【二輪復習】高考數(shù)學 重難點09 平面向量?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類（新高考專用）（解析版）

重難點09平面向量?？冀?jīng)典壓軸小題全歸類【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1平面向量共線定理及其應(yīng)用】 3【題型2平面向量基本定理及其應(yīng)用】 5【題型3平面向量的數(shù)量積】 8【題型4平面向量的模的問題】 10【題型5平面向量夾角與垂直問題】 12【題型6極化恒等式】 14【題型7向量與解三角形綜合】 17【題型8向量與幾何最值、范圍問題】 21【題型9向量在幾何中的其他應(yīng)用】 24平面向量是高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來分析，平面向量的數(shù)量積、模、夾角是高考考查的重點、熱點，試題主要以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，常常以平面圖形為載體，考查數(shù)量積、模、夾角與垂直的條件等問題，也時也會與平面解析幾何、三角函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)，試題難度中等.學生在高考復習中應(yīng)注意加強對平面向量的數(shù)量積、模、夾角等知識的掌握，能靈活運用向量知識解決有關(guān)問題.【知識點1平面向量線性運算問題的解題策略】1.平面向量線性運算問題的求解思路：(1)解決平面向量線性運算問題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化；(2)在求向量時要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則及三角形中位線定理、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為用已知向量線性表示.2.向量線性運算的含參問題的解題策略：與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)的值.3.利用共線向量定理解題的策略：(1)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A,B,C三點共線共線.(3)若與不共線且，則.(4)(λ,μ為實數(shù))，若A,B,C三點共線，則λ+μ=1.【知識點2平面向量基本定理的解題策略】1.應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)應(yīng)用平面向量基本定理求向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關(guān)系.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路：用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.【知識點3平面向量坐標運算的方法技巧】1.平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標.(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.【知識點4平面向量數(shù)量積問題的解題方法】1.平面向量數(shù)量積的兩種運算方法(1)基底法：當已知向量的模和夾角時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題；(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.2.夾角與垂直問題根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì)：若，為非零向量，則(夾角公式)，等，可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角度、垂直問題.3.向量的模的求解思路：(1)坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；(2)公式法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；(3)幾何法：利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.【知識點5極化恒等式】1.極化恒等式的證明過程與幾何意義(1)平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和：.證明：不妨設(shè)，則，，①，②，①②兩式相加得：.(2)極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式平行四邊形模式：.