2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《幾何求解證明之圓中的最值問題》同步測試題-附答案

第第頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《幾何求解證明之圓中的最值問題》同步測試題-附答案學(xué)校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________一．選擇題（共5小題）1．如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）A．2 B．2 C．4+22 D．2．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，OA＝OB＝35，點C為平面內(nèi)一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時，點A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（653．如圖，⊙O的半徑為4，將劣弧沿弦AB翻折，恰好經(jīng)過圓心O，點C為優(yōu)弧AB上的一個動點，則△ABC面積的最大值是（）A．123 B．122 C．434．平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（1，0），B（5，0），C（0，t）．當(dāng)t＞0時，若∠ACB最大，則t的值為（）A．22 B．52 C．5 5．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝63，D是BC邊上一點，CD＝2BD，線段AD的最大值為（）A．12 B．6+23 C．6+3 D．二．填空題（共8小題）6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點P是AB邊上的一個動點，以BP為直徑的圓交CP于點Q，若線段AQ長度的最小值是4，則△ABC的面積為．7．如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），點B（1，0），點M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點P是⊙M上一個動點，則PA2+PB2的最大值為．9．如圖，⊙O與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，P為⊙O上一動點，Q為弦AP上一點，AQ＝3PQ．若點D的坐標為（0，﹣4），則CQ的最小值為．10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑是1．過⊙O上一點P作等邊三角形PDE，使點D，E分別落在x軸、y軸上，則PD的取值范圍是．11．如圖，⊙O的半徑為2，定點P在⊙O上，動點A，B也在⊙O上，且滿足∠APB＝30°，C為PB的中點，當(dāng)點A，B在圓上運動時，線段AC的最大值為．12．如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO＝BO＝CO＝1，過A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點，連結(jié)CE，BE，則CE2+BE2的最大值是．13．如圖，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是線段BC上的一點，以C為圓心，CD為半徑的半圓交AC邊于點E，交BC的延長線于點F，射線BE交EF于點G，則BE?EG的最大值為．三．解答題（共6小題）14．如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作PC⊥l，垂足為點C，PC與⊙O交于點D，連接PA，PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x＝3時，求弦PA，PB的長度；（2）用含有x的代數(shù)式表示PD?CD，并求出當(dāng)x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？15．如圖，直線l：y=43x+b與y軸交于點A，與x軸交于點B（﹣6，0），點C是線段OA上一動點（0＜AC＜325）．