【二輪復習】高考數(shù)學 重難點13 圓錐曲線?？冀?jīng)典小題全歸類（新高考專用）（原卷版）

重難點13圓錐曲線常考經(jīng)典小題全歸類【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1圓錐曲線的定義及應(yīng)用】 3【題型2圓錐曲線的標準方程的求解】 4【題型3橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問題】 5【題型4焦半徑問題】 5【題型5焦點三角形問題】 6【題型6圓錐曲線中的最值問題】 6【題型7阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】 6【題型8阿基米德三角形】 8【題型9蒙日圓】 9【題型10切線問題】 10【題型11定比點差法與點差法】 10【題型12圓錐曲線的光學性質(zhì)問題】 11圓錐曲線是高考的熱點內(nèi)容，其中圓錐曲線的定義、方程與幾何性質(zhì)是每年高考必考的內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，在選擇、填空題中的考查主要有三個方面：一是求圓錐曲線的標準方程；二是求橢圓或雙曲線的離心率、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題；三是拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用問題；難度中等.通過對圓錐曲線的定義、方程及幾何性質(zhì)的考查，著重考查了數(shù)學抽象、邏輯推理與數(shù)學運算等核心素養(yǎng)．【知識點1圓錐曲線的定義及應(yīng)用】1.利用圓錐曲線的定義求軌跡方程

在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時，若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義，則根據(jù)定義判定軌跡曲線并寫出方程．有時還要注意軌跡是不是完整的曲線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制．2.圓錐曲線定義的應(yīng)用(1)圓錐曲線定義的應(yīng)用主要有：求標準方程，將定義和余弦定理等結(jié)合使用，研究焦點三角形的周長、面積，求弦長、最值和離心率等．(2)應(yīng)用圓錐曲線的定義時，要注意定義中的限制條件．在橢圓的定義中，要求；在雙曲線的定義中，要求；在拋物線的定義中，定直線不經(jīng)過定點．此外，通過到定點和到定直線的距離之比為定值可將三種曲線統(tǒng)一在一起，稱為圓錐曲線．【知識點2圓錐曲線的幾何性質(zhì)的研究】1.解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)：用解析法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)是通過方程進行討論的，再通過方程來研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)．不僅要能由方程研究曲線的幾何性質(zhì)，還要能運用兒何性質(zhì)解決有關(guān)問題，如利用坐標范圍構(gòu)造函數(shù)或不等關(guān)系等．【知識點3圓錐曲線的標準方程的求解方法】1.橢圓標準方程的求解(1)用定義法求橢圓的標準方程

根據(jù)橢圓的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出橢圓方程.(2)用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程