(3)幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的．【知識點6平面向量的應(yīng)用的方法技巧】1.平面向量的應(yīng)用的解題方法；平面向量的應(yīng)用方向主要是平面幾何問題，往往涉及角和距離，轉(zhuǎn)化成平面向量的夾角、模的問題，主要解題方法有：(1)坐標法：把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校唾x予了有關(guān)點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應(yīng)的代數(shù)運算和向量運算，從而使問題得到解決.(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯(lián)系，利用向量共線構(gòu)造關(guān)于設(shè)定未知量的方程來進行求解.(3)利用向量運算進行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)的問題或三角恒等變換問題是常規(guī)的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應(yīng)用.2.平面向量中的最值（范圍）問題的兩類求解思路：(1)“形化”，即利用平面向量的相關(guān)知識將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后結(jié)合平面圖形的特征直接進行判斷；(2)“數(shù)化”，即利用平面向量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識來解決．【題型1平面向量共線定理及其應(yīng)用】【例1】（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）在△ABC中，AD=2DB，點P在CD上，且AP=mAC+13AB(m∈R)，則m=（

）A．15 B．14 C．13【解題思路】將AB=32AD【解答過程】因為AD=2DB，所以所以AP=m又P，C，D三點共線，所以m+12=1故選：D.【變式1-1】（2023下·江蘇連云港·高一?？茧A段練習）設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3eA．－8 B．8 C．6 D．－6【解題思路】根據(jù)三點A，B，D共線，可得存在唯一實數(shù)λ使AB=λDB【解答過程】由已知得DB=∵三點A，B，D共線，∴存在唯一實數(shù)λ使AB=λ∴2e∴2=-λ-k=4λ，解得故選：B.【變式1-2】（2023·陜西安康·統(tǒng)考一模）已知O是△ABC內(nèi)一點，2OA+3OB+mOC=0，若△AOB與△ABCA．-103 B．103 C．-【解題思路】由2OA+3OB+mOC=0確定O點的位置，再利用【解答過程】由2OA+3OB設(shè)-m5OC由于25+35=1，所以A∵OC與OD反向共線，m>0，∴ODOC=m5∴S△AOB故選：D.【變式1-3】（2023·全國·高一專題練習）在△OAB中，OA=3OC，OB=2OD，AD，BC的交點為M，過M作動直線l分別交線段AC，BD于E，F(xiàn)兩點.若OE=λOA，OF=μOBA．3+35 B．2+237 C．【解題思路】利用平面向量共線定理的推論得到λ、μ的關(guān)系，進而利用均值定理即可求得【解答過程】由A、M、D又由B、M、OM則t=13(1-m)m=又OE=λOA，OF=μOB則OM=15λOE則λ+μ=（當且僅當λ=2則λ+μ的最小值為3+22故選：D.【題型2平面向量基本定理及其應(yīng)用】【例2】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模）如圖，點D、E分別AC、BC的中點，設(shè)AB=a，AC=b，F(xiàn)是DE的中點，則A．12a+12b B．-【解題思路】根據(jù)向量的運算，利用基底向量a,b表示AF【解答過程】因為點D、E分別AC、BC的中點，F(xiàn)是DE的中點，所以AF=AD+即AF=故選：C.【變式2-1】（2023·河北滄州·?？寄M預測）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，點A．0 B．14 C．12 D【解題思路】利用平面向量基本定理得到AP=1-kAB+12kAC【解答過程】因為BF=12BA+B,P,F三點共線，故可設(shè)BP=kBF，即整理得AP=k因為BE=12EC，所以A,P,E三點共線，可得AP=m所以2m3=1-km可得AP=12AB+故選：B.【變式2-2】（2023·湖南婁底·婁底市第三中學校聯(lián)考三模）2000多年前，古希臘雅典學派的第三大算學家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為5-12.如圖，在矩形ABCD中，AC與BD相交于點O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且點E為線段BO的黃金分割點，則BF=

