平行四邊形單元達標提高題檢測試題

平行四邊形單元達標提高題檢測試題

一、選擇題

1.如圖，菱形ABCO中，A3=4,NA5C=120,點E是邊A3上一點，占尸在8C

上，下列選項中不正確的是（）

A.若AE+Cr=4,則AAOE且2X3。尸

B.若DF工AD,DE上CD,則痔=26

C.若/。仍=/。/。,則43￡：尸的周長最小值為4+26

D.若OE=Z）尸，則ZADE+N尸OC=60"

2.如圖，菱形A8CO中，AC交8。于點。，。后_1,8。于點￡：,連接。E,若

ZBCD=50°,則NOE。的度數(shù)是（）

3.如圖，在AABC中，BF平分NABC,過A點作AF_LBF,垂足為F并延長交BC于點G,

D為AB中點，連接DF延長交AC于點E。若AB=12,BC=20,則線段EF的長為（）

4.E1ABCD中，ZA=60°,點E、F分別在邊AD、DC上，DE=DF,且NEBF=60°.若AE=2,

5.如圖，正方形ABCD的邊長為2a,點E從點A出發(fā)沿著線段AD向點D運動（不與點

A、D重合），同時點F從點D出發(fā)沿著線段DC向點C運動（不與點D、C重合），點E與點F

的運動速度相同.BE與AF相交于點G,H為BF中點，則有下列結(jié)論：①NBGF是定值；

②BF平分NCBE：③當E運動到AD中點時，GH=Y^Q；④當QAGB=（n+2）〃時，S聯(lián)形

2

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

6.如圖，已知A48C中，Z4Cfi=90°,AC=BC=2,將直角邊4c繞4點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC,連

接8C,￡為8。的中點，連接CE,則CE的最大值為（）.

D.與+1

7.如圖，在平行四邊形4BC。中，ZC=120°,A￡>=4,AB=2,點E是折線

BC-CO—D4上的一個動點（不與A、8重合）.則△ABE的面積的最大值是（）

A.苧B.1C.3&D.26

8.如圖，矩形ABC。中，。為AC中點，過點。的直線分別與AB,CD交于點、E,

F,連接B/交AC于點M,連接DE,BO.若N8B=6O，F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)

論：

①陽_LOC,OM=CM；

②EOB=CMB；

③四邊形E3FD是菱形；

?MB:OE=3:2.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

9.如圖，將邊長為8cm的正方形48CD折疊，使點D落在8c邊的中點￡處，點4落在點

F處,折痕為MN,則折痕M/V的長是（）

K56cmB.5逐cmC.4逐叩D-4石cm

10.如圖，一個四邊形花壇ABCD,被兩條線段MN,EF分成四個部分，分別種上紅、黃、

紫、白四種花卉，種植面積依次是Si、S2、S3、S4,若MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,則有

A.Si=S4B.Si+S4=S2+S3C,Si+S3=S2+S4D.Si?S4=S2?S3

二、填空題

11.如圖，在等邊ABC和等邊OEF中，尸。在直線AC上，BC=3DE=3,連接

BD,BE,則BD+BE的最小值是.

12.如圖，在矩形48co中，AD=y[2AB,N840的平分線交8c于點E,D〃J_AE于點

H,連接8H并延長交CD于點F,連接DE交8F于點O,下列結(jié)論：①N4ED=NCED；

（2）OE=OD,③BH=HF：@BC-CF=2HE；⑤AB=HF,其中正確的有.

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中點，作CEJ_AB,垂足E在線段

AB上，連接EF、CF,則下列結(jié)論：⑴NDCF+豆ND=90'；⑵NAEF+NECF=90°：

⑶SBEC=2SCEF；（4）若NB=80。，則NAEF=50。.其中一定成立的是（把所有正確結(jié)

論的字號都填在橫線上）.

14.如圖，在平行四邊形ABC。，A0=248,F是4。的中點，作C￡_LAB,垂足E在線段A8

上，連接小、CF,則下列結(jié)論：?ZaCD=2ZDCF：②EF=CF；③SMDF=SO④NDFE=

3NAEF,一定成立的是.（把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上）

15.在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB,AC為邊向外作正方形ABDE和

正方形ACFG,連接CE,BG和EG,EG與HA的延長線交于點M,下列結(jié)論：①BG=CE；

②BG_LCE；③AM是4AEG的中線；④NEAM=NABC.其中正確的是.

16.如圖，在RtAABC中，ZBAC=90°,AB=8,AC=6,以8c為一邊作正方形8DEC設(shè)

正方形的對稱中心為。，連接4。則4。=.

