面積公式求

出面積即可.求得面積.

【詳解】

當點P運動到邊AC中點（如圖），即CP=3時，

以。，P,8,Q為頂點的平行四邊形的頂點。恰好在邊8c上.

???四邊形DPBQ為平行四邊形，

：.BC//DP,

/.ZDPC=90°,BPDP±AC.

而在R348C中，48=468c=2技

???根據(jù)勾股定理得：AC=6,

???△04C為等腰直角三角形，

1

：.DP=CP=-AC=3

2t

*：BC//DP,

工PC是平行四邊形OP8Q的高，

:.S平行四邊杉DPBQ=DP9CP=3X3=9.

故選D.

【點睛】

本題是四邊形的綜合題，考查了一副三角板所形成的四邊形的邊和角的關(guān)系；根據(jù)動點P

的運動路線確定其所形成的邊和角的關(guān)系，利用三角函數(shù)和勾股定理求邊和角的大小，得

出結(jié)論.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△BAE0ZXADF,即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)曲為90。，得出

AF_L.DE,即可判斷①，②無法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

④根據(jù)△BAE@Z\ADF,即可得到S四邊形GEDF=SMG，即可求解.

【詳解】

①證明：：￡在八D邊上（不與A.D重合），點F在DC邊上（不與D.C重合）.

又二點E.F分別同時從A.D出發(fā)以相同的速度運動，

：.AE=DF,

???四邊形48CD是正方形，

???AB=DA.ZBAE=ZD=90,

在AME和"OF中,

AE=DE

<ZBAE=ZADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF(SAS)f

AZ1=Z2,

,:N2+N3=90

:.Zl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=9。,

NBGF是定值；正確.

②無法判斷NG8尸與NC8尸的大小，BF平分NCBE；錯誤.

③當E運動到AD中點時，

點F運動到CD中點，

CF=-CD=a

21

BF=^BC2+CF2=6,

GH==2B"=好正確.

22

@hBAE^^ADF,

則S四邊形GEDF=SABG,

當CAAGB=(6+2)Q時，

AG+GB=y[6a,

(AG+GB)2=AG2-^2AGGB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

:.2AGGB=2a2,

SA/IO[Otc=-2AGGB2=-a"\

S四邊形GEDF=Ha?，?Smff$GEDF=-a2,錯誤?

26

故選A.

【點睛】

考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

5.B

解析：B

【分析】

由正方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AB=AF,ZAFG=9Q°,由HL證明RtA^BG^RtA4FG,得

出①正確；

設8G=FG=x,則CG=12-x.由勾股定理得出方程，解方程求出BG，得出GC,即可得出②

正確；

由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出N4G8=/GCF,得出AG〃CF,即可得出③正

確；

通過計算三角形的面積得出④錯誤；即可得出結(jié)果.

【詳解】

①正確.理由如下：

???四邊形48CD是正方形，???48=8C=C0=4D=12,ZB=ZGCE=ZD=90°,由折疊的性質(zhì)

得：AF=AD,ZAF￡=ZD=90°,AZ4FG=90°,AB=AF.在RtA48G和RtA4FG

AG=AG

中,〈,.\RtA>A8G^RtA/4FG(HL)；

AB=AF

②正確.理由如下：

由題意得：EF=DE=jCD=4,設BG=FG=x,則CG=12-x.

在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得(12-x)2+82=(x+4)2,解

得：x=6,?*.8G=6,：,GC=12-6=6,：.BG=GC；

③正確.理由如下：

'：CG=BG,BG=GF,???CG=GF,???△FGC是等腰三角形，/GFC=NGCF.

又

VRtA^fiG^RtA>4FGz/.ZAGB=^AGF,ZAGB+ZAGF=2ZA6B=1300-NFGC=NGFC+NGC

F=2ZGFC=2ZGCF,/.NAGB二NGCF,.\AG//CF；

④錯誤.理由如下：

11

VSAGCE=-GC?CE=-X6X8=24.

22

372

VGF=6,EF=4,ZXGFC和△FCE等高，:$GFC：S^FCE=3:2,/.5AGFC=-X24=—W28.8.