以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A交線段AB于另一點D，連接OD并延長交⊙（1）求△OAB的面積；（2）若∠ACD＝∠AOD+∠OAD，求點D的坐標；（3）若點C在線段OA上運動時，求OD?DE的最大值．16．如圖，半圓O的直徑AB＝4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在AQ上且不與A點重合，但Q點可與B點重合．（1）計算：劣弧PQ的長；（2）思考：點M與AB的最大距離為，此時點P，A間的距離為；點M與AB的最小距離為．（3）探究：當(dāng)半圓M與AB相切時，求AP的長．（注：結(jié)果保留π，cos35°=63，cos55°=17．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是，⊙C的半徑是；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標為．18．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F是線段CD延長線上的一點，連結(jié)FA交⊙O于點G，連結(jié)CG交AH于點P，連結(jié)CA．（1）求證：∠ACG＝∠F．（2）如圖②，若CA＝CG，求證：AG＝CD．（3）如圖③，連結(jié)DG，AE＝8．BE＝2．①若tan∠F=34，求②求AG?DG的最大值．19．如圖，P是y軸負半軸上一動點，坐標為（0，t），其中﹣4＜t＜0，以P為圓心，4為半徑作⊙P，交y軸于A，B，交x軸正半軸于C，連接PC，BC，過點B作平行于PC的直線交x軸于D，交⊙P于E．（1）當(dāng)t＝﹣3時，求OC的長；（2）當(dāng)△PBC與△CBD相似時，求t的值；（3）當(dāng)P在y軸負半軸上運動時，①試問BEOP②求BE?ED的最大值．參考答案與試題解析題號12345答案DDACB一．選擇題（共5小題）1．如圖，⊙O的圓心O與正方形的中心重合，已知⊙O的半徑和正方形的邊長都為4，則圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為（）A．2 B．2 C．4+22 D．【分析】如圖，由三角形三邊關(guān)系分析可得當(dāng)O、A、B三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值，最小值為OB﹣OA，以此即可求解．【解答】解：如圖，點B為⊙O上一點，點D為正方形上一點，連接BD，OC，OA，AB，由三角形三邊關(guān)系可得，OB﹣OD＜BD，OB是圓的半徑，為定值，當(dāng)點D在A時，取得最大值，∴當(dāng)O、A、B三點共線時，圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離有最小值，最小值為OB﹣OA，由題意可得，AC＝4，OB＝4，∵點O為正方形的中心，∴OA⊥OC，OA＝OC，∴△AOC為等腰直角三角形，∴OA=AC∴圓上任意一點到正方形邊上任意一點距離的最小值為OB﹣OA＝4?22故選：D．2．如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，OA＝OB＝35，點C為平面內(nèi)一動點，BC=32，連接AC，點M是線段AC上的一點，且滿足CM：MA＝1：2．當(dāng)線段OM取最大值時，點A．（35，65） B．（355C．（65，125） D．（65【分析】由題意可得點C在以點B為圓心，32為半徑的⊙B上，在x軸的負半軸上取點D（?352，0），連接BD，分別過C和M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，先證△OAM∽△DAC，得OMCD=OAAD=23，從而當(dāng)CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點共線，且點B在線段DC【解答】解：∵點C為平面內(nèi)一動點，BD=3∴點C在以點B為圓心，32為半徑的⊙B在x軸的負半軸上取點D（?3連接BD，分別過C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，垂足為F、E，∵OA＝OB=35∴AD＝OD+OA=9∴OAAD∵CM：MA＝1：2，∴OAAD∵∠OAM＝∠DAC，∴△OAM∽△DAC，∴OMCD∴當(dāng)CD取得最大值時，OM取得最大值，結(jié)合圖形可知當(dāng)D，B，C三點共線，且點B在線段DC上時，CD取得最大值，∵OA＝OB=35，OD=∴BD=O∴CD＝BC+BD＝9，∵OMCD∴OM＝6，∵y軸⊥x軸，CF⊥OA，∴∠DOB＝∠DFC＝90°，∵∠BDO＝∠CDF，∴△BDO∽△CDF，∴OBCF=BD解得CF=18同理可得，△AEM∽△AFC，∴MECF=AM解得ME=12∴OE=O∴當(dāng)線段OM取最大值時，點M的坐標是（655，故選D．