B

,o

DE

17.已知：如圖，在長方形ABCD中，AB=4,AD=6.延長BC到點E,使

CE=2,連接。E,動點P從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿BC—CO—D4向終

點A運動，設(shè)點P的運動時間為I秒，當f的值為秒時，A4BP和AOCE全等.

18.在平面直角坐標系xOy中，點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運動，點M為線段

AB的中點.點D、匚分別在x軸、y軸的負半軸上運動，且DC=AB=10.以D匚為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線段MG長度的最大值為.

19.如圖，在ABC中，。是A8上任意一點，E是BC的中點，過C作CfV/AB,交DE的

延長線于F,連8F,CD,若47汨=30°,ZABC=45°,BC=20.則

DF=.

20.如圖，長方形ABCD中，AD=26,AB=12,點。是BC的中點，點尸在邊

上運動，當V8PQ是以。尸為腰的等腰三角形時，AP的長為,

三、解答題

21.如圖，在RtABC中，NB=90。，AC=60cm,ZA=60\點D從點C出發(fā)沿CA方向

以4cm/s的速度向點A勻速運動.同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點B

勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間

是ts(0<t<15).過點D作DF_LBC于點F,連接DE,EF.

(1)求證：AE=DF；

(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值，如果不能，說明理由；

22.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB1AC,對角線AC,BD相交于點。，將直線AC繞點

0順時針旋轉(zhuǎn)一個角度a(0?！葱?0。)，分別交線段BC,AD于點E,F,連接BF.

(1)如圖1,在旋轉(zhuǎn)的過程中，求證：OE=OF；

(2)如圖2,當旋轉(zhuǎn)至90。時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結(jié)論；

(3)若AB=1,BC=逐，且BF=DF,求旋轉(zhuǎn)角度a的大小.

23.在矩形A8CO中，連結(jié)AC,點E從點8出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿著3fA

的路徑運動，運動時間為/(秒).以砥為邊在矩形ABC。的內(nèi)部作正方形

(1)如圖，當A8CO為正方形且點〃在A48C的內(nèi)部，連結(jié)求證:

AH=CHx

(2)經(jīng)過點E且把矩形ABC。面積平分的直線有條；

(3)當AB=9,8C=12時，若直線A”將矩形A6CO的面積分成1：3兩部分，求，的

值.

24.如圖1,已知四邊形488是正方形，E是對角線8D上的一點，連接A￡,CE.

圖1圖2

(1)求證：AE=CE；

(2)如圖2,點P是邊8上的一點，且PE_L8D"tE連接8P,。為8P的中點，連接

E0.若NP8c=30。，求NPOE的度數(shù)；

(3)在(2)的條件下，若OE=&,求CE的長.

25.如圖所示，四邊形ABCO是正方形，M是48延長線上一點.直角三角尺的一條直

角邊經(jīng)過點。，且直角頂點E在A8邊上滑動(點E不與點48重合)，另一直角邊與

/CBM的平分線BF相交于點F.

(1)求證：ZADE=^FEM'f

(2)如圖(1),當點E在A5邊的中點位置時，猜想。￡與EF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想;

⑶如圖(2),當點E在A8邊(除兩端點)上的任意位置時，猜想此時OE與E尸有怎樣的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的猜想.

26.已知正方形A8CQ與正方形(點C、E、F、G按順時針排列)，是的中點，連接，.

（1）如圖1,點E在上，點在的延長線上，

求證：DM=ME,DMl.ME

簡析：由是的中點，AD〃EF,不妨延長EM交AD于點N,從而構(gòu)造出一對全等的三角

形，即且.由全等三角形性質(zhì)，易證ADNE是三角形，進而得出結(jié)論.

（2）如圖2,在。。的延長線上，點在上，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，請證明你的結(jié)

論；若不成立，請說明理由.

（3）當AB=5,CE=3時，正方形的頂點C、E、F、G按順時針排列.若點E在直線CD上，

則DM=;若點E在直線BC上，則DM=.

27.如圖，四邊形ABC。為正方形.在邊AO上取一點E,連接8E,使乙4破=60。.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點8、。為圓心，8c長為半徑作弧交正

方形內(nèi)部于點丁，連接87并延長交邊AO于點E,則乙4EB=60。；

（2）在前面的條件下，取班:中點M,過點M的直線分別交邊A3、CD于點、P、Q.

