2025年春滬科版七年級數(shù)學下冊 8.3 完全平方公式與平方差公式（上課、復習課件）

8.3完全平方公式與平方差公式第1課時完全平方公式學習目標會推導完全平方公式，理解公式的結(jié)構(gòu)特征，并能正確利用公式進行乘法運算.在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解完全平方公式的幾何意義，感知數(shù)形結(jié)合的思想.在探索完全平方公式的過程中，感悟從一般到特殊的研究問題的方法.在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，感受數(shù)學的嚴謹性，體會數(shù)學的簡潔美.完全平方公式復習回顧應(yīng)用新知創(chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知

先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.多項式與多項式相乘(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多項式與多項式相乘的法則計算下列多項式的積，看誰算得又快又對？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.觀察上面的等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)原算式有什么共同點？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)均為兩個數(shù)的和的平方.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)m2+2·m·2+22p2+2·p·1+12原算式中的各項與它們結(jié)果中的各項有什么關(guān)系？兩個數(shù)的和的平方，恰好是這兩個數(shù)的平方和，加上這兩個數(shù)的積的2倍.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究能否將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用式子表示出來？猜想(a+b)2=a2+2ab+b2

(p+1)2=

=

；

(m+2)2=

=

.p2+2p+1m2+4m+4(p+1)(p+1)(m+2)(m+2)m2+2·m·2+22p2+2·p·1+12你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究猜想小組合作1.獨立思考，完成驗證；2.兩人一組，交流思路，完善過程.(a+b)2=a2+2ab+b2你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2多項式乘法法則合并同類項兩個數(shù)的和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍.猜想(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)2=a2+2ab+b2完全平方公式

能類比兩數(shù)和的完全平方公式的推導過程，表示兩數(shù)差的完全平方嗎？即：(a?b)2=？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考法一：(a?b)2=(a?b)(a?b)=a2?ab?ab+b2=a2?2ab+b2

法二：(a?b)2=[a+(?b)]2

=a2+2·a·(?b)+(?b)2=a2?2ab+b2兩個數(shù)的差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍.完全平方公式(a?b)2=a2?2ab+b2

歸納完全平方公式創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b2符號語言文字語言你能根據(jù)圖中的圖形面積說明完全平方公式嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考小組合作1.獨立思考，完成驗證；2.四人一組，交流思路，完善過程.3.學生分組展示過程.你能根據(jù)圖中的圖形面積說明完全平方公式嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考+a2ababb2=+(a+b)2=a2+2ab+b2你能根據(jù)圖中的圖形面積說明完全平方公式嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考(a?b)2=(a?b)b(a?b)bb2

a2?2(a?b)b?b2(a?b)2=a2?2ab+b2

觀察這兩個公式，回答下面的問題：創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知

(1)積的次數(shù)和項數(shù)分別是多少？(2)兩個公式中的積有相同的項嗎？與a、b有什么關(guān)系？(3)兩個公式中的積中不同的是哪一項？與a、b有什么關(guān)系？它的符號與什么有關(guān)？(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b2觀察都是二次三項式積中兩項為a、b的平方和一項為a、b的積的2倍，符號與a、b中間的符號相同歸納完全平方公式創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知公式的特征積為二次三項式；積中兩項為兩數(shù)的平方和；另一項是兩數(shù)積的兩倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項式或多項式.(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b21234口訣：首平方，尾平方；積的二倍放中央，符號與前一個樣.做一做下列各式的計算是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知

(p

1)2=p2

1

(m

2)2=m2

2m+4

(x+y)2=x2+y2

(

x+y)2=x2+2xy+y2

(m2n)2=m2

4mn+4n2(

x+y)2=x2

2xy+y2(p

1)2=p2

2p+1(m

2)2=m2

4m+4(x+y)2=x2+2xy+y2(a

+

b)2=a2+2a

b+b2利用乘法公式計算：(1)(2x+y)2；(2)

(3a–2b)2(2x+y)2==4x2+4xy+y2(2x)2+2·2x·y+y2解：(1)典型例題探究新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知創(chuàng)設(shè)情境(a

–

b)2

=a2–2a

b+b2利用乘法公式計算：(1)(2x+y)2；(2)

(3a–2b)2(3a

–

2b)2=(3a)2–

2·3a·2b

+

(2b)2=9a2–12ab+4b2典型例題解：(2)探究新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知創(chuàng)設(shè)情境1.利用乘法公式計算：(1)(3x+1)2；(2)

(a–3b)2；

(3)

(2x+)2；

(4)

(–2x–3y)2(3x+1)2=

9x2+6x+1

；

(2)

(a–3b)2

=

a2–6ab+9b2；

(3)

(2x+)2=

4x2+2xy+

；

(4)

(–2x–3y)2=

4x2+12xy+9y2

.解：隨堂練習應(yīng)用新知鞏固新知探究新知課堂小結(jié)布置作業(yè)創(chuàng)設(shè)情境2.如圖，是一張正方形的紙片，如果把它沿著各邊都剪去3cm