55

故④不正確，，正確的有①?@.

故選B.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行

線的判定，三角形的面積計算等知識；本題綜合性強，有一定的難度.

6.D

解析：D

【分析】

先證明4APDgAAEB得出BE=PD,NAPD=NAEB,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NAPE

=NAEP=45。，得出NAPD=NAEB=135。，②正確；得出NPEB=NAEB-NAEP=90。，

EB1ED,①正確；作BF_LAE交AE延長線于點F,證出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+0,由勾股定理得出AB=J八產(chǎn)+8產(chǎn)={5+2及，得出S正方彩ABCD=AB2=

5+20,③正確；EP=0AE=0\由勾股定理得出BP=JBE?+E產(chǎn)=瓜，④錯

誤；即可?得出結(jié)論.

【詳解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

/.ZEAB=ZPAD,

AP=AF

在4APD和AAEB中，＜NPAD二NEAB,

AD=AB

/.△APD^AAEB(SAS),

,?.BE=PD,ZAPD=ZAEB,

VAE=AP,ZEAP=90°,

/.ZAPE=ZAEP=45°,

/.ZAPD=135°,

.\ZAEB=135O,②正確;

AZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

AEB±ED,①正確；

作BFJ_AE交AE延長線于點F,如圖所示：

VZAEB=135°,

AZEFB=45°,

AEF=BF,

VBE=PD=2,

???EF=BF=0',

/.AF=AE+EF=1+V2，

AB=VAF+BF7=7(1+V2)2+(V2)2=J5+2夜,

AS正方形ABCD=AB2=(&+2&)』5+2立,③正確；

EP=V2AE=V2?

BP=」BE?+EP2=，2+(&)2=n,④錯誤；

故選：D.

D

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的判定、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)

鍵.

7.D

解析：D

【分析】

根據(jù)題意并結(jié)合圖形，我們可以得出當C為AB的中點時，可判斷所給結(jié)論正確與否.

【詳解】

解：

當C為AB中點時，有圖如下，

,/ACM與BCN為等邊三角形，

IC為AB中點,

.*.AM=AC=MC=NC=BC=NB,MD=ND,

V/MCN=60°

???/CMN=/CNM=60°

???CMN為等邊三角形，③正確；

V/AMD=/BND=120。

???AMD=BND

AAD=BD,Z\ABD此時為等腰三角形，②正確;

當C為AB中點時，AD+BD值最小，

???D為MN的中點,

???CD為MN的垂直平分線，

/.=VAB=6,

4

VAD=BD

???AD+BD=3j7,④正確；

若AABD可能為直角三角形，則NADB=90。，

???CD為AB的垂直平分線

???NADC=45°

???AC=CD,與所求結(jié)論不符，①錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查的知識點是等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理及性質(zhì)，弄清題意，畫

出當C為AB中點時的圖形是解題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，當PQ_LBC時，PQ的值最

小，利用這兩組數(shù)據(jù)，在R14ABQ中，可求得答案.

【詳解】

當點P和點A重合時，當點C和點Q重合時，PQ的值最大，PQ=8石

D

當PQ_LBC時，PQ的值最小，

,PQ=8,ZQ=90°,

在RtAACQ中，

CQ=J(8扃-8?=16.

在RtAABQ中，設AB=BC=x,則BQ=16-x,

.??AQ2+BQ2=AB2即82+(16-x)2=x2

解之:x=10.

故答案為：B.

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)和勾股定理的運用，解題關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)，判斷出PQ最大和最

小的情況.

9.A

解析：A

【分析】

由三角形的中位線定理得：B2C2,4c2，分別等于44、Bg、GA的g,所

以4432G的周長等于△AB￡的周長的一半，以此類推可求出結(jié)論.

【詳解】

解：△A51G中，4片=4,AG=5,BjCj=7,

A4G的周長是16,

4,B2f。2分別是邊用G，AG，4旦的中點，

-B2C2,4G，分別等于A4、gG、GA的g，

以此類推,則△為推的周長是）X16=2；

△A“B“C”的周長是2“_:，

241

當〃=2019時，第2019個三角形的周長=4^=$

故選：A.