①當PQJL3E時，求證：BP=2AP；

②當PQ=3E時，延長鹿，CD交于N點，猜想NQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

28.在正方形AMFN中，以AM為BC邊上的高作等邊三角形ABC,將AB繞點A逆時針旋

轉(zhuǎn)90。至點D,D點恰好落在NF上，連接BD,AC與BD交于點E,連接CD,

（1）如圖1,求證：△AMCgZ\AND：

⑵如圖1,若DF=JL求AE的長；

⑶如圖2,將ACDF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)a（0<a<90），點CF的對應(yīng)點分別為G、

AG

連接AK、BC；,點G是BC；的中點，連接AG,試探索二一1是否為定值，若是定值，則求

出該值；若不是，請說明理由.

29.如圖，在長方形48CD中，AB=CD=6cm,8c=10cm,點P從點8出發(fā)，以2cm/秒的

速度沿8c向點C運動，設(shè)點P的運動時間為t秒：

(1)PC=cm.(用t的代數(shù)式表示)

(2)當t為何值時，△ABPg△DCP?

(3)當點P從點8開始運動，同時，點。從點C出發(fā)，以vcm/秒的速度沿C。向點。運

動，是否存在這樣v的值，使得AABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存

30.在邊長為5的正方形ABCD中，點E在邊CD所在直線上，連接BE,以BE為邊，在

BE的下方作正方形BEFG,并連接AG.

(1)如圖1,當點E與點D重合時，AG=;

(2)如圖2,當點E在線段CD上時，DE=2,求AG的長；

備用圖

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.D

解析：D

【分析】

A.正確，只要證明ADE^8OF即可；

B.正確，只要證明。尸_L8C,進而得到ED尸是等邊三角形，進而得到結(jié)論；

C.正確，只要證明DBE=。。尸得出。后廠是等邊三角形，因為BE廠的周長為

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=^+EF,所以等邊三角形￡>E廠的邊長

最小時，BEF的周長最小，只要求出QE尸的邊長最小值即可；

D.錯誤，當EFAC時，DE=DF,由此即可判斷.

【詳解】

A正確，理由如下：

四邊形ABCD是平行四邊形，ZABC=\20Q

AD=DC=BC=AB=4,ZABD=NDBC=60°,

408、8￡>C都是等邊三角形，

/.AD=BD,ZDAE=ZDBF=60°,

AE+CF=4,BF+CF=4,

AE=BF,

又AD=BD,4DAE=/DBF,

ADE=BDF.

B正確，理由如下：

DFLAD.ADBC,

..DF1BC,

Q5C是等邊三角形，

...NBDF=30°,DF=—CD=2百，

2

同理NBDE=30°,DE=2百，

.?.DE=DF,NEDF=60。,

E。尸是等邊三角形，

：.EF=DE=2y/3.

C正確，理由如下：

ZDBE=4DCF、ZDEB=NDFC,DB=DC,

..DBE=DCF,

..DE=DF,/BDE=4CDF,BE=CF,

:./EDF=/BDC=&）。,

OE77是等邊三角形，

3E尸的周長為：

BE+BF+EF=BF+CF+EF=BC+EF=4+EFf

...等邊三角形￡＞七/邊長最小時，的周長最小，

???當。石_LAB時，DE最小為26，

BEb的周長最小值為4+2^.

D錯誤，當EFAC時，DE=DF,此時NAOE+NFOC時變化的不是定值，故錯誤.

故選D.

【點睛】

本題主要考查全等的判定的同時，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，涉及到最值問題，仔細分析圖

形，明確圖形中的全等三角形是解決問題的關(guān)鍵.

2.C

解析：C

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形的斜邊中線性質(zhì)可得OE=BE=OD,根據(jù)菱形性質(zhì)可得

ZDBE=^ABC=65\從而得到NOEB度數(shù)，再依據(jù)NOED=90°-NOE3即可.

2

【詳解】

解：???四邊形A8CO是菱形，/BCD=50°，

「0為BD中點，Z.DBE=—Z.ABC=65.

2

DE1BC,

.?.在RtABDE中，OE=BE=OD,

；./OEB=4OBE=6S.

ZOED=90°-65°=25°.

故選；C.

【點睛】

本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解決這類問題的方法是四邊形

轉(zhuǎn)化為三角形.

3.C

解析：C

【解析】

【分析】

由直角三角形的性質(zhì)可求得DF=BD=1AB,由角平分線的定義可證得DE〃BC,利用三

2

角形中位線定理可求得DE的長，則可求得EF的長.

