2025高考一輪復習（人教A版）第20講空間幾何體的結構特征、表面積與體積（含答案）

2025高考一輪復習（人教A版）第二十講空間幾何體的結構特征、表面積與體積閱卷人一、選擇題得分1．若圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，則該圓錐的表面積為（）A．2π B．3π C．23π 2．底面相同的圓柱和圓錐有相等的側面積，且圓柱的高恰好是其底面的直徑，則圓柱與圓錐的體積之比為（）A．2 B．32 C．155 3．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，還有兩個面是全等的等腰三角形，若AB=15m，BC=6m，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面與平面ABCD的夾角均為45°，則該五面體的體積為（）A．126m3 B．117m3 C．4．已知△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，Q是邊BC上的動點．若PA⊥平面ABC，PA=2，且PQ與面ABC所成角的正弦值的最大值為63，則三棱錐A．4π B．6π C．8π D．9π5．已知三棱錐P?ABC的所有頂點都在表面積為283π的球的球面上，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=2，則直線PC與A．26 B．24 C．366．有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形（如圖所示）.∠ABC=45A．2+2 B．23 C．2+7．三棱錐P?ABC，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=1A．3π B．2π C．3π D．8．如圖，在三棱錐V?ABC中，VA=VB=VC=8，∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°，過點A作截面AEF，則△AEF周長的最小值為（）A．62 B．63 C．82閱卷人二、多項選擇題得分9．如圖，三棱臺ABC?A1B1CA．AB1B．平面BMC1C．三棱臺ABC?A1D．若點P在側面ABB1A110．已知正方體ABCD?AA．直線B1C與直線BB．直線B1C與平面ACC．四面體D1?AD．點A到平面D1B11．如圖，若正方體ABCD?EFGH的棱長為1，點M是正方體的側面ADHE上的一個動點（含邊界），P是棱CG上靠近G點的三等分點，則下列結論正確的有（）A．沿正方體的表面從點A到點P的最短路程為34B．若PM⊥BH，點M的運動軌跡是線段C．若PM=133，則點M在側面D．當點M與點D重合時，三棱錐B?MEP的體積最大12．已知圓錐的頂點為P,AB為底面圓O的直徑，∠APB=120°,PA=2，點C在圓O上，點G為AC的中點，PGA．該圓錐的側面積為3B．該圓錐的休積為πC．AC=D．該圓錐內(nèi)部半徑最大的球的表面積為12閱卷人三、填空題得分13．在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，AB=4，PC=PD=3，∠PCA=45°，則四棱錐P?ABCD的體積為．14．已知圓錐SO（O是底面圓的圓心，S是圓錐的頂點）的母線長為5，高為1，P、Q為底面圓周上任意兩點.有以下三個結論：①三角形SPQ面積的最大值為2；②三棱錐O?SPQ體積的最大值為2③四面體SOPQ外接球表面積的最小值為9π.以上正確的結論是.15．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱得到如圖所示的幾何體，截面上的點到圓柱底面距離的最大值為4，最小值為2，則該幾何體的體積為閱卷人四、解答題得分16．在幾何體ABCDEFGH中，底面ABCD是邊長為6的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均為正三角形，且它們所在的平面都與平面ABCD垂直.P是線段GF上的動點，F(xiàn)P=λ（1）若λ=13，求三棱錐（2）若平面AEH⊥平面BEP，求λ的值.17．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=22，PA=1，AB⊥BC，E、F分別為PD，BC（1）求直線EF到平面PAB的距離；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是13？若存在，求出DM（3）在平面PBC內(nèi)是否存在點H，滿足HD?18．已知圓錐的頂點為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）若圓錐的側面積為8π，求圓錐的體積；（2）設PO=4,OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°,M是線段AB的中點，如圖．求直線PM與平面POB所成的角的大?。?9．已知O為坐標原點，圓O：x2+y2=1，直線l：y=x+m（0≤m<1），如圖，直線l與圓O相交于A（A在x軸的上方），B兩點，圓O與x軸交于M,N兩點（M在N的左側），將平面xOy沿x軸折疊，使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面AMN）與y軸負半軸和x軸所確定的半平面（平面BMN）互相垂直，再以O為坐標原點，折疊后原y軸負半軸，原x軸正半軸，原y軸正半軸所在直線分別為x（1）若m=0．（ⅰ）求三棱錐A?BMN的體積；（ⅱ）求二面角A?BN?M的余弦值．（2）是否存在m，使得AB折疊后的長度與折疊前的長度之比為306？若存在，求m