【點睛】

本題考查了三角形的中位線定理，中位線是三角形中的一條重要線段，由于它的性質(zhì)與線

段的中點及平行線緊密相連，因此，它在幾何圖形的計算及證明中有著廣泛的應用.

10.A

解析：A

【分析】

①根據(jù)正方形的對角線平分對角的性質(zhì)，得APDF是等腰直角三角形，在RSDPF中，

DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,求得DP=>/2EC.

②先證明四邊形PECF為矩形，根據(jù)等腰直角三角形和矩形的性質(zhì)可得其周長為2BC,則四

邊形PECF的周長為8：

③根據(jù)P的任意性可以判斷4APD不一定是等腰三角形；

④由②可知，四邊形PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明AP=EF；

⑤當AP最小時，EF最小，EF的最小值等于2夜；

⑥證明NPFH+NHPF=90°,則AP_LEF.

【詳解】

G,連PC,延長AP交EF與H,

AZDPF=ZDBC,

:四邊形ABCD是正方形

AZDBC=45°

/.ZDPF=ZDBC=45°,

.?.ZPDF=ZDPF=45°,

.-.PF=EC=DF,

,在RtADPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2,

.*.DP=V2EC.故①正確；

②?.?PE_LBC,PF±CD,ZBCD=90\

J四邊形PECF為矩形，

工四邊形PECF的周長=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8,故②正確；

③???點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，ZADP=45度,

，當/PAD=45度或67.5度或90度時，AAPD是等腰三角形，

除此之外，AAPD不是等腰三角形，

故③錯誤.

④???四邊形PECF為矩形，

/.PC=EF,

由正方形為軸對稱圖形，

，AP=PC,

/.AP=EF,

故④正確；

⑤由EF=PC=AP,

???當AP最小時，EF最小,

則當AP_LBD時，即AP=gBD=gx40=2J5時，EF的最小值等于20,故⑤正確;

?VGF/7BC,

/.ZAGP=90°,

/.ZBAP+ZAPG=90o,

VZAPG=ZHPF,

.,.ZPFH+ZHPF=90°,

AAPXEF,

故⑥正確；

本題正確的有：①②④⑤?;

故選：A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，垂直的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的運用.本題難度

較大，綜合性較強，在解答時要認真審題.

二、填空題

11.12或20

【分析】

根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：情況一：當BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時，如圖1所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=2?，

在ACE中，由勾股定理可知：CE=A/AC2-AE2=7(2>/5)2-42=2?

在ABE中，由勾股定理可知：BE=VAB2-AE2=\J52-42=3/

.\BC=BE+CE=3+2=5,

此時平行四邊形ABCD的周長等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20：

情況二：當BC邊上的高在平行四邊形的外部時，如圖2所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4,AB=5,AC=2j5

在RSACE中，由勾股定理可知：CE=dAC2?厲=J(2石>一42=2,

在ABE中，由勾股定理可知：BE=x/AB2-AE2=>/52-42=3/

.\BC=BE-CE=3-2=1,

平行四邊形ABCD的周長為2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

綜上所述，平行四邊形ABCD的底長等于12或20.

故答案為：12或20.

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部

討論是解題關(guān)鍵.

12.①?④

【分析】

由矩形的性質(zhì)可得AB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,由角平分

線的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得NF=/FAD=45。，可得AD=DF=BC,可判斷①；通過證明

△DCG^ABEG,可得NBGE=NDGC,BG=DG,即可判斷②③；過點G作GHJ_CD于H,設

AD=4x=DF,AB=3x,由勾股定理可求BD=5x,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得

HG=CH=FH=^-x,DG=GB=-^x,由三角形面積公式可求解，可判斷④.