【詳解】

解:???AF_LBF,D為AB的中點,

1

.*.DF=DB=-AB=6,

2

AZDBF=ZDFB,

TBF平分NABC,

AZDBF=ZCBF,

/.ZDFB=ZCBF,

，DE〃BC,

???DE為aABC的中位線，

1

.*.DE=-BC=10,

2

AEF=DE-DF=10-6=4,

故選：C.

【點睹】

本題考查直角二角形斜邊卜的中線的性質(zhì),用平分線的性質(zhì).等腰二角形的判定與性質(zhì).

三角形中位線定理.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊是斜邊的一半可得^DBF為等腰三

角形，通過角平分線的性質(zhì)和等角對等邊可得DF//BC,即DE為aABC的中位線，從而計

算出DE,繼而求出EF.

4.A

解析：A

【解析】

【分析】

由DE=DF,AE=2,FC=3可知AB-BC=1,過點E作EM_LAB于M,根據(jù)30°角所對的直

角等于斜邊的一半可得AM=1,進而得出BM=BC,將△BEM順時針旋轉(zhuǎn)120。得

△BEN,連接FN,可證△BEFgZ\BFN,即可得出EF=FN,過點N作NG_LDC交DC的

延長線于點G,利用勾股定理即可求出答案.

【詳解】

解：過點E作EM_LAB于M,

在Rb^AEM中，ZA=6O°,

/.zAEM=30°,

1

/.AM=—AE=1?

2

???ME=G，

又???DE=DF,AE=2,FC=3,

.?.DC-AD=1,BPAB-BC=1,

將ZkBEM順時針旋轉(zhuǎn)120°WABEN,連接FN,則CN=EM=JLBE=BN,

-.ZEBF=6O°,ZEBN=12O°,

.\zNBF=60°,

AzEBF=Z.NBF

又???BE=BN,BF=BF,

???△BEF三ABFN,

???EF=FN,

過點N作NG1DC交DC的延長線于點G,

VzGCN=180o-60°-90o=30°,

,\NG=-NC=—

22

故答案為舊.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，合理添加輔助線是解題關(guān)

鍵.

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意很容易證得△BAEg^ADF,即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)曲為90。，得出

AF_LDE,即可判斷①，②無法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

④根據(jù)△BAEgZ\ADF,即可得到S時形GEDF=S.，即可求解.

【詳解】

①證明：：￡在八D邊上（不與A.D重合），點F在DC邊上（不與D.C重合）.

又丁點E.F分別同時從A.D出發(fā)以相同的速度運動，

：.AE=DFf

???四邊形A8CD是正方形，

???AB=DA^BAE=^D=90,

在△川￡和"OF中，

AE=DE

?NBAE=NADF=90

AB=AD,

：.^BAE^^ADF(SAS),

.\Z1=Z2,

VN2+N3=90

AZl+Z3=90

即ZAGB=90

NBGF=90,

NBGF是定值；正確.

②無法判斷NG8”與NCB尸的大小，BF平分NCBE；錯誤.

③當E運動到AD中點時，

點、F運動到CD中點，

CF=-CD=a,

2

BF=>jBC2+CF2=亞a,

6仁二28/二好。,正確.

22

④"AE絲ZkADR

則S四邊形GEDF=SABG,

當C"GB=(/+2)4時，

AG+GB=Ra,

(AG+GB)2=AG22AG-GB+GB2=6a\

AG2+BG2=AB2=4a2,

二.2AGGB=2a2,

11-

S=-AGGB=-a2,

/Ai/RJOC22

S網(wǎng)邊形GEDF=Hd2,故S內(nèi)成形GEDF=_7a2,錯誤.

26

故選A.

【點睛】

考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

6.B

解析：B

【分析】

取AB的中點M,連接CM,EM,當CE=CM^EM時,CE的值最大,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

AC=AC=2,由三角形的中位線的性質(zhì)得到=根據(jù)勾股定理得到

AB=2y/2,即可得到結(jié)論.

【詳解】

取AB的中點M,連接CM,EM,：.當CE=CM+EM時，CE的值最人.

;將直角邊4c繞4點逆時針旋轉(zhuǎn)至4。，「.AC=4C=2.

E為BC'的中點，.

2

,/ZACB=90°,AC=BC=2,：.48=272，.,CM=-AB=y(2,CE=CM+EM=y]2+\?

故選B.

【點睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線的性質(zhì)，正確的作出輔助線

是解題的關(guān)鍵.