3．如圖，⊙O的半徑為4，將劣弧沿弦AB翻折，恰好經(jīng)過圓心O，點C為優(yōu)弧AB上的一個動點，則△ABC面積的最大值是（）A．123 B．122 C．43【分析】如圖，過點C作CT⊥AB于點T，過點O作OH⊥AB于點H，交⊙O于點K，連接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，過點C作CT⊥AB于點T，過點O作OH⊥AB于點H，交⊙O于點K，連接AO，AK．由題意AB垂直平分線段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA?sin60°＝4×32=∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝43，∵OC+OH≥CT，∴CT≤4+2＝6，∴CT的最大值為6，∴△ABC的面積的最大值為12×43故選：A．4．平面直角坐標系內(nèi)，已知點A（1，0），B（5，0），C（0，t）．當(dāng)t＞0時，若∠ACB最大，則t的值為（）A．22 B．52 C．5 【分析】先確定過A、B兩點的⊙M與y軸相切于點C時∠ACB最大，再利用圓的有關(guān)知識求出OC的長即可．【解答】解：如圖①，作過A、B兩點的⊙M與y軸相切于點C，∵∠AC'B＜∠APB，∠APB＝∠ACB，∴∠AC'B＜∠ACB，∴⊙M與y軸相切于點C時，∠ACB最大．如圖②，作MH⊥AB，連接OM、MA、MB，∵⊙M與y軸相切于點C，∴∠OCM＝90°，∵A（1，0），B（5，0），∴AB＝4，∵MH⊥AB，∴AH=12∴OH＝1+2＝3，∴MC＝MA＝MB＝3，∴MH=3∴OC=5∴t=5故選：C．5．如圖，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝63，D是BC邊上一點，CD＝2BD，線段AD的最大值為（）A．12 B．6+23 C．6+3 D．【分析】作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，OD，過O作OE⊥BC，利用圓周角定理和垂徑定理，求出OB，利用勾股定理求出OD，根據(jù)AO+OD≥AD，得到當(dāng)A，O，D三點共線時，AD最大，即可得解．【解答】解：作△ABC的外接圓，連接OA，OB，OC，OD，過O作OE⊥BC，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∴∠BOE＝60°，∴∠OBE＝30°，∴OB＝2OE，∵BC=63，CD＝2∴BE=33∵OB2＝OE2+BE2，∴4OE2＝OE2+27，∵OE＞0，∴OE＝3，∴OB＝6，∵DE=BE?BD=3∴OD=D∵AO+OD≥AD，∴當(dāng)A，O，D三點共線時，AD最大，即：AD=OA+OD=6+23故選：B．二．填空題（共8小題）6．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，點P是AB邊上的一個動點，以BP為直徑的圓交CP于點Q，若線段AQ長度的最小值是4，則△ABC的面積為48．【分析】如圖，取BC的中點T，連接AT，QT．首先證明A，Q，T共線時，△ABC的面積最大，設(shè)QT＝TB＝x，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．【解答】解：如圖，取BC的中點T，連接AT，QT，BQ．∵PB是⊙O的直徑，∴∠PQB＝∠CQB＝90°，∴QT=12BC＝定值，∵AQ≥AT﹣TQ，∴當(dāng)A，Q，T共線時，AQ的值最小，設(shè)BT＝TQ＝x，在Rt△ABT中，則有（4+x）2＝x2+82，解得x＝6，∴BC＝2x＝12，∴S△ABC=12AB?BC故答案為：48．7．如圖，⊙M的半徑為4，圓心M的坐標為（5，12），點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為18．【分析】由Rt△APB中AB＝2OP知要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP′取得最小值，據(jù)此求解可得．