A．3-52BAC．5-12BA【解題思路】由題意得BE=5-12BO，結(jié)合矩形的特征可用【解答過程】由題意得BE=5-12BO同理有AF=5-1所以BG=2-5因為BF=BA所以BF=故選：D.【變式2-3】（2023·重慶江北·校考一模）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上一點且BD=2AD，E是邊BC的中點，直線AE和直線CD交于點F，若BF是∠ABC的平分線，則BCBA=（A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】首先根據(jù)BF是∠ABC的平分線，則存在一個實數(shù)λ使得BF=λ再替換向量BC=2BE和BA【解答過程】因為BF是∠ABC的平分線，所以存在一個實數(shù)λ使得BF=λ因為E是邊BC的中點，所以BF=λBABA+2BEBC，又點A，E，F(xiàn)共線，所以λBA+2λBC=1①．（三點共線的應(yīng)用：OA=λ因為BD=2AD，所以BF=λ32BDBA+BCBC，又點C，F(xiàn)，D共線，所以3λ2BA故選：C．【題型3平面向量的數(shù)量積】【例3】（2023·遼寧朝陽·朝陽市第一高級中學?？寄M預測）已知向量a=1,2，b=3,4，c=5,m（A．5 B．-5 C．5m D．-5m【解題思路】求出向量2a-【解答過程】由題意向量a=1,2，b=3,4，故2a故選：B.【變式3-1】（2023·全國·模擬預測）已知向量a，b滿足a=λbλ>0，b=2，a-A．3 B．15 C．-3或15 D．3或15【解題思路】對a-b=1兩邊同時平方，將a=λbλ>0代入可求出λ【解答過程】因為向量a=λbλ>0又a-解得:λ=12或32，即a所以當a=1時，a當a=3時，a故a+b?故選：D.【變式3-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）設(shè)四邊形ABCD為矩形，AB=6，AD=4，若點M，N滿足BM=13MC，A．28 B．32 C．36 D．40【解題思路】根據(jù)矩形的幾何性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運算，可得答案.【解答過程】由BM=13MC，則BM=在矩形ABCD中，由AB⊥AD，則AB?AM==2故選：A.【變式3-3】（2023·廣東廣州·華南師大附中?？家荒＃┤鐖D，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是線段AB上一點，且AE=4EB，動點P在以E為圓心，1為半徑的圓上，則DP?AC的最大值為（A．3-21 B．23-6 C．【解題思路】過點D作DO⊥AB，垂足為O，以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，利用DP?AC【解答過程】過點D作DO⊥AB，垂足為O，以O(shè)為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A-2,0則DP?其中DE?EP?當cosEP,AC=1，即EP,所以DP?AC的最大值為故選：C.【題型4平面向量的模的問題】【例4】（2023·四川成都·成都七中?？家荒＃┤粝蛄縜、b滿足：a=1，a+b⊥a，2A．2 B．2 C．10 D．10【解題思路】由平面向量垂直可得出a?b=-1，再利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得【解答過程】因為向量a、b滿足：a=1，a+b則a+b?所以，2a-b故選：B.【變式4-1】（2023·全國·模擬預測）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(A．2 B．3 C．5 D．6【解題思路】利用向量的數(shù)量積運算將向量垂直的條件轉(zhuǎn)化為(a+b)?(a-【解答過程】因為a=(x,1)，b由(a+b即x2+1-又因為a∥b，所以聯(lián)立x2-y2=3故|c故選C.【變式4-2】（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a與bA．5 B．4 C．2 D．0【解題思路】a-2b【解答過程】因為a=4-4×2×1×cos所以a-2故選：C.【變式4-3】（2023上·安徽·高二校聯(lián)考期中）如圖，在長方形ABCD中，AB=6,AD=4，點P滿足DP=λDC，其中λ∈0,23A．4,5B．8,10C．4,D．2【解題思路】建立平面直角坐標系，寫出點的坐標，得到P6λ,4，λ∈0,23【解答過程】以A為坐標原點，AB,AD所在直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標系，則A0,0,B6,0因為DP=λDC，所以s,t-4=λ故P6λ,4，λ∈則PA+則PA+因為λ∈0,23，所以6-12λ∈故PA+故選：B.