7.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當點E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當E在CD

上時，AABE的面積不變；③當E在AD上時，E與D重合時，4ABE的面積最大，根據(jù)三

角形的面積公式可得結(jié)論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當點E在BC上時，E與C重合時，4ABE的面積最大，如圖1,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

AZC+ZB=180°,

VZC=120°,

.*.ZB=60o,

Rt^ABF中，ZBAF=30°,

/.BF=yAB=l,AF=G

，此時4ABE的最大面積為：Jx4x石=2百；

②當E在CD上時，如圖2,此時，A^ABE的面積=!S，ABCD=!X4XJJ=26；

22

③當E在AD上時，E與D重合時，4ABE的面積最大，此時，4ABE的面積=2石，

綜上，4ABE的面積的最大值是26；

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，并運用分類討論的思想解決問題.

8.C

解析：C

【分析】

①證明△OBC是等邊三角形，即可得OB=BC,由FO=FC,即可得FB垂直平分OC,①正

確；②由FB垂直平分OC,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得4FCB合△FOB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

可得NBCF=ZBOF=90°,再證明△F0醛△EOA,所以FO=EO,即可得0B垂直平分EF,所

以40B心△OBE,即4EOB合△FCB,②錯誤；③證明四邊形DEBF是平行四邊形，再由

0B垂直平分EF,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得BE=BF，即可得平行四邊形DEBF為菱

形，③正確；④由OBa△EOB些△FCB得/1=N2=Z3=30°,在RtAOBE中，可得OE

=2^1OB,在RtAOBM中，可得即可得BM：OE=3：2,④正確.

32

【詳解】

①???矩形ABCD中，O為AC中點，

OB=OC,

???ZCOB=60°,

J.△OBC是等邊三角形，

OB=BC,

FO=FC,

FB垂直平分OC,

FB±OC,0M=CM；

①正確；

②???FB垂直平分OC,

根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得^FCB杷△FOB,

：.ZBCF=ZBOF=90°,即OB_LEF,

1--OA=OC,ZFOC=ZEOA,ZDCO=ZBAO,

/.△F0C2△EOA,

FO=EO,

???OB垂直平分EF,

」.△OBF^△OBE,

」.△EOB合△FCB,

②錯誤；

③:△FOC^△EOA,

FC=AE,

?「矩形ABCD,

CD=AB,CDIIAB,

DFIIEB,DF=EB,

???四邊形DEBF是平行四邊形，

OB垂直平分EF,

：.BE=BF,

，平行四邊形DEBF為菱形；

③正確；

④由OB卷△EOB些△FCB得N1=N2=Z3=30°,

DC

在RtAOBE中，0E=—OB,

3

在R3OBM中，BM=—OB,

2

：.BM：0E=—OB：=—0B=3：2.

23

④正確；

所以其中正確結(jié)論的個數(shù)為3個：

故選C.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線

的性質(zhì)、菱形的判定及銳角三角函數(shù)，是一道綜合性較強的題目，解決問題的關(guān)鍵是會綜

合運用所學(xué)的知識分析解決問題.

9.D

解析：D

【分析】

連接DE,因為點。是中點，所以CE等于4,根據(jù)勾股定理可以求出DE的長，過點M作

MG_LCD于點G,則由題意可知MG=8C=CD,證明可以得到。￡=MN,

即可解決本題.

【詳解】

由題意，在Rt/SOCE中，CE=4cm,CD=8cm,

由勾股定理得：DE=y/cE2+CD2=\/42+82=4>/5cm.

過點M作MGA.CD于點G,則由題意可知MG=BC=CD.

連接DE,交MG于點/.

由折疊可知，DE_LM/V,AZNMG+MIE=90°,

VZD/G+ZEDC=90°,ZMIE=ZDIG(對頂角相等)，

/.ZNMG=ZEDC.

在△MA/G與中，

'/NMG=ZEDC

<MG=CD

NMGN=NDCE=9。。

：./\MNG^^DEC(ASA).

/.MN=DE=4布cm.

故選。.

【點睹】

本題主要考查了正方形的性質(zhì)、折疊以及全等三角形，能夠合理的作出輔助線并找出全等

的條件是解決本題的關(guān)鍵.

10.D

解析：D

【分析】

由于在四邊形中，MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,因此MN、EF把一個平行四邊形分割成四

個小平行四邊形.可設(shè)MN到DC的距離為hi,MN到AB的距離為hz,根據(jù)AB=CD,

DE=AF,EC=FB及平行四邊形的面積公式即可得出答案.

【詳解】

解：?.?MN〃AB〃DC,EF〃DA〃CB,

，四邊形ABCD,四邊形ADEF,四邊形BCEF,紅、紫、黃、白四邊形都為平行四邊形，

，AB=CD,DE=AF,EC=BF.