①如果明確了橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，那么所求的橢圓一定是標準形式，就可以利用待定系數(shù)法求解.首先建立方程，然后依據(jù)題設(shè)條件，計算出方程中的a，b的值，從而確定方程（注意焦點的位置）.②如果不能確定橢圓的焦點的位置，那么可用以下兩種方法來解決問題：一是分類討論，分別就焦點在x軸上和焦點在y軸上利用待定系數(shù)法設(shè)出橢圓的標準方程，再解答；二是用待定系數(shù)法設(shè)橢圓的一般方程為=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.2.雙曲線標準方程的求解(1)用定義法求雙曲線的標準方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定的值，結(jié)合焦點位置可寫出雙曲線的標準方程.(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設(shè)出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為或，再根據(jù)條件求解.(3)與雙曲線有相同漸近線時，可設(shè)所求雙曲線方程為.3.拋物線標準方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【知識點4橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍的解題策略】1.求橢圓離心率或其范圍的方法解題的關(guān)鍵是借助圖形建立關(guān)于a,b,c的關(guān)系式(等式或不等式)，轉(zhuǎn)化為e的關(guān)系式，常用方法如下:(1)直接求出a,c，利用離心率公式求解.(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式求解.(3)構(gòu)造a,c的齊次式.離心率e的求解中可以不求出a,c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.2.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法(1)直接求出a,c的值，利用離心率公式直接求解.(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式)，借助于消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解.【知識點5圓錐曲線中的最值問題的解題策略】1.橢圓中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.2.雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標函數(shù)，將目標變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.3.與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略(1)轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.(2)轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【題型1圓錐曲線的定義及應(yīng)用】【例1】（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）P為橢圓x26+y22=1上一點，曲線x2+y=1與坐標軸的交點為A，B，C，D，若PA+PB+PC+PD=4A．913 B．813 C．219【變式1-1】（2023·四川達州·二模）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x24-y23=1的左、右焦點，過F2的直線與A．5 B．6 C．8 D．12【變式1-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l:x=32與拋物線C相交于A，B兩點，點A為x軸上方一點，過點AA．12 B．1 C．2 D．【變式1-3】（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左?右焦點分別為F1,F2.A．23 B．45 C．57【題型2圓錐曲線的標準方程的求解】【例2】（2023·河南安陽·二模）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A．x2-yC．2x23【變式2-1】（2023·河南新鄉(xiāng)·三模）已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F，C上一點A．y2=2x B．y2=x【變式2-2】（2023·安徽合肥·三模）已知O為坐標原點，橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，平行四邊形OACB的三個頂點A，B，C在橢圓E上，若直線ABA．x28+C．x24+【變式2-3】（2023·天津河西·模擬預(yù)測）已知雙曲線x2a2-y2b2=1(A．x22-C．x24-【題型3橢圓、雙曲線的離心率或其取值范圍問題】【例3】（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左右焦點，直線A．33 B．3 C．3-1【變式3-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）雙曲線E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F1,A．2 B．4 C．5 D．6【變式3-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知F1,F2是橢圓C1:x212+yA．52 B．5 C．102 D【變式3-3】（2023·湖南永州·一模）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別是F1,F2，點PA．217 B．3311 C．77【題型4焦半徑問題】【例4】（2023·西藏拉薩·一模）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，點M在拋物線C上，且MF=4，O為坐標原點，則A．5 B．25 C．4 D．【變式4-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）設(shè)F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點，點P為C上第四象限的點．若直線A．6 B．4 C．3 D．2【變式4-2】（2023·四川·模擬預(yù)測）設(shè)O為坐標原點，點P2,y0在拋物線C:y2=2px(p【變式4-3】（2023·廣東茂名·三模）已知O為坐標原點，直線l過拋物線D:y2=2px(p>0)的焦點F，與拋物線D及其準線依次交于A,B,C三點（其中點【題型5焦點三角形問題】【例5】（2023·廣東梅州·三模）已知橢圓C:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2的直線A．23 B．13 C．4 D．【變式5-1】（2023·廣東廣州·一模）雙曲線C:x2-y2=4的左，右焦點分別為F1,F2，過F2作垂直于A．62-8 B．62-4【變式5-2】（2023·安徽·一模）已知橢圓C:x2a2+y2=1a>1的左、右焦點分別為F1、F2，過FA．32 B．3 C．23 D【變式5-3】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)A．52 B．12 C．5-【題型6圓錐曲線中的最值問題】【例6】（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測）已知F1,F2是橢圓x24+【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，M4,0，過點M作直線x+a-3y-3【變式6-2】（2022高三·江蘇·專題練習）已知橢圓E:x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2【變式6-3】（2022·河北邯鄲·一模）已知點P在雙曲線x24-y25=1的右支上，A0,2，動點B滿足【題型7阿波羅尼斯圓與圓錐曲線】【例7】（2023·貴州畢節(jié)·二模）古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中，記載了用平面截圓錐得到圓錐曲線的辦法．如圖，已知圓錐的高與底面半徑均為2，過軸OO1的截面為平面OAB，平行于平面OAB的平面α與圓錐側(cè)面的交線為雙曲線C的一部分．若雙曲線C的兩條漸近線分別平行于OA,OB，則建立恰當?shù)淖鴺讼岛?，雙曲線A．y2-xC．y2-x【變式7-1】（22-23高三下·湖北武漢·期中）古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)了橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點射出的光線，經(jīng)橢圓反射，其反射光線必經(jīng)過橢圓的另一焦點．設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦點分別為F1，A．12 B．22 C．32【變式7-2】（2023·湖南·模擬預(yù)測）兩千多年前，古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面α∥PQ，平面α截圓錐側(cè)面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（A．233 B．133 C．3【變式7-3】（2023·新疆烏魯木齊·三模）希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)“平面內(nèi)到兩個定點A,B的距離之比為定值λλ≠1的點的軌跡是圓”.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系xOy中，點A-32,12，B-32,2，若點P是滿足λ=A．34 B．37 C．42 D．3【題型8阿基米德三角形】【例8】（2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過焦點，△ABQA．p22 B．p2 C．2【變式8-1】（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）阿基米德是古希臘著名的數(shù)學家、物理學家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(A．x29+4y227=1 B【變式8-2】（2023·山西·模擬預(yù)測）圓錐曲線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過拋物線焦點F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點，分別過A，B兩點作拋物線的切線l1，l2相交于點P，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①點P必在拋物線的準線上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線A．12 B．14 C．2 D【變式8-3】（2024·陜西銅川·一模）古希臘哲學家、百科式科學家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的π倍，這種方法已具有積分計算的雛形.已知橢圓C的面積為125π，離心率為23，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，A①橢圓C的標準方程可以為x236+y220③存在點A，使得∠F1AF2A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【題型9蒙日圓】【例9】（2023·青海西寧·二模）法國數(shù)學家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：x2a2+y2b2=1A．22 B．32 C．33【變式9-1】（2023·四川·三模）19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓x2a2+y2b2=1a>bA．±3 B．±4 C．±5 D．2【變式9-2】（2023·江西·模擬預(yù)測）定義：圓錐曲線C:x2a2+y2b2=1的兩條相互垂直的切線的交點Q的軌跡是以坐標原點為圓心，a2+b2為半徑的圓，這個圓稱為蒙日圓.已知橢圓C的方程為x25+y24=1，A．-34或43 B．125或0 C．-95或【變式9-3】（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形G的四邊均與橢圓M:x2