22

【詳解】

解：?.?四邊形ABCD是矩形，

AAB=CD,AD=BC,ZBAD=ZABC=ZBCD=ZADC=90°,AC=BD,

VAE平分NBAD,

/.ZBAE=ZDAE=45°,

AZF=ZFAD,

/.AD=DF,

???BC=DF,故①正確；

VZEAB=ZBEA=45°,

/.AB=BE=CD,

VZCEF=ZAEB=45°,ZECF=90%

???△CEF是等腰直角三角形，

???點G為EF的中點,

，CG=EG,ZFCG=45°,CG1AG,

AZBEG=ZDCG=1350,

在ADCG和aBEG中，

BE=CD

,NBEG=NDCG,

CG=EG

AADCG^ABEG(SAS).

.\ZBGE=ZDGC,BG=DG,

VZBGE<ZAEB,

/.ZDGC=ZBGE<45°,

VZCGF=90°,

/.ZDGF<135°,故②錯誤：

VZBGE=ZDGC,

/.ZBGE+ZDGA=ZDGC+ZDGA,

AZCGA=ZDGB=90°,

ABG1DG,故③正確；

過點G作GH_LCD于H,

3

???AB=-ADt

4

工設AD=4x=DF,AB=3x,

ACF=CE=x,BD=J.+Af)2=5。，

???△CFG,AGB。是等腰直角三角形，

]Sx/?

AHG=CH=FH=—x,DG=GB=l-2—x,

22

1,125,

??SADGF=—xDFxHG=x2,SABDG=—DGxGB=—x2,

224

25

?**sBDG=彳5的，故④正確；

故答案為：①③④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練

掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關(guān)鍵.

13.4

【分析】

根據(jù)三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形4EPF是矩形，根據(jù)矩形的對角線相等，

得￡F=4P,則EF的最小值即為4P的最小值，根據(jù)垂線段最短，知：4P的最小值即等于

直角三角形4BC斜邊上的高.

【詳解】

解：連接八P，

.?在Aa8C中，48=3,AC=4,fiC=5,

/.AB2+AC2=BC2,

BPZBAC=90°.

又?「PE_L48于E,PF±AC于F,

???四邊形4EPF是矩形，

EF=AP,

AP的最小值即為直角三角形4BC斜邊上的高，

設斜邊上的高為h,

則SAABC=L8C〃=，A8AC

22

1-1一

/.—x5-w=-x3x4

22

Ah=2.4,

??.￡F的最小值為2.4,

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性質(zhì)的應用，要能夠把

要求的線段的最小值轉(zhuǎn)化為便于求的最小值得線段是解此題的關(guān)鍵.

14.▲衣或之屈

22

【分析】

根據(jù)點尸在直線8C上，點。在直線CO上，分兩種情況：LP、Q點位于線段上；2.P、Q

點位于線段的延長上，再通過三角形全等得出相應的邊長，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當P點位于線段BC匕Q點位于線段CD上時：

?「四邊形ABCD是矩形

APA.PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

333

/.PC=AB=一，BP=BC-PC=3-一=一

222

AP=J(-)2+(-)2=

V222

當P點位于線段BC的延長線上，Q點位于線段CD的延長線上時：

?「四邊形ABCD是矩形

APLPQ.

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

?「AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+—=-

222

2

AP=J（1）+（2）2=|V[O

V222

故答案為：不＞/^或不Jid

【點睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

15.3+3y/5-

【分析】

取AB的中點M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取48的中點連接OQ,QM,DM.

???四邊形48C。是正方形，

：.AD=AB=6,ZDAM=ZADG=90°,

'：AM=BM=3t

?*-OM=^AEP+AM2=A/62+32=35

,:GK=HK,AB,GH關(guān)于EF對稱.

：.QM=QK,

VZADG=90°,AQ=Q6,

/.DQ=AQ=QG,

「△QGK的周長=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又???Da+QMeOM,

???0Q+QM23逐，

???△QGK的周長的最小值為3+3芯,

故答案為3+3逐.

【點睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理、最值問題，解題的關(guān)鍵是取AB的中

點M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考常考題型.

