周世勛量子力學(xué)教案2學(xué)習(xí)資料

PAGEPAGE17§2.1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

一．波動－粒子二重性矛盾的分析

物質(zhì)粒子既然是波，為什么長期把它看成經(jīng)典粒子，沒犯錯誤？

實物粒子波長很短，一般宏觀條件下，波動性不會表現(xiàn)出來。到了原子世界（原子大小約1A）,物質(zhì)波的波長與原子尺寸可比，物質(zhì)微粒的波動性就明顯的表現(xiàn)出來。

傳統(tǒng)對波粒二象性的理解：

（1）物質(zhì)波包物質(zhì)波包會擴散，電子衍射，波包說夸大了波動性一面。

（2）大量電子分布于空間形成的疏密波。電子雙縫衍射表明，單個粒子也有波動性。疏密波說夸大了粒子性一面。

對波粒二象性的辨正認(rèn)識：微觀粒子既是粒子，也是波，它是粒子和波動兩重性矛盾的統(tǒng)一，這個波不再是經(jīng)典概念下的波，粒子也不再是經(jīng)典概念下的粒子。在經(jīng)典概念下，粒子和波很難統(tǒng)一到一個客體上。二．波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

1926年玻恩提出了幾率波的概念:在數(shù)學(xué)上，用一函數(shù)表示描寫粒子的波，這個函數(shù)叫波函數(shù)。波函數(shù)在空間中某一點的強度（振幅絕對值的平方）和在該點找到粒子的幾率成正比。既描寫粒子的波叫幾率波。

描寫粒子波動性的幾率波是一種統(tǒng)計結(jié)果，即許多電子同一實驗或一個電子在多次相同實驗中的統(tǒng)計結(jié)果。

幾率波的概念將微觀粒子的波動性和粒子性統(tǒng)一起來。微觀客體的粒子性反映微觀客體具有質(zhì)量，電荷等屬性。而微觀客體的波動性，也只反映了波動性最本質(zhì)的東西：波的疊加性（相干性）。

描述經(jīng)典粒子：坐標(biāo)、動量，其他力學(xué)量隨之確定；

描述微觀粒子：波函數(shù)，各力學(xué)的可能值以一定幾率出現(xiàn)。設(shè)波函數(shù)描寫粒子的狀態(tài)，波的強度，則在時刻t、在坐標(biāo)x到x+dx、y到y(tǒng)+dy、z到z+dz的無窮小區(qū)域內(nèi)找到粒子的幾率表示為，應(yīng)正比于體積和強度

歸一化條件：在整個空間找到粒子的幾率為1。

歸一化常數(shù)可由歸一化條件確定

重新定義波函數(shù)，

叫歸一化的波函數(shù)。

在時刻t、在坐標(biāo)(x,y,z)點附近單位體積內(nèi)找到粒子的幾率稱為幾率密度，用表示，則

歸一化的波函數(shù)還有一不確定的相因子；

只有有限時才能歸一化為1。

經(jīng)典波和微觀粒子幾率波的區(qū)別：

（1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期變化，而幾率波描述微觀粒子某力學(xué)量的幾率分布；

（2）經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應(yīng)波動能量為原來四倍，就變成另一狀態(tài)了；而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度，將幾率波的波幅增大一倍并不影響粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)，所描述的粒子的狀態(tài)并不改變；

（3）對經(jīng)典波，加一相因子，狀態(tài)會改變，而對幾率波，加一相因子不會引起狀態(tài)改變。

問題：設(shè)波函數(shù)為，求在（）范圍找到粒子的幾率。

問題：在球坐標(biāo)系中，粒子波函數(shù)表示為，求（a）在球殼中找到粒子的幾率。(b)在方向的立體角中找到粒子的幾率。

§2.2態(tài)迭加原理

波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是波粒二象性的一個表現(xiàn)。微觀粒子的波粒二象性還可以通過量子力學(xué)的一個基本原理：態(tài)迭加原理表現(xiàn)。經(jīng)典的波是遵從迭加原理的，兩個可能的波動過程與的線性迭加也是一個可能的波動過程。波的干涉、衍射現(xiàn)象可用波的迭加原理解釋。

量子力學(xué)的態(tài)迭加原理：如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性迭加：（是復(fù)數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。

電子雙縫衍射：設(shè)表示電子穿過上面窄縫到達(dá)屏的狀態(tài)，設(shè)表示電子穿過下面窄縫到達(dá)屏的狀態(tài)。表示電子穿過兩個窄縫到達(dá)屏的狀態(tài)，則有，電子在屏上某點出現(xiàn)的幾率可表示為

