【二輪復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué) 重難點(diǎn)10 數(shù)列的通項(xiàng)、求和及綜合應(yīng)用（新高考專用）（原卷版）

重難點(diǎn)10數(shù)列的通項(xiàng)、求和及綜合應(yīng)用【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數(shù)列的基本量的求解】 3【題型2等差、等比數(shù)列的判定與證明】 4【題型3數(shù)列通項(xiàng)公式的求解】 5【題型4等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】 6【題型5數(shù)列性質(zhì)的綜合問(wèn)題】 7【題型6數(shù)列求和】 8【題型7數(shù)列問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用】 9【題型8數(shù)列不等式問(wèn)題】 10【題型9以數(shù)列為載體的新定義或情境題】 12數(shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，小題重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)、性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；解答題的難度中等或稍難，往往在解決數(shù)列基本問(wèn)題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問(wèn)題綜合，與不等式結(jié)合時(shí)“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1判斷數(shù)列類型的技巧方法】1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡(jiǎn)得到定值.(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項(xiàng)公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義. 3.證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項(xiàng)法：為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項(xiàng)法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可；在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時(shí)，要注意對(duì)n=1的情形進(jìn)行驗(yàn)證.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列通項(xiàng)公式的求解策略】1.含，的式子求通項(xiàng)的方法：在處理含，的式子時(shí)，一般情況下利用公式，消去，進(jìn)而求出的通項(xiàng)公式；但是有些題目雖然要求的通項(xiàng)公式，但是并不便于運(yùn)用，這時(shí)可以考慮先消去，得到關(guān)于的遞推公式，求出后再求解．2.形如的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)的方法：遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累加法求的通項(xiàng)公式，遇到形如的遞推關(guān)系式，可利用累乘法求的通項(xiàng)公式，注意在使用上述方法求通項(xiàng)公式時(shí)，要對(duì)第一項(xiàng)是否滿足進(jìn)行檢驗(yàn)．3.構(gòu)造數(shù)列求通項(xiàng)的方法：遇到下列遞推關(guān)系式，我們通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列，將它們轉(zhuǎn)化為熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列，從而求解該數(shù)列的通項(xiàng)公式：(1)形如（，），可變形為，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，由此可以求出；(2)形如（，），此類問(wèn)題可兩邊同時(shí)除以，得，設(shè)，從而變成，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第(1)個(gè)問(wèn)題；(3)形如，可以考慮兩邊同時(shí)除以，轉(zhuǎn)化為的形式，設(shè)，則有，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第(1)個(gè)問(wèn)題．【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的單調(diào)性與最值問(wèn)題的解題策略】1.判斷數(shù)列單調(diào)性的方法(1)比較法（作差或作商）；(2)函數(shù)化（要注意擴(kuò)展定義域）．2.求數(shù)列最值的方法(1)利用數(shù)列的單調(diào)性；(2)設(shè)最大值項(xiàng)為，解方程組，再與首項(xiàng)比較大?。ㄒ宰畲笾淀?xiàng)為例，最小值項(xiàng)同理）．【知識(shí)點(diǎn)4數(shù)列求和的幾種方法】1.公式法：公式法是數(shù)列求和的最基本的方法，也是數(shù)列求和的基礎(chǔ)；其他一些數(shù)列的求和可以轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和，然后利用等差或等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.注意利用等比數(shù)列求和公式時(shí)，當(dāng)公比是用字母表示時(shí)，應(yīng)對(duì)其是否為1進(jìn)行討論．2.裂項(xiàng)相消法求和：用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，，裂項(xiàng)后產(chǎn)生可以連續(xù)相互抵消的項(xiàng)．抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，但是前后所剩項(xiàng)數(shù)一定相同．3.錯(cuò)位相減法求和：用錯(cuò)位相減法求和時(shí)的注意點(diǎn)：(1)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(2)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況討論．4.分組（并項(xiàng)）法求和：分組（并項(xiàng)）法求和的常見類型：(1)若，且，為等差或等比數(shù)列，可采用分組（并項(xiàng)）法求的前項(xiàng)和；(2)若通項(xiàng)公式為，其中數(shù)列，是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組（并項(xiàng)）法求和.【題型1等差、等比數(shù)列的基本量的求解】【例1】（2023·江西新余·統(tǒng)考二模）記Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a2=S3，a1a3=S4，則數(shù)列an的公差為（A．-2 B．-1 C．2 D【變式1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a2=1，S4=8．