A．橢圓M的離心率為33 B．橢圓M的蒙日圓方程為C．若G為正方形，則G的邊長為25 D．長方形G的面積的最大值為【題型10切線問題】【例10】（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知P為拋物線x2=4y上一點，過P作圓x2+(y-3)A．12 B．23 C．34【變式10-1】（2023·湖北·一模）已知圓C1:x2+y2=b2b>0與雙曲線C2:x2a2-A．1,52 BC．1,3 D．【變式10-2】（2022·河南·模擬預(yù)測）已知Ma,3是拋物線C：x2=2pyp>0上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為4，過點P4,2向拋物線C作兩條切線，切點分別為A．-1 B．1 C．16 D．【變式10-3】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知O為坐標原點，橢圓C：x2a2+y2b2a>b>0的左、右焦點分別為F1-c,0，F(xiàn)2c,0，過點F2作圓O：x2+yA．12 B．64 C．22【題型11定比點差法與點差法】【例11】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1?(a>0,b>0)的離心率為2，直線lA．2 B．3 C．4 D．6【變式11-1】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，O為坐標原點，直線l交橢圓于A，B兩點，MA．12 B．22 C．33【變式11-2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知圓錐曲線統(tǒng)一定義為“平面內(nèi)到定點F的距離與到定直線l的距離（F不在l上）的比值e是常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線”．過雙曲線x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左焦點F1的直線l（斜率為正）交雙曲線于A．26 B．35 C．43【變式11-3】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知直線l:y=kx與橢圓E:x2a2+y2b2=1a>A．-22,-C．-32,-【題型12圓錐曲線的光學性質(zhì)問題】【例12】（2023·全國·模擬預(yù)測）圓錐曲線的光學性質(zhì)在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質(zhì)，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經(jīng)過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為F

A．2 B．2 C．72 D．【變式12-1】（2023·河北張家口·二模）探照燈?汽車前燈的反光曲面?手電筒的反光鏡面?太陽灶的鏡面等都是拋物鏡面.燈泡放在拋物線的焦點位置，通過鏡面反射就變成了平行光束，如圖所示，這就是探照燈?汽車前燈?手電筒的設(shè)計原理.已知某型號探照燈反射鏡的縱斷面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點處，燈口直徑是80cm，燈深40cm，則光源到反射鏡頂點的距離為（A．20cm B．10cm C．30cm【變式12-2】（2022·全國·模擬預(yù)測）桂林山水甲天下，那里水?山秀，聞名世界，桂林的山奇特險峻，甲、乙兩名探險家在桂林山中探險，他們來到一個山洞，洞內(nèi)是一個橢球形，截面是一個橢圓，甲、乙兩人分別站在洞內(nèi)如圖所示的A、B兩點處，甲站在A處唱歌時離A處有一定距離的乙在B處聽得很清晰，原因在于甲、乙兩人所站的位置恰好是洞內(nèi)截面橢圓的兩個焦點，符合橢圓的光學性質(zhì)，即從一個焦點發(fā)出光經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點，現(xiàn)已知橢圓：C:x2100+y216=1上一點M，過點M作切線l，AA．26 B．10 C．310 D【變式12-3】（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測）雙曲線的光學