正是干涉項的存在，才有了衍射條紋。

經(jīng)典的態(tài)具有正交性，而量子態(tài)具有相干性。薛定諤貓佯謬。

推廣到更一般情況：當(dāng)是體系的可能狀態(tài)，他們的線性迭加：

（是復(fù)數(shù)）

也是這個體系的一個可能狀態(tài)。經(jīng)典力學(xué)質(zhì)點運動：初始狀態(tài)（位置、速度）任意時刻質(zhì)點的狀態(tài)

量子力學(xué)波函數(shù)：初始狀態(tài)波函數(shù)任意時刻波函數(shù)的狀態(tài)

薛定諤在1926年建立了薛定諤方程

對波函數(shù)所滿足的方程的要求：

(1)線性方程，迭加原理的要求；

(2)方程系數(shù)不含狀態(tài)參量（動量、能量），各種可能的狀態(tài)都要滿足方程。

建立過程：自由粒子波函數(shù)所滿足的方程推廣到一般。

自由粒子的波函數(shù)為平面波：

對時間求偏微商：

對坐標(biāo)求二次偏微商：

同理得：，，

將以上三式相加：，

利用自由粒子的能量和動量的關(guān)系，我們可得到自由粒子波函數(shù)所滿足的微分方程：

上式中劈形算符：，

如存在勢能，能量和動量的關(guān)系是：，

波函數(shù)應(yīng)滿足的微分方程是;

這個方程稱為薛定諤方程。

由建立過程可以看出，只需對能量動量關(guān)系進(jìn)行如下代換：

，

就可得到薛定諤方程。注意：薛定諤方程是建立起來的，而不是推導(dǎo)出來的，它是量子力學(xué)中的一個基本假設(shè)，地位同牛頓力學(xué)中的牛頓方程。它的正確性由方程得出的結(jié)論與實驗比較來驗證。多粒子體系的薛定諤方程，設(shè)體系有N個粒子，分別表示這N個粒子的坐標(biāo)，體系的狀態(tài)波函數(shù)為：，體系的勢能為，則體系的能量可寫成

，

上式兩邊乘以波函數(shù)，并作代換：，

其中：，

就得到多粒子體系的薛定諤方程：。

§2.4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律一．連續(xù)性方程

設(shè)描寫粒子的狀態(tài)波函數(shù)為：，則幾率密度為

幾率密度隨時間的變化率是

由薛定諤方程和其共軛復(fù)數(shù)方程得

，，

將上兩式代入得

則：，連續(xù)性方程。

上式兩邊對空間任意一體積V積分

，

利用高斯定理得：

，

應(yīng)解釋為幾率流密度矢量。單位時間內(nèi)體積V中增加的幾率，等于從體積V外部穿過V邊界面S而流進(jìn)V內(nèi)的幾率。如果波函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處為零，將積分區(qū)域V擴展到整個空間，則

，

即在整個空間內(nèi)找到粒子的幾率與時間無關(guān)，這反映了粒子數(shù)守恒。如波函數(shù)是歸一的，則它將保持歸一性，而不隨時間改變。

質(zhì)量密度：，質(zhì)量流密度：

則：，量子力學(xué)中的質(zhì)量守恒定律。

同理，定義電荷密度：，電流密度：，可得量子力學(xué)中的電荷守恒定律。

二．波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件

有限性、連續(xù)性、單值性§2.5定態(tài)薛定諤方程一．定態(tài)薛定諤方程

當(dāng)勢能與時間無關(guān)時，我們可用分離變量法將方程簡化

，

帶入：，并把方程兩邊用去除

，兩邊都等于常數(shù)E

,

可解出：，則，定態(tài)波函數(shù)。

叫定態(tài)薛定諤方程。

表示能量，為哈密頓函數(shù)。

二．定態(tài)下的一些特點

定態(tài)：能量具有確定值；定態(tài)波函數(shù)所表示的狀態(tài)。

在定態(tài)中，幾率密度和幾率流密度都與時間無關(guān)。§2.6一維定態(tài)問題一．一維定態(tài)波函數(shù)的一般性質(zhì)