設(shè)MN到DC的距離為hi,MN到AB的距離為h2,

貝IJS尸DE?hi,S2=AF?h2,S3=EC?hi,S4=FB-h2,

因為DE,hi,FB,h2的關(guān)系不確定，所以Si與S4的關(guān)系無法確定，故A錯誤；

Si+S4=DE-hi+FB-h2=AF*hi+FB*h2,S2+S3=AF?h2+EC?hi=AF?h2+FB?h?,故B錯誤；

Si+S3=CD*hl,S2+S4=AB*h2,又AB=CD,而hi不一定與hz相等,故C錯誤；

Si,S4=DE*hl*FB*h2=AF*hi*FB*h2iS2?S3=AF*h2*EC*hi=AF*h2*FB*hi,所以Si?$4=S2?$3,

故D正確；

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，注意掌握平行四邊形的面積等于平行四邊形的邊長與

該邊上的高的積.即S=a?h.其中a可以是平行四邊形的任何一邊，h必須是a邊與其對邊

的距離，即對應(yīng)的高.

二、填空題

11.V37

【分析】

如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關(guān)于直線AC的對稱點W,連接TW,

DW,過點W作WK_LBC交BC的延長線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問題轉(zhuǎn)化為求

DT+DW的最小值.

【詳解】

解：如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點B關(guān)于直線AC的對稱點W,連接

TW,DW,過點W作WK_LBC交BC的延長線于K.

VAABC,ZXDEF都是等邊三角形,BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE//TC.

VDE=BT=1,

，四邊形DEBT是平行四邊形，

.\BE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W關(guān)于直線AC對稱，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60°,

VWK1CK,

/.ZK=90°,ZCWK=30°,

13r-3J3

，CK=—CW=—，WK=j3CK=12^,

22、2

—311

.*.TK=l+3+—=一,

22

：.y\N=^TK2+WK2=1ly+苧=5/37>

DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

/.BD+BE>737，

???BD+BE的最小值為相，

故答案為而.

【點睛】

本題考查軸對稱?最短問題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)

等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

12.??③④

【分析】

①根據(jù)角平分線的定義可得NB4￡=/ME=45°,可得出△八8E是等腰直角三角形，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)可得命=近八8,從而得到AE=AD,然后利用“角角邊”證明△ABE

和△AHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DH,再根據(jù)等腰三角形兩底角相等求

出NAOE=N4ED=67.5°,根據(jù)平角等于1800求出NCED=67.5°,從而判斷出①正確；

②求出N4HB=67.5°,ZDHO=ZODH=22.5°,然后根據(jù)等角對等邊可得OE=OD=OH,判斷

出②正確；

③求出NE8H=NOHD=22.5°,N八E8=/HDF=45°,然后利用“角邊角”證明△8EH和

△HDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得8H=HF,判斷出③正確；

④根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OF=H￡,然后根據(jù)HE3E-4”=8C-8,BC-CF=BC-

(CD-DF)=2HE,判斷出④正確；

⑤判斷出a八8H不是等邊三角形，從而得到48W8H,BPAB^HF,得到⑤錯誤.

【詳解】

;在矩形A8C。中，A￡平分NBA。，ZB/4E=ZD4E=45°,J.△ABE是等腰直角三角形，

：.AE=yf2AB.

,:AD=?AB,：.AE=AD.

ZBAE=ZDAE

在aABE和△AHO中，V?ZABE=ZAHD=90°,A^ABE^/\AHD(AAS),

AE=AD

：.BE=DH,：,AB=BE=AH=HD,：.ZADE=ZAED=—(180°-45°)=67.5°,

2

AZCED=180°-45°-67.5°=67.5°,：?NAED=/CED,故①正確；

VZAHB=^(180°-45°)=67.5°,/OHE=NAHB(對頂角相等)，

ZOHE=ZAED,：,OE=OH.

VZDOH=90°-67.50=22.5°,ZODH=67.5°-45°=22.5",：.ZDOH=ZODH,

；.OH=OD,：.OE=OD=OH,故②正確；

VZEBH=90°-67.5°=22.5°,：.ZEBH=ZOHD.

NEBH=NOHD

在△BEH和中，V<BE=DH,：.^BEH^AHDF(ASA),：.BH=HF,

NAEB=NHDF

HE=DF,故③正確；

由上述①、②、③可得CD=8E、DF=EH=CE,CF=CD-DF,：.BC-CF=(CD+HE)-(CD-

HE)=2HE,所以④正確；

;AB=AH,N84E=45°,，△48H不是等邊三角形，.\AB^BH,/.AB^HF,故⑤錯

誤；

綜上所述：結(jié)論正確的是①?③④.