【題型5平面向量夾角與垂直問題】【例5】（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）向量a，b滿足a=4，b=1，2a-3b?bA．23 B．34 C．-3【解題思路】由a=4，b=1，且2【解答過程】由題意知a=4，b又因為2a解之得：cosa,b=故選：B.【變式5-1】（2023·全國·模擬預測）已知向量a=-1,-2，b=4,-2，若A．4λμ=1 B．4λμ=-1C．4λ+μ=1 D【解題思路】用坐標表示向量a-λb【解答過程】法一：用坐標表示向量a由題意可知，a-λ由a-λ-1-4λ-1+4μ整理得，5-20λμ=0，所以4λμ=1．則A對；法二：因為向量a=所以a=又a-λ所以a-λ所以4λμ=1.故選：A．【變式5-2】（2023·四川巴中·南江中學?？寄M預測）已知平面向量a=2,0，b=1,3，則向量aA．π6 B．π3 C．2π【解題思路】利用兩個向量的數(shù)量積的定義，兩個向量坐標形式的運算法則，求得cosa【解答過程】因為a=2,0，b=1,3所以a-b?又0≤a-b,a-1故選：A．【變式5-3】（2023·全國·模擬預測）已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O為△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量為μBC，且cosA．23,56 B．15,【解題思路】根據(jù)題意B，O，C三點共線．因為O為△ABC的外心，即有|OA|=|OB|=|【解答過程】因為AO=λ則AO-AC=λ(AB-AC)，所以CO因為O為△ABC的外心，即有|OA所以△ABC為直角三角形，因此AB⊥AC，O為斜邊BC的中點．因為cos∠AOC∈13如圖，過點A作AQ⊥BC，垂足為Q．因為BA在BC上的投影向量為BQ=μBC，所以所以O(shè)A在BC上的投影向量為OQ=又因為|OA|=1因為cos∠AOC∈13故μ的取值范圍為23故選：A．【題型6極化恒等式】【例6】（2023·福建寧德·校考二模）在平行四邊形ABCD中，已知DE=12EC，BF=12FC，AE【解題思路】設(shè)AB=a,AD=b【解答過程】如圖所示，設(shè)AB=因為DE=12EC，BF=又因為AE=2，可得AE2=(兩式相減得到89a2又由AC=a+故答案為：-9【變式6-1】（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）已知正方形ABCD邊長為22，MN是正方形ABCD的外接圓的一條動弦，MN=2，P為正方形ABCD邊上的動點，則MP?PN的最大值為【解題思路】根據(jù)題意，正方形ABCD外接圓的半徑R=4，取弦MN的中點Q，求得OQ=3，再由MP=QP-QM,【解答過程】如圖所示，因為正方形ABCD邊長為22，可得圓O的半徑為R=4又因為MN是正方形ABCD的外接圓的一條動弦，且MN=2取弦MN的中點Q，可得OQ=則MP=所以MP?因為OQ=3，即Q在以O(shè)為圓心，半徑為3的圓當點P在正方形ABCD邊與圓Q的交點上時，此時QP=0所以MP?PN=1-QP2故答案為：1.【變式6-2】（2022·全國·高一假期作業(yè)）設(shè)三角形ABC，P0是邊AB上的一定點，滿足P0B=14AB，且對于邊AB上任一點P，恒有PB?PC≥P0B?【解題思路】取BC的中點D，設(shè)O為AB的中點，根據(jù)PB?PC≥P0B?【解答過程】取BC的中點D，連接PD，P0D，如圖所示：PB?PC=PD+∴∴PD≥P0D∴∴P0B=12OB?故答案為：C為頂角的等腰三角形．【變式6-3】（2022·湖北省直轄縣級單位·湖北省仙桃中學?？寄M預測）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長為6的可移動的線段，AD=4，AB=83，BC=12，則BE?BF的取值范圍為99,148【解題思路】首先在BC上取一點G，使得BG=4，取EF的中點P，連接DG，BP，根據(jù)題意得到BE?BF=1【解答過程】在BC上取一點G，使得BG=4，取EF的中點P，連接DG，BP，如圖所示：則DG=83，GC=8，CD=tan∠BCD=83BE?當BP⊥CD時，BP取得最小值，此時BP=12×所以BE?當F與D重合時，CP=13，BC=12，則BP2當E與C重合時，CP=3，BC=12，則BP2所以BE?BFmax=157-9=148，即故答案為：99,148.【題型7向量與解三角形綜合】【例7】（2023·上海普陀·曹楊二中?？寄M預測）已知點O為△ABC的外心，且AO?AB+BO?A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定【解題思路】取AB的中點N，BC的中點M，AC的中點E，可得ON⊥AB，OM⊥BC，OE⊥AC，分別利用AO?AB=12AB【解答過程】△ABC三個角所對的三邊分別為a,b,c，取AB的中點N，BC的中點M，AC的中點E，連接ON，OM，OE，則ON⊥AB，OM⊥BC，OE⊥AC，所以AO?BO?CO?因為AO?所以12c2由余弦定理得cosB=c2+a即△ABC為鈍角三角形.故選：C.