【解答】解：連接OP，∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°，∵AO＝BO，∴AB＝2PO，若要使AB取得最小值，則PO需取得最小值，連接OM，交⊙M于點P′，當(dāng)點P位于P′位置時，OP′取得最小值，過點M作MQ⊥x軸于點Q，則OQ＝5，MQ＝12，∴OM＝13，又∵MP′＝4，∴OP′＝9，∴AB＝2OP′＝18，故答案為：18．8．如圖，在平面直角坐標系中，點A（﹣1，0），點B（1，0），點M（3，4），以M為圓心，2為半徑作⊙M．若點P是⊙M上一個動點，則PA2+PB2的最大值為100．【分析】設(shè)點P（x，y），表示出PA2+PB2的值，從而轉(zhuǎn)化為求OP的最值，畫出圖形后可直觀得出OP的最值，代入求解即可．【解答】解：設(shè)P（x，y），∵PA2＝（x+1）2+y2，PB2＝（x﹣1）2+y2，∴PA2+PB2＝2x2+2y2+2＝2（x2+y2）+2，∵OP2＝x2+y2，∴PA2+PB2＝2OP2+2，當(dāng)點P處于OM與圓的交點P′處時，OP取得最大值，如圖，∴OP的最大值為OP′＝OM+P′M=4∴PA2+PB2最大值為2×72+2＝100．故答案為：100．9．如圖，⊙O與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，D，P為⊙O上一動點，Q為弦AP上一點，AQ＝3PQ．若點D的坐標為（0，﹣4），則CQ的最小值為17?3【分析】連接PO，過Q作QM∥OP，交AO于M，以M為圓心，MA為半徑作圓，連接MC交⊙M于Q′，得到AM：AO＝AQ：AP，求出AM的長，推出MQ＝AM＝3，由勾股定理求出CQ′的長即可．【解答】解：連接PO，過Q作QM∥OP，交AO于M，以M為圓心，MA為半徑作圓，連接MC交⊙M于Q′，∴AM：AO＝AQ：AP，∵AQ＝3PQ，∴AQ：AP＝3：4，∵D的坐標是（0，﹣4），∴OA＝OD＝4，∴AM=34AO∵OA＝OP，∴∠MAQ＝∠P，∵QM∥PO，∴∠MQA＝∠P，∴∠MAQ＝∠MQA，∴MQ＝MA＝3，∴Q在⊙M上，∴當(dāng)Q與Q′重合時，CQ最小，∵OM＝AO﹣AM＝4﹣3＝1，OC＝4，∴MC=O∴CQ′＝CM﹣MQ′=17∴CQ的最小值是17?故答案為：17?10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑是1．過⊙O上一點P作等邊三角形PDE，使點D，E分別落在x軸、y軸上，則PD的取值范圍是3?1≤PD≤3【分析】找到最大值與最小值的位置，分別求出取值范圍的臨界值即可解答．【解答】解：如圖，過點P作PM⊥DE于點M，連接OM，設(shè)DP＝DE＝a，∵△PDE為等邊三角形，PM⊥DE，∴∠DPE＝60°，∠DPM＝30°，M為DE中點，∴DM=12a，根據(jù)勾股定理可得PM=D以此可得PM+OM≥1，即32解得：a≥3如圖，過點P作PM⊥DE于點M，連接OM，設(shè)DP＝DE＝a，同理可得，OM=12a根據(jù)圖象可得，PM﹣OM≤1，即32解得：a≤3綜上，3?1≤a≤∴PD的取值范圍是3?1≤PD≤故答案為：3?1≤PD≤11．如圖，⊙O的半徑為2，定點P在⊙O上，動點A，B也在⊙O上，且滿足∠APB＝30°，C為PB的中點，當(dāng)點A，B在圓上運動時，線段AC的最大值為3+1【分析】如圖，連接OA，OP，OB，延長BA到H，使得AH＝BA，連接PH．證明AC=12PH，求出【解答】解：如圖，連接OA，OP，OB，延長BA到H，使得AH＝BA，連接PH．∵BA＝AH，BC＝CP，∴AC∥PH，AC=12∴當(dāng)PH的值最大時，AC的值最大，∵∠AOB＝2∠APB＝60°，OA＝OB，∴△AOB是等邊三角形，∴AO＝AH＝AB，∴∠HOB＝90°，∴OH=3OB＝23∵PH≤OH+OP，∴PH≤23+∴當(dāng)P、O、H共線時，PH最大，PH的最大值為23+∴AC的最大值為12（23+2）故答案為：3+12．如圖，點A、B、C均在坐標軸上，AO＝BO＝CO＝1，過A、O、C作⊙D，E是⊙D上任意一點，連結(jié)CE，BE，則CE2+BE2的最大值是6．【分析】連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），利用90°的圓周角所對的弦是直徑可得，AC是⊙D的直徑，再利用平面直角坐標系中的兩點間距離公式求出CE2+BE2＝2（x2+y2）+2，OE2＝x2+y2，可得當(dāng)OE為⊙D的直徑時，OE最大，CE2+BE2的值最大，然后進行計算即可解答．