寬的一條長方形，那么所得小正方形的面積比原正方形的面

積減少84cm2，求原正方形的邊長.解：設(shè)原正方形的邊長為acm，則小正方形的邊長為(a–6)2cm由題意得：a2

–(a–6)2=84

解得：a=10則原正方形的邊長為10cm.隨堂練習應(yīng)用新知鞏固新知探究新知課堂小結(jié)布置作業(yè)創(chuàng)設(shè)情境完全平方公式的特征：完全平方公式：完全平方公式鞏固新知課堂小結(jié)應(yīng)用新知探究新知布置作業(yè)兩個數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.積為二次三項式；積中兩項為兩數(shù)的平方和；另一項是兩數(shù)積的兩倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；公式中的字母a、b可以表示數(shù)、單項式或多項式.創(chuàng)設(shè)情境(a+b)2=a2+2ab+b2(a?b)2=a2?2ab+b21234創(chuàng)設(shè)情境探究新知探究新知應(yīng)用新知鞏固新知布置作業(yè)課堂小結(jié)完成教材上的課后習題完成《點撥訓練》上的習題8.3完全平方公式與平方差公式第2課時平方差公式學習目標能根據(jù)多項式的乘法法則推導出平方差公式，理解平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，并能正確運用公式進行計算.在利用幾何圖形的面積驗證公式的過程中，了解平方差公式的幾何意義，感知數(shù)形結(jié)合的思想.在探索平方差公式的過程中，感悟從一般到特殊、從具體到抽象地研究問題的方法.在探究過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能用符號表示，感受數(shù)學的嚴謹性，體會數(shù)學的簡潔美.平方差公式復習回顧應(yīng)用新知創(chuàng)設(shè)情境鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知

先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.多項式與多項式相乘(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq多項式與多項式相乘的法則計算下列多項式的積，看誰算得又快又對？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1觀察上面的等式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？下列問題中相乘的兩個多項式有什么共同點？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1均為相同的兩個數(shù)的和、兩個數(shù)的差的形式.相乘的兩個多項式的各項與它們積中的各項又有什么關(guān)系呢？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.

x2

1m2

44x2

1兩個多項式的積恰好是這兩個多項式中相同的兩個數(shù)的平方差.

x2

12m2

22(2x)212(2x)212m2

22

x2

12根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律你能得出什么結(jié)論嗎？用式子表示出來.創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究

(x+1)(x

1)=

；

(m+2)(m

2)=

；

(2x+1)(2x

1)=

.猜想(a+b)(a

b)=a2

b2你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究猜想(a+b)(a

b)=a2

b2小組合作1.獨立思考，完成驗證；2.兩人一組，交流思路，完善過程.你能對發(fā)現(xiàn)的規(guī)律進行推導嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知探究猜想(a+b)(a

b)=a2

b2(a+b)(a

b)=a2

ab+ab

b2=a2

b2多項式乘法法則合并同類項(a+b)(a

b)=a2

b2兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.平方差公式符號語言文字語言你能根據(jù)圖中的圖形面積說明平方差公式嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考baabb小組合作1.獨立思考，完成驗證；2.四人一組，交流思路，完善過程.3.學生分組展示過程.S1S2S3S4你能根據(jù)圖中的圖形面積說明平方差公式嗎？創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知思考baabbaabbS1S3S4baS1S2S2=S3S1+S3=a2

b2S1+S2a

b=(a+b)(a

b)(a+b)(a

b)=a2

b2幾何意義是否還有其它的剪拼方法來證明？延伸探究新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知創(chuàng)設(shè)情境歸納平方差公式創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知(a+b)(a

b)=a2

b2相同項相反項(相同項)2

(相反項)2平方差公式的特征等號左邊是兩個二項式的積，且這兩個二項式中有一項為相同項，另一項為相反項.等號右邊是相同項的平方減去相反項的平方.公式中的字母可以表示具體的數(shù)，也可以表示單項式或多項式等式子.做一做判斷下列式子是否能用平方差公式計算：創(chuàng)設(shè)情境應(yīng)用新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)探究新知(1)(a+2b)(

a?2b)(2)(a?2b)(2b?a)

(3)(2a

b)(

b+2a)(4)

(a?3b)(a+3b)(5)(

2x+3y)(3y?2x)

不能不存在相同的項不能不存在相同的項不能不存在相反的項能

a2?(3b)2

=a2+9b2

不能不存在相反的項符合平方差公式的特征才能運用平方差公式計算.探究新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題【例1】利用乘法公式計算：創(chuàng)設(shè)情境(1)1999×2001；(2)(x+3)(x

3)(x2+9).(1)1999×2001=(20001)×(2000+1)=20002

12=3999999

解：(2)(x+3)(x

3)(x2+9)=(x2

9)(x2+9)=x481.探究新知鞏固新知課堂小結(jié)布置作業(yè)應(yīng)用新知典型例題【例2】計算：創(chuàng)設(shè)情境(1)(a+b+c)2；(2)(a

b)3.(1)(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

解：(2)(a

b)3=(a

b)

(a

b)2=(a

b)(a2

2ab+b2)=a32a2b+ab2

a2b+2ab2

b3=a33a2b+3ab2

b3.應(yīng)用新知鞏固新知隨堂練習探究新知課堂小結(jié)布置作業(yè)創(chuàng)設(shè)情境1.利用乘法公式計算：(1)(2a+5b)(2a

5b)；(2)(x

3)(x+3)；

(3)(y2x)(

2x

y)；

(4)(xy+1)(xy

1).(1)(2a+5b)(2a

5b)=(2a)2

(5b)2=4a2

25b2

解：(2)(x

3)(x+3)=(x)2

9=x2

9應(yīng)用新知鞏固新知隨堂練習探究新知課堂小結(jié)布置作業(yè)創(chuàng)設(shè)情境1.利用乘法公式計算：(1)(2a+5b)(2a

5b)；(2)(x

3)(x+3)；

(3)(y2x)(

2x

y)；

(4)(xy+1)(xy

1).(3)(y2x)(

2x

y)=(

2x)2

y2=4x2

y2

解：(4)(xy+1)(xy1)=(xy)2

1=x2y21應(yīng)用新知鞏固新知隨堂練習探究新知課堂小結(jié)布置作業(yè)創(chuàng)設(shè)情境2.利用乘法公式計算：(1)598×602；