【變式7-1】（2023·山東濟南·統(tǒng)考三模）在△ABC中，若AB+AC=2,BC+A．38 B．34 C．1 D【解題思路】延長BA至D點，使得BA=AD，延長AB至E點，使得AB=BE，可得AB+AC【解答過程】如圖，延長BA至D點，使得BA=AD，延長AB至E點，使得若AB+AC=2,BC+所以S△ABC則△ABC面積的最大值為1，故選：C.【變式7-2】（2023·福建廈門·廈門一中?？级＃┰凇鰽OB中，已知OB=2，AB=1，∠AOB=45°，若OP=λOA+μOB，且λ+2μ=2，μ∈0,1，則OA在OP上的投影向量為meA．-22,1 B．22,1 C【解題思路】先利用余弦定理求出AO=1，進而得到AO⊥AB，求出OA?OP=2-μ，OP2=λ【解答過程】由余弦定理得cos∠AOB=解得AO=1，

因為AO2+BO2OA?則OP2因為λ+2μ=2，μ∈0,1，所以O(shè)AOP2OA在OP上的投影向量為OA?OPOP令2-μ=t∈1,2，則m=令ft因為t∈1,2，所以1t∈12當1t=1時，ft故m=1故選：B.【變式7-3】（2023下·江蘇揚州·高一統(tǒng)考期中）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，∠BCD=60°，∠ADC=150°，BE=3EC，CD=233，BE=3，若點F為邊AD上的動點，則

A．1 B．1516 C．3132 D【解題思路】以B為原點建立平面直角坐標系，求得A(0,2),D(3,1),E(3,0)，設(shè)F(x,y)，令AF=λAD【解答過程】以B為原點，以BC,BA所在的直線為x,y軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，依題意得CE=13BE=在△BCD中，由余弦定理得BD=4所以BD2+CD2在△CDE中，由余弦定理得DE=(所以CE2+D因為∠ADC=150°，∠BDC=90°，故因為AB⊥BC，∠DBC=30°，所以所以在△ABD中，∠ABD=∠ADB=60所以△ABD為等邊三角形，所以AB=BD=2，所以A(0,2),D(3設(shè)F(x,y)，由題意令AF=λAD，即解得x=3λ,y=2-λ，所以所以EF?設(shè)fλ=4λ所以λ=78時，f(λ)取得最小值，即EF故選：B.【題型8向量與幾何最值、范圍問題】【例8】（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考二模）等腰三角形ABC內(nèi)接于半徑為2的圓O中，AB=AC=2，且M為圓O上一點，則MO?MA+A．2 B．5 C．14 D．16【解題思路】由圖可將MO?MA+MB【解答過程】連接OB，OC，OA，因OB=BA=AC=CO=OA=2，則四邊形ABOC為菱形，三角形ABO，三角形ACO為等邊三角形.設(shè)OA與OD=DA，OB+OC=則MO=2=2MO2+2則當M，O，A三點共線時，MO?OA故選：C.【變式8-1】（2023·山東日照·統(tǒng)考一模）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則PA?PB的最大值為（A．13 B．12 C．8 D．2【解題思路】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，由向量數(shù)量積的坐標表示研究最值.【解答過程】以正六邊形ABCDEF中心O為原點建立平面直角坐標系如圖所示，AB、DE交y軸于G、H，則C2,0設(shè)Px,y，PA=-1-x,-3（1）當P在EH上時，則x∈-1,0，y=3，則（2）當P在AG上時，則x∈-1,0，y=-3，則（3）當P在EF上時，則lEF：y=3x+2，x∈（4）當P在AF上時，則lAF：y=-3x+2，x∈綜上，所求最大值為12.故選：B.【變式8-2】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預測）在正方形ABCD中，動點E從點B出發(fā)，經(jīng)過C，D，到達A，AE=λAB+μAC，則A．-1,1 B．0,1 C．-1,2 D．0,2【解題思路】建立平面直角坐標系，寫成點的坐標，分點E在BC，CD，AD三種情況，求出λ+μ的取值范圍.【解答過程】以B為坐標原點，AB，BC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，設(shè)AB=1，則B0,0當點E在BC上時，設(shè)E0,m則-1,m=λ-1,0+μ-1,1，即當點E在CD上時，設(shè)Et,1則t-1,1=λ-1,0+μ-1,1，即故λ+μ=1-t∈0,1當點E在AD上時，設(shè)E1,u則0,u=λ-1,0+μ-1,1綜上，λ+μ的取值范圍是λ+μ∈0,1故選：B.【變式8-3】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預測）已知△ABC中，AB=AC=22，AB+λBCmin=2λ∈R，AM=1A．423,C．173,41【解題思路】根據(jù)已知可得A到BC的距離為2，△ABC為等腰直角三角形，若D,E為BC的兩個四等分點，N為BC中點，P在線段DE上運動，且AN=2，數(shù)形結(jié)合求MP的取值范圍.【解答過程】由AB+λBCmin=2λ∈R，結(jié)合向量加法法則知：又AB=AC=22，則BC=4，所以AB2由AP=sin2α?AB又α∈π6,π3，則sin2α,cos2