若A．5 B．6 C．7 D．8【變式1-2】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1A．1 B．2 C．3 D．1或3【變式1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足2a2a5=aA．12 B．32 C．2 D【題型2等差、等比數(shù)列的判定與證明】【例2】（2023·陜西咸陽(yáng)·校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，a2=2，且對(duì)于任意n≥2A．a(chǎn)n是等差數(shù)列 B．a(chǎn)C．S9=81 D【變式2-1】（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.記命題p：“數(shù)列an為等比數(shù)列”，命題q：“Sn，S2n-Sn，SA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-2】（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=(1)求證：數(shù)列1a(2)若1a1+【變式2-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn+2+3(1)證明：數(shù)列an(2)記(an+1)bn=n+2n【題型3數(shù)列通項(xiàng)公式的求解】【例3】（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的公差為2，且a(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(2)若數(shù)列bn的首項(xiàng)b1=1,【變式3-1】（2023·山東·沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，S2(1)求數(shù)列an(2)證明：Sn【變式3-2】（2023·山東·山東校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的正整數(shù)n,n與(1)求數(shù)列an(2)證明：n2【變式3-3】（2023·廣西南寧·校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an滿足2a2k+1=a2k-1(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和S【題型4等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題】【例4】（2023·四川德陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知首項(xiàng)為12的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列Sn+【變式4-1】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且a4是6a(1)求an(2)若數(shù)列an的公比q>0,設(shè)數(shù)列bn滿足bn=1log2【變式4-2】（2023·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，數(shù)列bn為等比數(shù)列，b2(1)求數(shù)列bn(2)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6=b【變式4-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為0的等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn中，a1=1，b1(1)求數(shù)列an，b(2)若Tn為數(shù)列1anan+1的前n【題型5數(shù)列性質(zhì)的綜合問(wèn)題】【例5】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn是等比數(shù)列，若a1+aA．2 B．3 C．32 D．【變式5-1】（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，Sn為其前n項(xiàng)和，若對(duì)任意k>2022，都有SA．a(chǎn)1,aB．a(chǎn)1,aC．a(chǎn)1,aD．a(chǎn)1,a【變式5-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學(xué)?？家荒＃┰O(shè)等差數(shù)列an的公差為d，共前n項(xiàng)和為Sn，已知S16>0，SA．a(chǎn)1>0，d<0 B．S8與C．a(chǎn)8+a【變式5-3】（2023·山東濰坊·山東?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，其前n項(xiàng)和為Sn，前n項(xiàng)積為Tn，并滿足條件a1>1，a2019A．S2019<S2020

C．T2020是數(shù)列Tn中的最大值

D．?dāng)?shù)列【題型6數(shù)列求和】【例6】（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1≠0，公差為d，Sn為an(1)求a1與d(2)若a1=1，Tn為數(shù)列1anan【變式6-1】（2023·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx滿足fx+f1-(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足b1=23，bn=1an?an+1（n【變式6-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1=4,a2+18是a1與a(1)求數(shù)列an，b(2)記cn=log2bn+1（其中，符號(hào)x表示不超過(guò)x【變式6-3】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn(1)求數(shù)列an和數(shù)列b(2)若cn=an,【題型7數(shù)列問(wèn)題的實(shí)際應(yīng)用】【例7】（2023·廣東潮州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問(wèn)題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問(wèn)本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金為持金的12，第2關(guān)收稅金為剩余金的13，第3關(guān)收稅金為剩余金的14，第4關(guān)收稅金為剩余金的15，第5關(guān)收稅金為剩余金的16，5關(guān)所收稅金之和恰好重1斤．問(wèn)原來(lái)持金多少？”．記這個(gè)人原來(lái)持金為a斤，設(shè)fA．-5 B．7 C．13 D．【變式7-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模）現(xiàn)有17匹善于奔馳的馬，它們從同一個(gè)起點(diǎn)出發(fā)，測(cè)試它們一日可行的路程．已知第i（i=1，2，…，16）匹馬的日行路程是第i+1匹馬日行路程的1.05倍，且第16匹馬的日行路程為A．7750里 B．7752里C．7754里 D．7756里【變式7-2】（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）近兩年，直播帶貨逐漸成為一種新興的營(yíng)銷模式，帶來(lái)電商行業(yè)的新增長(zhǎng)點(diǎn).