故答案為①②③④.

【點睛】

本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定

與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并仔細分析題目條件，根據(jù)相等的度數(shù)求出相等的角，從而得到三角

形全等的條件或判斷出等腰三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點.

13.⑴(2)⑷

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出⑴正確：

由ASA證明△AEFgZ^DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

出CF=；EM=EF,由等腰三角形的性質(zhì)得出NFEC=NECF,得出(2)正確；

證出S^FC=SMFM,由MC>BE,得出SABECV2s標?得出⑶錯誤；

由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關(guān)系得出⑷正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1);F是AD的中點，

，AF=FD,

???在nABCD中，AD=2AB,

,-.AF=FD=CD=AB,

AZDFC=ZDCF,

VADZ^BC,

AZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180\

.*.ZDCF=ZBCF,

1

AZDCF=-ZBCD,

???NDCF+；ND=90。，故⑴正確;

???四邊形ABCD是平行四邊形,

AAB/7CD,

/.ZA=ZMDF,

OF為AD中點，

/.AF=FD,

在4AEF和△DMF中，

NA=NFDM

<AF=DF,

NAFE=NDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

/.EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE1AB,

/.ZAEC=90°,

/.ZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

ACF=—EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

/.ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90°,故(2)正確；

(3)VEF=FM,

SAEFC=SziCFM，

VMC>BE,

*,?SABEC<2SAEFC>故⑶錯誤；

(4)VZB=80°,

.,.ZBCE=900-80o=10°,

TAB"CD,

.?.ZBCD=180o-80°=100°,

1

/.ZBCF=—ZBCD=50°,

2

ANFEC=NECF=500-10°=40°,

:.ZAEF=90o-40°=50°,故⑷正確.

故答案為：⑴⑵⑷.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明

△AEF^ADMF是解題關(guān)鍵.

14.(D@④

【分析】

①根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可判斷：

②延長EF,交CD延長線于點M,首先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明zM所=△7)氏M,得

出廠￡==進而得出NECO=NAEC=90。，從而利用直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)即可判斷；

③由尸E=MF,得出5VMe=Svc從而可判斷正誤；

④設(shè)NFEC=X,利用三角形內(nèi)角和定理分別表示出NDFE和/4EF,從而判斷正誤.

【詳解】

①??,點F是AD的中點，

???AF=FD.

;在平行四邊形ABCD中，40=248,

..AD"BC,AF=FD=CD,

/.Z.DFC=4FCB,/DFC=NDCF,

/FCB=/DCF,

AZBCD=2ZDCF,故①正確；

②延長EF,交CD延長線于點M,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

..AB//CD,

:.ZA=ZMDF,

???點F是AD的中點,

:.AF=FD.

NA=2FDM

在AEb和M中，MF=DF

NAFE=/DFM

:./\AEF^/\DFM(ASA)

:.FE=MF,NAEF=NM.

CELAB,

/.ZAhC=90°,

/.ZECD=ZAEC=90°,

;.CF=LEM=EF,故②正確;

2

③?;FE=MF,

??SvEFC=S\JCFM?

S&CFM=S&CDF+S&MDF

??S&CDFV,△EFC，故③錯誤；

④設(shè)ZFEC=X,則NOT?=x,

:.ZDCF=ZDFC=9(r-x,

:.ZEFC=\^T-2xt

.-.Z￡TO=9(F-X+18(F-2X=27(F-3A-.

QZ4￡F=90°-x,

:.ZDFE=3ZAEF,故④正確；

綜上所述，正確的有①(g)④，

故答案為：①②④.

【點睛】

本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，掌握這

些性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

15.①?③④

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS可證明A48G0△4EC,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷①；

設(shè)8G、CE相交于點N,AC、8G相交于點K,如圖1,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得

ZACE=ZAGB,然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得NCA/G=NCAG=90。，于是可判斷②；

過點E作EP_LH4的延長線于P,過點G作GQ_LAM于。如圖2,根據(jù)余角的性質(zhì)即可判

斷④；利用AAS即可證明△48H也可得EP=AH,同理可證GQ=4H,從而得到EP

=GQ,再利用AAS可證明△EPMg^GQM,可得EM=GM,從而可判斷③，于是可得答

案.