對一維定態(tài)問題，薛定諤方程為

定理一：設(shè)是方程的一個解，對應(yīng)能量為E,則也是方程的一個解，對應(yīng)能量也為E。

證明：，對方程兩邊取復(fù)共軛，利用

滿足相同的方程，對應(yīng)的能量都是E。

定理二：設(shè)具有空間反射不變性，即，如為方程的一個解，對應(yīng)能量為E；則也為方程的一個解，對應(yīng)能量也是E。

定理三：當(dāng)時，如無簡并，方程的解有確定的宇稱。即偶宇稱：，或奇宇稱：。

證明：因為和都是能量E的解，二者應(yīng)表示同樣的狀態(tài)。因此應(yīng)只差一常數(shù)。，則

所以，，，。

二．一維無限深勢阱

，

，

，

，

令，

方程的解為：，

利用邊界條件：得：，

即：，，（時，，無物理意義）

,對應(yīng)的波函數(shù)為：。

利用歸一化條件：,得：，

歸一化后的波函數(shù)為：。

束縛態(tài)：無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)。

基態(tài)：體系能量最低的態(tài)。

三．一維線性諧振子

一維線性諧振子的勢能為，

體系的薛定諤方程為，

進(jìn)行如下變量代換：，，

薛定諤方程變?yōu)椋?，變系?shù)二級常微分方程。

，方程變?yōu)椋鉃椋?/p>

時，有限，將寫成如下形式：，

帶入原方程

將H按展成冪級數(shù)，時，有限,要求冪級數(shù)只有有限項。級數(shù)只有有限項的條件是：，

線性諧振子的能級為：，線性諧振子的能量為分離值，相鄰能級的間距為。

零點能：，。

厄密多項式：

遞推公式:(1)

（2）

（3）

（4）

對應(yīng)的波函數(shù)為：，

歸一化常數(shù)：

四．勢壘貫穿

；

薛定諤方程為，

，

(a)時

令，

方程變?yōu)椋海?/p>

，

在區(qū)域，波函數(shù)：

在區(qū)域，波函數(shù)：

在區(qū)域，波函數(shù)：

對投射波，不應(yīng)有向左傳播的波，即：。

利用波函數(shù)及微商在和的連續(xù)條件，我們有

:

:

:

,

解方程組：

利用幾率流密度公式：

得出入射波、透射波、反射波的幾率流密度

入射波幾率流密度：

透射波幾率流密度：

反射波幾率流密度：

投射系數(shù)：

反射系數(shù)：

(b)時

令，方程變?yōu)椋海?/p>

方程的解形式為：

利用邊界條件得：

其中雙曲正弦函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)

投射系數(shù)：

隧道效應(yīng)：粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象。

按經(jīng)典力學(xué)：，如，則動能為負(fù)。是無意義的。但在微觀世界，由于粒子的波粒二象性，動能和勢能是無法同時確定的，上述等式是不成立的。因此可以可出，隧道效應(yīng)是微觀粒子所特有的量子效應(yīng)。第二章

小結(jié)一．波函數(shù)的統(tǒng)計解釋.

(量子力學(xué)―基本假設(shè))為幾率波。幾率密度滿足連續(xù)性，有限性，單值性。二．態(tài)疊加原理：

態(tài)疊加原理是微觀例子具有波動性的體現(xiàn)。經(jīng)典粒子的態(tài)是具有正交性。三．薛定諤方程

(量子力學(xué)――基本假設(shè))（1）.薛定諤方程是基本假定，是建立的不是推導(dǎo)的（2）.薛定諤方程是線性方程四．定態(tài)薛定諤方程定態(tài)：能量有確定的值定態(tài)波函數(shù)

定態(tài)薛定諤方程

定態(tài)波函數(shù)實際是能量本征函數(shù)定態(tài)薛定諤方程存在定態(tài)解五．一維定態(tài)問題

（1）.一維無限深勢井

本征值

本征函數(shù)

（2）.一維線性諧振子

本征值

本征函數(shù)

六．連續(xù)性方程

幾率密度

幾率流密度

第二章

例題一．求解一位定態(tài)薛定諤方程

1．試求在不對稱勢井中的粒子能級和波函數(shù)[解]薛定諤方程:

當(dāng)

,

故有

利用波函數(shù)在

處的連續(xù)條件由

處連續(xù)條件:

由

處連續(xù)條件:

給定一個n值,可解一個,

為分離能級.2．

粒子在一維勢井中的運動

求粒子的束縛定態(tài)能級與相應(yīng)的歸一化定態(tài)波函數(shù)[解]體系的定態(tài)薛定諤方程為當(dāng)時對束縛態(tài)

解為

在

處連續(xù)性要求將

代入得

又

相應(yīng)歸一化波函數(shù)為:

歸一化波函數(shù)為:3

分子間的范得瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可近似地表示為

求束縛態(tài)的能級所滿足的方程[解]束縛態(tài)下粒