某直播平臺(tái)第1年初的啟動(dòng)資金為500萬(wàn)元，由于一些知名主播加入，平臺(tái)資金的年平均增長(zhǎng)率可達(dá)40%，每年年底把除運(yùn)營(yíng)成本a萬(wàn)元，再將剩余資金繼續(xù)投入直播平合(1)若a=100，在第3(2)每年的運(yùn)營(yíng)成本最多控制在多少萬(wàn)元，才能使得直播平臺(tái)在第6年年底?除運(yùn)營(yíng)成本后資金達(dá)到3000萬(wàn)元？（結(jié)果精確到0.1萬(wàn)元）【變式7-3】（2023·湖南郴州·統(tǒng)考三模）“現(xiàn)值”與“終值”是利息計(jì)算中的兩個(gè)基本概念，掌握好這兩個(gè)概念，對(duì)于順利解決有關(guān)金融中的數(shù)學(xué)問(wèn)題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現(xiàn)值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現(xiàn)時(shí)的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計(jì)算的基點(diǎn)分別是存期的起點(diǎn)和終點(diǎn).例如，在復(fù)利計(jì)息的情況下，設(shè)本金為A，每期利率為r，期數(shù)為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現(xiàn)值，即現(xiàn)有如下問(wèn)題：小明想買一座公寓有如下兩個(gè)方案方案一：一次性付全款25萬(wàn)元；方案二：分期付款，每年初付款3萬(wàn)元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬(wàn)元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問(wèn)中的存款年利率2.5%，預(yù)計(jì)第十年房租到期后小明所獲得全部租金的終值.參考數(shù)據(jù)：(1+2.5【題型8數(shù)列不等式問(wèn)題】【例8】（2023·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列{an}中，a1=5，且2(1)求數(shù)列{a(2)求滿足不等式|Sn-(3)設(shè)bm=(m-3)2+λ2，Cn【變式8-1】（2023·海南·海南華僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）數(shù)列an中，a1=49(1)求an(2)設(shè)an的前n項(xiàng)和為S①an②Sn【變式8-2】（2023·天津和平·耀華中學(xué)?？级＃┮阎炔顢?shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，S4=10，數(shù)列(1)證明：bn(2)證明：S2(3)設(shè)數(shù)列cn滿足：cn=【變式8-3】（2023·廣西南寧·?？寄M預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=ax2+bx+(1)求實(shí)數(shù)a，b，c的值；(2)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且點(diǎn)an,4Sn在函數(shù)fx的圖象上，若不等式【題型9以數(shù)列為載體的新定義或情境題】【例9】（2023·北京西城·北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考三模）若項(xiàng)數(shù)為NN≥3的數(shù)列AN:a1,a2,?,a(1)①若N=3，寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列A②若N=4,a4=3，寫出一個(gè)具有性質(zhì)(2)若N=2024，數(shù)列A2024具有性質(zhì)P，求(3)已知數(shù)列AN:a1,a2,?,aN,BN:b1【變式9-1】（2023·北京海淀·中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知有限數(shù)列an，從數(shù)列an中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、?、第im項(xiàng)（i1<i2<?<im），順次排列構(gòu)成數(shù)列bk，其中bk=aik，1≤k≤m，則稱新數(shù)列b(1)判斷下面數(shù)列an數(shù)列①：3，5，7，9，11；數(shù)列②：2，4，8，16．(2)數(shù)列an的子列bk長(zhǎng)度為m，且bk為完全數(shù)列，證明：m(3)數(shù)列an的子列bk長(zhǎng)度m=5，且b【變式9-2】（2023·北京朝陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知有窮數(shù)列A:a1,a2,?,aNN∈N*,N≥3滿足(1)判斷數(shù)列A:-1,1,0,1,0,1,-1是否為3-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列？是否為4-(2)若項(xiàng)數(shù)為N的任意數(shù)列A都是2-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，求N的最小值；(3)若數(shù)列A:a1,a2,?,aN不是4-連續(xù)等項(xiàng)數(shù)列，而數(shù)列A1:【變式9-3】（2023·全國(guó)·鄭州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若一個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為公差為正的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為公比為正的等比數(shù)列，且公差公比相同，則稱數(shù)列為“搖擺數(shù)列”，其表示為an=a1+n-12d,n=2k-1(1)求{a(2)若bn=nan，求數(shù)列bn的前1．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知數(shù)列an滿足an+1A．當(dāng)a1=3時(shí)，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MB．當(dāng)a1=5時(shí)，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MC．當(dāng)a1=7時(shí)，an為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MD．當(dāng)a1=9時(shí)，an為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：an為等差數(shù)列；乙：{A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和Sn，若a1=1，S5A．158 B．658 C．15 D4．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于砝碼的、用來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”．已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列an，