【詳解】

解：ABDEfUACFG+,AB=AE,AC=AG,ZBAE=ZCAG=9Q\

：.ZBAE+ZBAC=ZCAG+ZBAC,

即NC4E=N84G,

/.AABG^AAEC(SAS),

：,BG=CE,故①正確；

設(shè)8G、CE相交于點N,AC、8G相交于點K,如圖1,

BHC

圖1

,:△ABGgAAEC,

ZACE=ZAGB,

丁/AKG=NNKC,

：,ZCNG=ZCAG=90°,

：.BG1CE,故②正確；

過點E作￡P(guān)_LHA的延長線于P,過點G作GQJ_4M于。如圖2,

BHC

圖2

???AH_L8C,

ZABH+ZBAH=90°,

???/8AE=90°,

：.ZEAP+ZBAH=9QQ,

；.NABH=NEAP,即NE4M=N48C,故④正確；

VZAHB=ZP=90°,AB=AE,

:.△ABHWAEAP(AAS),

:?EP=AH,

同理可得GQ=AH,

:?EP=GQ,

;在和△GQM中，

ZP=ZM2G=90°

<ZEMP=ZGMQ,

EP=GQ

.??△EPMg/XGQM(AAS),

：.EM=GM,

是△4￡G的中線，故③正確.

綜上所述，①②③④結(jié)論都正確.

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)，作輔助線

構(gòu)造出全等三角形是難點，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

16.7夜；

【分析】

連接AO、BO、CO,過。作FO_LAO,交AB的延長線于F,判定△AOCgaFOB(ASA),

即可得出AO=FO,FB=AC=6,進而得到AF=8+6=14,ZFAO=45°,根據(jù)AO=AFxcos45°進行計

算即可.

【詳解】

解：連接A。、BO、CO,過。作FO_LAO,交AB的延長線于F,

VO是正方形DBCE的對稱中心，

ABO=CO,ZBOC=90°,

VFO1AO,

AZAOF=90°,

AZBOC=ZAOF,

即ZAOC+ZBOA=ZFBO+ZBOA,

/.ZAOC=ZFBO,

VZBAC=90°,

工在四邊形ABOC中，ZACO+ZABO=180°,

VZFBO+ZABO=180°,

AZACO=ZFBO,

在△AOC和△FOB中，

NAOC=/FOB

，AO=FO,

NACO=NFBO

AAAOC^AFOB(ASA),

.\AO=FO,FB=FC=6,

AAF=8+6=14,ZFAO=ZOFA=45%

.\AO=AFxcos450=14x2L_=7&.

故答案為7

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì).本題的關(guān)鍵是通過作輔助線來構(gòu)建

全等三角形，然后將已知和所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中進行計算.

17.1或7.

【分析】

存在2種情況滿足條件，一種是點P在BC上，只需要BP=CE即可得全等；另一種是點P

在AD上，只需要AP=CE即可得全等

【詳解】

設(shè)點P的運動時間為Z秒，

當點尸在線段BC上時，則8P=2八

;四邊形A8CD為長方形，

:?AB=CD,NB=NDCE=90°,

此時有&48尸名AOCE,

:?BP=CE,即2/=2,解得，=1：

當點尸在線段A。上時，則3C+CO+OP=2f,

VAB=4,AD=6t

:,BC=6,CD=4,

：.AP=（BC4-CD+ZM）-（BC-FCD+DP）=6+4+6-2r=16-2r,

/.AP=\6-2t,

此時有\(zhòng)ABP^\CDE,

/.AP=CE,BP16-2r=2,解得，=7；

綜上可知當，為1秒或7秒時，AA3P和ACOE全等.

故答案為：1或7.

【點睛】

本題考查動點問題，解題關(guān)鍵是根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，要證三角形的全等，只需要還得到

一條直角邊相等即可

18.10+56

【分析】

取DE的中點N,連結(jié)ON、NG、0M.根據(jù)勾股定理可得NG=5方.在點M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、0、N、G四點共線，此時等號成立（如圖2）.可得

線段MG的最大值.

【詳解】

如圖1,取DE的中點N,連結(jié)ON、NG、OM.

1

A0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

;正方形DGFE,N為DE中點，DE=10,

???/VG=VDA^2+ZX；2=7102+52=5X/5?

在點M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于NDNG的大小為定值，只要NDON=!NDNG,且M、N關(guān)于點0中心對稱時,

2

\［、0、N、G四點共線，此時等號成立,

???線段MG取最大值10+5不.

故答案為：10+5逐.

【點睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點共線的最值問題，得出M、0、N、G四點

共線，則線段MG長度的最大是解題關(guān)鍵.

19.4

【分析】

證明CF〃DB,CF=DB,可得四邊形CDBF是平行四邊形，作EM_LDB于點M,解直