16.@@

【分析】

根據(jù)菱形的性質(zhì)可知ACJ_BD,所以在RtZkAFP中，AF一定大于AP,從而判斷①；設

ZBAE=x,然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等表示出NABE,再根據(jù)菱形的鄰角互補求出

ZABE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出方程，求出x的值，求出NBFE和NBE的度數(shù)，從而

判斷②?.

【詳解】

解：在菱形ABCD中，AC1BD,

，在Rt^AFP中，AF一定大于AP,故①錯誤；

???四邊形ABCD是菱形，

AAD/7BC,

/.ZABE+ZBAE+ZEAD=180°,

設NBAE=x0,

則NEAD=2x°,ZABE=180°-x°-2x°,

VAB=AE,ZBAE=x°,

NABE=NAEB=180°-x°-2x°,

由三角形內(nèi)角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180,

解得：x=36,

BPZBAE=36°,

ZBAE=180°-36°-2x36°=70°,

???四邊形ABCD是菱形，

1

/.ZBAD=ZCBD=—ZABE=36°,

2

/.ZBFE=ZABD+ZBAE=360+36°=72%

/.ZBEF=180o-36o-72o=72°,

，BE=BF=AF.故③正確

VZAFD=ZBFE=72°,ZEAD=2x0=72°

.\ZAFD=ZEAD

AAD=FD

又?.?AD=AB=AE

AAE=FD,故②正確

，正確的有②③

故答案為：②③

【點睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并列出關(guān)于NBAE的方程是解題

的關(guān)鍵，注意：菱形的對邊平行，菱形的對角線平分一組對角.

120

17.—

13

【分析】

設MN與BC交于點。，連接40,過點。作0HJ_4C于H點，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾

股定理可求40和0〃長，若M/V最小，則M。最小即可，而。點到AC的最短距離為0H

長，所以最小值是20H.

【詳解】

解：設MN與8c交于點。，連接A0,過點。作0H_L4C于H點，

，。為8c中點，MN=2M0.

\,AB=AC=13,8c=10,

：.AOLBC.

在RtZXAOC中，利用勾股定理可得

A0=VAC2-co2=Vi32-52=

利用面積*去：AOXCO-ACXOH,

即12X5=13XOH,解得。"=一.

13

當M。最小時，則MN就最小，。點到4C的最短距離為。〃長,

所以當M點與H點重合時，M。最小值為0〃長是指.

120

所以此時MN最小值為20H=—

…生“120

故答案為：n.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是分析出點到某線段的垂線段最短，由此進行轉(zhuǎn)化線段，動中找靜.

18.1或7.

【分析】

存在2種情況滿足條件，一種是點P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一種是點P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【詳解】

設點P的運動時間為/秒，

當點P在線段BC上時，則=

???四邊形ABC。為長方形，

:?AB=CD,NB=NOCE=90。，

此時有AABP^ADCE,

；?BP=CE,即2z=2,解得f=l；

當點P在線段A。上時，則3C+CZ）+OP=2f,

VAB=4,AD=6f

:.BC=6,CD=4,

???A尸=（3。十8十DA）一（6C十CD十。2）=6十4+6—2，=16—2，，

???AP=16-2r,

此時有,

/.AP=CE,即16—2f=2,解得，=7；

綜上可知當f為1秒或7秒時，AABP和ACOE全等.

故答案為：1或7.

【點睛】

本題考查動點問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，要證三角形的全等，只需要還得到

一條直角邊相等即可

19.13+8立

【分析】

如圖所示，延長CD交FN于點P,過N作NK_LCD于點K,延長FE交CD于點Q,交NS于

點R,苜先利用正方形性質(zhì)結(jié)合題意求出AD=CD=AG=DQ=1,然后進一步根據(jù)菱形性質(zhì)得出

DE=EF=DG=2,再后通過證明四邊形NKQR是矩形得出QR=NK=J^,進一步可得

FN?=FR?+NR2=13+8&再延長NS交ML于點Z,利用全等三角形性質(zhì)與判定證

明四邊形FHMN為正方形，最后進一步求解即可.

【詳解】

如圖所示，延長CD交FN于點P,過N作