魯京津瓊專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何與空間向量微專題十立體幾何中探索性問題的研究教案含解析

PAGEPAGE1微專題十立體幾何中探究性問題的探討[追根溯源]高考中的立體幾何探究性試題，我們一般可以采納綜合推理的方法、分析法、特別化法和向量法來解決．探究性問題主要是對平行、垂直關(guān)系的探究，這類試題的一般設(shè)問方式是“是否存在？存在給出證明，不存在說明理由”．解決這類試題，一般依據(jù)探究性問題的設(shè)問，首先假設(shè)其存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，假如通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就確定假設(shè)，假如得到了沖突就否定假設(shè)．例題如圖，在底面是菱形的四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，點E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角的大?。?3)問：在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC.證明你的結(jié)論．審題方法F是線段PC上的點，一般可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))，求出λ的值，點P是已知的，即可求出點F.解題思路(1)證明的是線面垂直，只要努力去找直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可；(2)按找二面角的方法進(jìn)行；(3)通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，給出相應(yīng)點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)關(guān)系和向量的相等就可以解決了．(1)證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)解如圖1所示，作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD，作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，則∠EHG為所求二面角的平面角，設(shè)為θ.又PE∶ED＝2∶1，圖1則EG＝eq\f(1,3)a，AG＝eq\f(2,3)a，GH＝AGsin60°＝eq\f(\r(3),3)a，從而tanθ＝eq\f(EG,GH)＝eq\f(\r(3),3)，所以θ＝30°.(3)解以A為坐標(biāo)原點，直線AD，AP分別為y軸，z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示．由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，－\f(1,2)a，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，D(0，a，0)，P(0，0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)a，\f(1,3)a)).圖2所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)a，\f(1,3)a))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，0，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，－a))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，a)).設(shè)F是棱PC上的點，且eq\o(PF,\s\up6(→))＝λeq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)aλ，\f(1,2)aλ，－aλ))，其中0<λ<1，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)aλ，\f(1,2)aλ，－aλ))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)aλ－1，\f(1,2)a1＋λ，a1－λ)).令eq\o(BF,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AE,\s\up6(→))，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)aλ－1＝\f(\r(3),2)aλ1，,\f(1,2)aλ＋1＝\f(1,2)aλ1＋\f(2,3)aλ2，,a1－λ＝\f(1,3)aλ2，))解得λ＝eq\f(1,2)，λ1＝－eq\f(1,2)，λ2＝eq\f(3,2)，即λ＝eq\f(1,2)時，eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AE,\s\up6(→))，即F是PC的中點時，eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))共面．又BF不在平面AEC內(nèi)，所以當(dāng)F是棱PC的中點時，BF∥平面AEC.例題追根溯源如圖，在底面是菱形的四棱錐P—ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AC＝a，PB＝PD＝eq\r(2)a，點E在PD上，且PE∶ED＝λ∶1(λ∈N*)．(1)證明：PA⊥平面ABCD；(2)在棱PC上是否存在一點F，使BF∥平面AEC.證明你的結(jié)論．審題方法F是線段PC上的點，一般可設(shè)eq\o(PF,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))，求出t的值，點P是已知的，即可求出點F.解題思路通過建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，給出相應(yīng)點的坐標(biāo)，令所求直線對應(yīng)的向量用該平面內(nèi)的兩個不共線向量表示即可．(1)證明因為底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以AB＝AD＝AC＝a，在△PAB中，由PA2＋AB2＝2a2＝PB2，知PA⊥AB，同理PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.(2)解方法一以A為坐標(biāo)原點，直線AD，AP分別為y軸，z軸，過A點垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)分別為A(0，0，0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，－\f(1,2)a，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，D(0，a，0)，P(0，0，a)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(λ,λ＋1)a，\f(1,λ＋1)a)).所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(λ,λ＋1)a，\f(1,λ＋1)a))，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(0，0，a)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，0))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，－a))，eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，a)).設(shè)F是棱PC上的點，且eq\o(PF,\s\up6(→))＝teq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)at，\f(1,2)at，－at))，其中0<t<1，則eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(BP,\s\up6(→))＋eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(1,2)a，a))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)at，\f(1,2)at，－at))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)at－1，\f(1,2)a1＋t，a－at)).令eq\o(BF,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AC,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AE,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)at－1＝\f(\r(3),2)aλ1，,\f(1,2)at＋1＝\f(1,2)aλ1＋\f(λ,λ＋1)aλ2，,a－at＝\f(1,λ＋1)aλ2，))解得t＝eq\f(λ－1,λ)，λ1＝t－1，λ2＝(λ＋1)(1－t)，即eq\o(PF,\s\up6(→))＝eq\f(λ－1,λ)·eq\o(PC,\s\up6(→))，故eq\o(BF,\s\up6(→))可以由eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(AE,\s\up6(→))線性表示，并且BF?平面AEC，所以BF∥平面AEC.審題方法作出適當(dāng)?shù)膮f(xié)助線，利用中位線定理找到平行關(guān)系．解題思路從E點動身，在線段PE上找到點M，使得E成為MD的中點，連接OE，構(gòu)造△DB