【解答】解：連接AC，OD，DE，設(shè)E（x，y），∵∠AOC＝90°，∴AC是⊙D的直徑，∵AO＝BO＝CO＝1，∴A（0，1），C（1，0），B（﹣1，0），∴AC=2CE2＝（x﹣1）2+y2，BE2＝（x+1）2+y2，∴CE2+BE2＝（x﹣1）2+y2+（x+1）2+y2＝2（x2+y2）+2，∵OE2＝x2+y2，∴當(dāng)OE為⊙D的直徑時，OE最大，CE2+BE2的值最大，∴OE2＝AC2＝（2）2＝2，∴CE2+BE2的最大值＝2×2+2＝6，故答案為：6．13．如圖，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是線段BC上的一點，以C為圓心，CD為半徑的半圓交AC邊于點E，交BC的延長線于點F，射線BE交EF于點G，則BE?EG的最大值為32．【分析】如圖，過點C作CH⊥EG于點H．利用相似三角形的性質(zhì)證明EB?EG＝2AE?EC，設(shè)EC＝x，在Rt△ABC中，AC=BC2?AB2=102?62【解答】解：如圖，過點C作CH⊥EG于點H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴△ABE∽△HCE，∴AEEH∴BE?EH＝AE?EC，∴BE?2EH＝2?AE?EC，∴EB?EG＝2AE?EC，設(shè)EC＝x，在Rt△ABC中，AC=B∴EB?EG＝2x?（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4時，BE?EG的值最大，最大值為32，故答案為：32．三．解答題（共6小題）14．如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點，過點P作PC⊥l，垂足為點C，PC與⊙O交于點D，連接PA，PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4）．（1）當(dāng)x＝3時，求弦PA，PB的長度；（2）用含有x的代數(shù)式表示PD?CD，并求出當(dāng)x為何值時，PD?CD的值最大？最大值是多少？【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥l，則AB∥PC，所以∠CPA＝∠PAB，再根據(jù)AB為⊙O的直徑得到∠APB＝90°，則可判斷△PCA∽△APB，利用相似比可計算出AP，然后利用勾股定理可計算出PB；（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，根據(jù)垂徑定理得到PE＝ED，易得四邊形OECA為矩形，則CE＝OA＝2，所以PE＝ED＝x﹣2，接著表示出PD和CD，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解．【解答】解：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，AB為⊙O的直徑，∴AB⊥l，又∵PC⊥l，∴AB∥PC，∴∠CPA＝∠PAB，∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠PCA＝∠APB，∴△PCA∽△APB，∴PC：AP＝AP：AB，∵PC＝x＝3，∴3：AP＝AP：4，∴AP＝23，在Rt△APB中，PB=AB（2）如圖，過O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE＝ED，在矩形OECA中，CE＝OA＝2，∴PE＝ED＝x﹣2，∴CD＝PC﹣PD＝x﹣2（x﹣2）＝4﹣x，∴PD?PC＝2（x﹣2）?（4﹣x）＝﹣2x2+12x﹣16＝﹣2（x﹣3）2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x＝3時，PD?CD的值最大，最大值為2．15．如圖，直線l：y=43x+b與y軸交于點A，與x軸交于點B（﹣6，0），點C是線段OA上一動點（0＜AC＜325）．