答案解析部分1．【答案】B2．【答案】D【解析】【解答】解：由題意，令圓錐的高為d，底面圓的半徑為r，則圓柱的高h=2r，所以，根據(jù)側面積相等有2πrh=πrd2+綜上所述，圓柱體積V1=πr所以V1故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件和圓柱、圓錐的側面積公式，從而列方程求出圓錐的高與半徑的關系，再利用圓錐的體積公式、圓柱的體積公式，從而得出圓柱與圓錐的體積比.3．【答案】B4．【答案】B5．【答案】B6．【答案】C7．【答案】A8．【答案】C9．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、令BC1∩B1C=O，連接MO，由B1C1//BC，而MO?平面BC1M，AB1?平面B、由CC1⊥平面ABC，AB?平面ABC，得CCC1∩BC=C,CC1,BC?平面BCC1B使得BN=12NC，則AMMC=BNNC即點M在平面BCC1B1上的投影為線段BC上靠近點B較近的3等分點N，又點則過點M與平面BCC1B1垂直的直線不在平面BMC1內(nèi)，因此平面C、依題意，∠A1B三棱臺ABC?A1BD、由選項B知，AB⊥平面BCC1B1，而AB?平面ABB過C作CH⊥BB1于H，平面ABB1A1∩在直角梯形BCC1B1中，sin∠CBB1=CC1BB1=25因此P點軌跡是以H為圓心，55為半徑的圓在側面ABB1A1內(nèi)圓弧，故答案為：ACD.【分析】令BC1∩B1C=O，利用線面平行的判定推理即可判斷A；求出點10．【答案】A,C【解析】【解答】解：以D為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則D0,0,0，A1,0,0，C0,1,0，DA、易知B1C=因為B1C?即B1C⊥AD1，直線B1B、在正方形ABCD中，AC⊥BD，又因為BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥B1D?平面BB1DAC∩AD1=A，所以B1D⊥平面AC因為B1C=即直線B1C與平面ACD則直線B1C與平面ACDC、圖形為正方體去掉四個全等的直棱錐，所以四面體D1?ABD、因為AD1=?1,0,1，平面D1B1故n?D1B1=x+y=0n?D所以點A到平面D1B1故答案為：AC.【分析】以D為原點，建立空間直角坐標系，利用坐標求B1C與直線AD1所成的角即可判斷A；證明出B1D⊥平面ACD1，所以平面ACD11．【答案】A,B,D12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由已知可得，∠DPO1=60°，PA=2，

易得等腰三角形PAB對于A，因為該圓錐的側面積為π×3對于B，因為該圓錐的體積為V=1對于C，如圖，取AC中點為G，連接GO,PG，

則∠PGO為PG與底面所成角為60°，故GO=3對于D，當球與圓錐內(nèi)切時，表面積最大，此時球心在圓錐的高上，設球心為O1，球的半徑為r，過O1向PB作垂線，垂足為D，則OD=r，

又因為∠DPO1=60°所以球的表面積為4π[故答案為：BCD.【分析】利用已知條件和等腰三角形的結構特征以及圓錐的側面積公式，則判斷出選項A；利用圓錐的側面積公式，則判斷出選項B；取AC中點為G，連接GO,PG，從而得出∠PGO為PG與底面所成角，再結合弦長公式得出AC的長，則判斷出選項C；利用∠DPO1=13．【答案】32【解析】【解答】解：由題意，設E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，連接EF，AO，

過點P作PO⊥EF，垂足為O，點O在EF上，如圖所示：

因為PC=PD=3，所以PF⊥CD，底面ABCD為正方形，

所以EF//AB，AB⊥CD，所以EF⊥CD，PF∩EF=F,PF,EF?平面PEF，CD⊥平面PEF，PO?平面PEF，CD⊥PO,PO⊥EF,EF∩CD=F,EF,CD?平面ABCD，PO⊥平面ABCD，設OF=x，因為AB=4，PC=PD=3，所以PF=PPO2=PF2在△PAC中，由余弦定理可得：AP2=AC2+PC2?2AC?PCcos∠PCA=17，

即?8x+25=17，解得x=1故答案為：323【分析】設E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，連接EF，AO，過點P作PO⊥EF，構造三角形結合余弦定理得出PO=2，再根據(jù)四棱錐體積公式計算即可．14．【答案】②15．【答案】3π16．【答案】（1）解：將幾何體ABCDEFGH補成如圖所示的長方體，由題意可得EH=A'E則四邊形EFGH是邊長為32S△EFP三棱錐B?EFP的體積V=1（2）解：以D為坐標原點，DA，DC，DD'的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖所示：

則A6,0,0，B6,6,0，E6,3,33，F(xiàn)EA→=0,?3,?33，EH→由FP=λFG=(?3λ,?3λ,0)，λ∈0,1，知設平面AEH的一個法向量為m=x1,y1,z1，

設平面BEP的一個法向量為n=x2,y2,z2，

因為平面AEH⊥平面BEP，所以m?n=0，則?【解析】【分析】(1)由題意，根據(jù)錐體體積公式直接求解即可；(2)以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用空間向量運算，根據(jù)面面垂直則法向量數(shù)量積為零的求解即可.（1）將幾何體ABCDEFGH補成如圖所示的長方體.由題意可得EH=A'E則四邊形EFGH是邊長為32S△EFP三棱錐B?EFP的體積V=1（2）以D為坐標原點，DA，DC，DD'的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.A6,0,0，B6,6,