所以P在線段DE上運動，且AN=2，BD=1，BE=3，由圖：若MP⊥BC，則MP//AN，又AM=12故上述情況MPmin=23由圖知：P與E重合時，MPmax綜上，MP的取值范圍為43故選：D.【題型9向量在幾何中的其他應(yīng)用】【例9】（2023·甘肅天水·統(tǒng)考二模）已知非零向量AB與AC滿足AB·BC|AB|=CAA．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形【解題思路】由已知數(shù)量積相等，結(jié)合數(shù)量積的定義可得出B=C，再由數(shù)量積的定義求得A=π【解答過程】解：△ABC中，AB·∴AB·∴cos<AB，BC∴B=C，△ABC是等腰三角形；又AB|∴1×1×cos∴cosA=1∴△ABC是等邊三角形.故選：D.【變式9-1】（2023·江西撫州·?？寄M預測）△ABC是等腰直角三角形，C=90°，AB=2，D為AB的中點，動點E在邊AC上，線段CD與BE交于點P，設(shè)t=BP?BA，當動點E自點C向點AA．t一直增大 B．t一直減小C．t先增大后減小 D．t為定值【解題思路】利用數(shù)量積的定義可得t=BP?【解答過程】t=BP而BP?cos∠ABP=BD，所以t=故選：D.【變式9-2】（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知A?B為平面上的兩個定點，且|AB|=2，該平面上的動線段PQ的端點P?Q，滿足|AP|≤5，AP?AB=6A．36 B．60 C．72 D．108【解題思路】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，根據(jù)|AP|≤5和AP?AB=6，得到動點P在直線x=3上，且-4≤y≤4，進而得到AP掃過的三角形的面積，再由【解答過程】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，如圖所示：則A(0,0)，B(2,0)，設(shè)P(x,y)，∴AP=(x,y)，AB由|AP|≤5，得又AP?∴2x=6，x=3；∴y2∴-4≤y≤4，∴動點P在直線x=3上，且-4≤y≤4，即線段CD上，則|CD|=8,則AP掃過的三角形的面積為12設(shè)點Q(∵AQ=-2∴(x∴x0=-6，∴動點Q在直線x=-6上，且-8≤y≤8，即線段MN上，則|MN|=16,∴AQ掃過的三角形的面積為12∴因此和為60，故選：B.【變式9-3】（2023·浙江·校聯(lián)考二模）如圖，正方形ABCD的中心與圓O的圓心重合，P是圓O的動點，則下列敘述不正確的是（

）A．PA?B．PA?C．PA+D．PA2【解題思路】建立直角坐標系后，設(shè)正方形邊長為2a，圓的半徑為r，表示出各點坐標，利用向量的數(shù)量積的坐標運算即可判斷A.、B、D選項，舉出反例即可判斷C，即可得解.【解答過程】如圖建立直角坐標系,設(shè)正方形邊長為2a，圓的半徑為r，則圓的方程為x2設(shè)點Px，y，則Aa，a，PA=a-x,a-y，PB=-a-x,a-y，對于A：PA=2x2+對于B：PA=PB+PD對于C：不妨取a=1,r=2，取點P2，0取點P1，3，PA對于D：PA==2=8a2+4故選：C.1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知向量a，b滿足a+b=(2,3),A．-2 B．-1 C．0 D．1【解題思路】利用平面向量數(shù)量積的運算律，數(shù)量積的坐標表示求解作答.【解答過程】向量a,b滿足所以|a故選：B.2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a=3,1,b=A．117 B．1717 C．55【解題思路】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標表示分別求得a+b【解答過程】因為a=(3,1),b=(2,2)則a+b=所以cosa故選：B.3．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知向量a,b,c滿足a=b=1,A．-45 B．-25 C．【解題思路】作出圖形,根據(jù)幾何意義求解.【解答過程】因為a+b+c即a2+b2+2a?如圖,設(shè)OA=由題知,OA=OB=1,OC=2,△OABAB邊上的高OD=2所以CD=CO+OD=2tan∠ACD=cos=2×3故選:D.4．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA?A．1+22 BC．1+2 D．【解題思路】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的