以點A為圓心，AC長為半徑作⊙A交線段AB于另一點D，連接OD并延長交⊙（1）求△OAB的面積；（2）若∠ACD＝∠AOD+∠OAD，求點D的坐標；（3）若點C在線段OA上運動時，求OD?DE的最大值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再求出點A坐標即可求解；（2）利用輔助線DH，先證明△OCD∽△ODA，利用圓的半徑從而得出OD，OC，OA的關(guān)系，即可求解；（3）利用勾股定理求出AB，再利用輔助線OG證明△DEF∽△DGO，最后利用半徑r表示OD，DE，DF和DG的關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）∵直線l：y=43x+b與x軸交于點∴將（﹣6，0）代入，得：43×（﹣6）+∴b＝8，∴y=43當(dāng)x＝0時，y＝8，∴A（0，8），∴S△OAB=12×OA×（2）如圖，過點D作DH⊥OA于點H，∵∠ACD＝∠AOD+∠OAD，∠ACD＝∠AOD+∠ODC，∴∠OAD＝∠ODC，∴△OCD∽△ODA，∴OCOD∴OD2＝OC?OA，設(shè)AH＝4m，DH＝3m，則：AH＝AD＝5m，∴OH＝OA﹣AH＝8﹣4m，OC＝8﹣5m，∴D（﹣3m，8﹣4m），∴OD2＝OH2+DH2＝（8﹣4m）2+（3m）2，∵OD2＝OC?OA，∴（8﹣4m）2+（3m）2＝（8﹣5m）?8，解得：m=24∴D（?7225，（3）如圖，過點O作OG⊥AB于點G，AB交⊙A于點D，F(xiàn)，連接EF，∵OB＝6，OA＝8，∴AB=O∵AGOA∴AG=O設(shè)AC＝AD＝r，則：DG=325∵DF為直徑，∴DF＝2r，∠DEF＝90°，∴△DEF∽△DGO，∴ODDF∴OD?DE＝DF?DG＝2r?（325?r）＝﹣2r2+645r＝﹣2（r?當(dāng)r=165時，OD?最大值為5122516．如圖，半圓O的直徑AB＝4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在AQ上且不與A點重合，但Q點可與B點重合．（1）計算：劣弧PQ的長；（2）思考：點M與AB的最大距離為3，此時點P，A間的距離為2；點M與AB的最小距離為32（3）探究：當(dāng)半圓M與AB相切時，求AP的長．（注：結(jié)果保留π，cos35°=63，cos55°=【分析】（1）連接OP，OQ，得△OPQ為等邊三角形，根據(jù)圓心角的度數(shù)求出弧長即可；（2）過點M作MC⊥AB于點C，當(dāng)C點與O點重合時，M與AB的距離最大，當(dāng)Q點與B點重合時，M與AB的距離最小，分別求出所需數(shù)據(jù)即可；（3）當(dāng)半圓M與AB相切時，此時MC＝1，且分以下兩種情況討論，當(dāng)C點在線段OA上和C點在OB上，分別計算出AP即可．【解答】解：（1）連接OP，OQ，∵AB＝4，∴OP＝OQ＝2，∵PQ＝2，∴△OPQ是等邊三角形，∴∠POQ＝60°，∴PQ=60°π×2（2）過點M作MC⊥AB于點C，連接OM，AP，由C點的位置可知，當(dāng)C點與O點重合時點M與AB的距離最大，如圖：此時AP＝2，PM＝1，OM=A∵OM⊥AB，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等邊三角形，∴AP＝2，由C點的位置可知，當(dāng)Q點與B點重合時，M與AB的距離最小，如圖：∵∠OBP＝60°，BM＝1，∴MC＝BM?sin60°=3故答案為：3，2，32（3）當(dāng)半圓M與AB相切時，此時MC＝1，且分以下兩種情況討論：①當(dāng)C點在線段OA上時，在Rt△OCM中，由勾股定理得，OC=O∴cos∠AOM=OC∴∠AOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝∠AOM﹣∠POM＝35°﹣30°＝5°，∴AP=當(dāng)點C在線段OB上時，此時∠BOM＝35°，∵∠POM＝30°，∴∠AOP＝180°﹣∠POM﹣∠BOM＝115°，∴AP=綜上，當(dāng)半圓M與AB相切時，AP的長為π18或2317．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0）．（1）對于坐標平面內(nèi)的一點P，給出如下定義：如果∠APB＝45°，那么稱點P為線段AB的“完美點”．①設(shè)A、B、P三點所在圓的圓心為C，則點C的坐標是（4，3）或（4，﹣3），⊙C的半徑是32；②y軸正半軸上是否有線段AB的“完美點”？如果有，求出“完美點”的坐標；如果沒有，請說明理由；（2）若點P在y軸負半軸上運動，則當(dāng)∠APB的度數(shù)最大時，點P的坐標為（0，?7）【分析】（1）①過點C作CD⊥AB于點D，利用圓周角定理和垂徑定理計算CD，AD的長度，進而得到線段OD的長度即可得到點C坐標；利用勾股定理即可求得AC的長度，則⊙C的半徑可求；②設(shè)⊙C交y軸于點D，E，連接CD，CE，過點C作CG⊥CD于點G，CF⊥AB于點F，利用（1）①的結(jié)論和垂徑定理計算線段EG的長度，則線段OE，OD的長度可求，結(jié)論可得；（2）設(shè)⊙C與y軸切于點P，在y軸上任取一點Q（與點P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點D，連接AD，利用圓周角定理和三角形的外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角，得到當(dāng)點P為⊙C與y軸的切點時，當(dāng)∠APB的度數(shù)最大，利用切割線定理求出線段OP的長即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）①∵點A與點B的坐標分別是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．過點C作CD⊥AB于點D，如圖，則AD＝BD=12∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD=12∴C（4，3）．同理：根據(jù)對稱性，在第四象限也存在符合條件的點（4，﹣3）．∴AC=A∴⊙C的半徑是32．故答案為：（4，3）或（4，﹣3）；32；②y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，理由：設(shè)⊙C交y軸于點D，E，連接CD，CE，過點C作CG⊥CD于點G，CF⊥AB于點F，如圖，則∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E為y軸正半軸上線段AB的“完美點”．則EG＝DG=12DE，CD＝CE＝3∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四邊形OFCG為矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG=C∴GE＝DG=2∴OE＝OG﹣GE＝3?2，OD＝OG+DG＝3+∴E（0，3?2），D（0，3+∴y軸正半軸上有線段AB的“完美點”，“完美點”的坐標為（0，3+2）或（0，3?（2）設(shè)⊙C與y軸負半軸切于點P，在y軸負半軸上任取一點Q（與點P不重合），連接BQ，AQ，BQ與⊙C交于點D，連接AD，如圖，則∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴當(dāng)P運動到⊙C與y軸相切時，∠APB的度數(shù)最大．連接PC并延長交⊙C于點E，連接AE，如圖，∵OP是⊙C的切線，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE為⊙C的直徑，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴OAOP∴OP2＝OA?OB．∴OP=OA?OB∴P（0，?7解法二：過點C′作C′H⊥AB于點H，如圖，∵C′（4，﹣3），∴C′P＝C′A＝4，AH＝3，∴C′H=4∴OP＝C′H=7∴P（0，?7故答案為（0，?718．如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點F是線段CD延長線上的一點，連結(jié)FA交⊙O于點G，連結(jié)CG交AH于點P，連結(jié)CA．（1）求證：∠ACG＝∠F．（2）如圖②，若CA＝CG，求證：AG＝CD．（3）如圖③，連結(jié)DG，AE＝8．BE＝2．①若tan∠F=34，求②求AG?DG的最大值．【分析】（1）連接BG，利用垂徑定理和圓周角定理解答即可；（2）連接AD，利用垂徑定理和在同圓或等圓中等弦對等弧，等弧對等弦解答即可；（3）①過點P作PH⊥AC于點H，連接BC，OC，利用勾股定理和直角三角形的邊角關(guān)系求得tan∠CAE=CEAE=12；設(shè)PH＝3k，則CH②利用AG?DG與△ADG的面積的關(guān)系，當(dāng)△ADG的面積取最大值時，AG?DG最大；利用△ADG的面積的值解答即可求得結(jié)論．【解答】（1）證明：連接BG，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AGB＝90°．∴∠ABG+∠BAG＝90°．∵弦CD⊥AB于點E，∴∠F+∠BAG＝90°．∴∠ABG＝∠F．∵∠A