2023屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第3講-空間直線、平面的平行

第3講空間直線、平面的平行考向預(yù)測(cè)核心素養(yǎng)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)是高考中的重點(diǎn)考查內(nèi)容，涉及線線平行、線面平行、面面平行的判定及其應(yīng)用等內(nèi)容．解題要求有較強(qiáng)的推理論證能力，廣泛應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想．直觀想象、邏輯推理[學(xué)生用書P182]一、知識(shí)梳理1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行?線面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥a,a?α,l?α))?l∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α,l?β,α∩β＝b))?l∥b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥β,b∥β,a∩b＝P,a?α,b?α))?α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b[提醒]三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化常用結(jié)論1．平行關(guān)系中的三個(gè)重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.(2)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.2．平行關(guān)系有關(guān)的性質(zhì)(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等．(2)兩條直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．(3)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成角相等．二、教材衍化1．(人A必修第二冊(cè)P143習(xí)題8.5T1(1)改編)如果直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條直線不相交C．無(wú)數(shù)條直線不相交D．任意一條直線都不相交解析：選D.因?yàn)橹本€a∥平面α，直線a與平面α無(wú)公共點(diǎn)，因此a和平面α內(nèi)的任意一條直線都不相交．2．(人A必修第二冊(cè)P142練習(xí)T2改編)平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線a，a∥α，a∥βB．存在一條直線a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α解析：選D.若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故排除C.3.(人A必修第二冊(cè)P138例3改編)如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為_(kāi)_______．解析：因?yàn)槠矫鍭BFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理EH∥FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．答案：平行四邊形一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α.()(2)若直線l在平面α外，則l∥α.()(3)若直線l∥b，直線b?α，則l∥α.()(4)若直線l∥b，直線b?α，那么直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√二、易錯(cuò)糾偏1．(線面平行的概念理解不清致誤)已知M是兩條異面直線a，b外一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)M且與直線a，b都平行的平面()A．有且只有一個(gè) B.有兩個(gè)C．沒(méi)有或只有一個(gè) D.有無(wú)數(shù)個(gè)解析：選C.過(guò)點(diǎn)M作直線a′∥a，過(guò)點(diǎn)M作直線b′∥b，則直線a′，b′確定平面α.當(dāng)a，b都不在由a′，b′確定的平面α內(nèi)時(shí)，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面有且只有一個(gè)；當(dāng)a?α或b?α?xí)r，過(guò)點(diǎn)M且與a，b都平行的平面不存在．2.(多選)(判斷平行關(guān)系條件不明致誤)如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是()A．OM∥PD B.OM∥平面PCDC．OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA解析：選ABC.對(duì)于A，由于O為BD的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，則OM∥PD，故正確；對(duì)于B，由于OM∥PD，OM?平面PCD，PD?平面PCD，則OM∥平面PCD，故正確；對(duì)于C，由于OM∥PD，OM?平面PAD，PD?平面PAD，則OM∥平面PAD，故正確；對(duì)于D，由于M∈平面PAB，故錯(cuò)誤．故選ABC.3．(線面平行性質(zhì)不清致誤)在三棱柱ABC-A′B′C′中，截面A′B′C與平面ABC交于直線a，則直線a與直線A′B′的位置關(guān)系為_(kāi)_______．解析：在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′B′∥AB，AB?平面ABC，A′B′?平面ABC，所以A′B′∥平面ABC.又A′B′?平面A′B′C，平面A′B′C∩平面ABC＝a，所以A′B′∥a.答案：平行4.(面面平行性質(zhì)不清致誤)如圖，平面α∥平面β，△PAB所在的平面與α，β分別交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，則AB＝________．解析：由結(jié)論知eq\f(PC,PA)＝eq\f(CD,AB)，所以AB＝eq\f(PA×CD,PC)＝eq\f(5×1,2)＝eq\f(5,2).答案：eq\f(5,2)[學(xué)生用書P183])考點(diǎn)一線面平行的判定與性質(zhì)(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：以立體幾何的定義和基本事實(shí)為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中直線與平面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．角度1直線與平面平行的判定如圖所示，正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE，BD上各有一點(diǎn)P，Q，且AP＝DQ，求證：PQ∥平面BCE.【證明】方法一：如圖所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，連接MN，因?yàn)檎叫蜛BCD和正方形ABEF有公共邊AB，所以AE＝BD，又AP＝DQ，所以PE＝QB，又PM∥AB∥QN，所以eq\f(PM,AB)＝eq\f(PE,AE)＝eq\f(QB,BD)＝eq\f(QN,DC)，所以eq\f(PM,AB)＝eq\f(QN,DC)，又AB綉DC，所以PM綉QN，所以四邊形PMNQ為平行四邊形，所以PQ∥MN，又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，所以PQ∥平面BCE.方法二：如圖，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PM∥BE交AB于點(diǎn)M，連接QM，則PM∥平面BCE，因?yàn)镻M∥BE，所以eq\f(AP,PE)＝eq\f(AM,MB)，又AE＝BD，AP＝DQ，所以PE＝BQ，所以eq\f(AP,PE)＝eq\f(DQ,BQ)，所以eq\f(AM,MB)＝eq\f(DQ,QB)，所以MQ∥AD，又AD∥BC，所以MQ∥BC，所以MQ∥平面BCE，又PM∩MQ＝M，所以平面PMQ∥平面BCE，又PQ?平面PMQ，所以PQ∥平面BCE.證明線面平行有兩種常用方法一是線面平行的判定定理；二是先利用面面平行的判定定理證明面面平行，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)證明線面平行．角度2直線與平面平行的性質(zhì)四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和PA作平面PAHG交平面BMD于GH.求證：PA∥GH.【證明】如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM.又MO?平面BMD，PA?平面BMD，所以PA∥平面BMD.又因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BMD＝GH，且PA?平面PAHG，所以PA∥GH.在應(yīng)用線面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)化時(shí)，一定要注意定理成立的條件，如：把線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí)，必須說(shuō)清經(jīng)過(guò)已知直線的平面和已知平面相交，這時(shí)才有直線與交線平行．|跟蹤訓(xùn)練|如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，M是線段EF的中點(diǎn)．(1)求證：AM∥平面BDE；(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，試分析l與m的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．解：(1)證明：如圖，記AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OE.因?yàn)镺，M分別是AC，EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF是矩形，所以四邊形AOEM是平行四邊形，所以AM∥OE.又因?yàn)镺E?平面BDE，AM?平面BDE，所以AM∥平面BDE.(2)l∥m，證明如下：由(1)知AM∥平面BDE，又AM?平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，所以l∥AM，同理，AM∥平面BDE，又AM?平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，所以m∥AM，所以l∥m.考點(diǎn)二面面平行的判定與性質(zhì)(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：以立體幾何的定義和基本事實(shí)為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中平面與平面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.【證明】(1)因?yàn)镚，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH∥B1C1，又B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又因?yàn)镚，E分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，AB＝A1B1，所以A1G綉EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB.因?yàn)锳1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因?yàn)锳1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG.1．在本例條件下，若D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.證明：如圖所示，連接HD，A1B，BC1，因?yàn)镈為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，所以HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，所以HD∥平面A1B1BA.2．在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，因?yàn)樗倪呅蜛1ACC1是平行四邊形，所以M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以A1B∥DM.因?yàn)锳1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，所以DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綉B(tài)D，所以四邊形BDC1D1為平行四邊形，所以DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，所以DC1∥平面A1BD1，又因?yàn)镈C1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，所以平面A1BD1∥平面AC1D.|跟蹤訓(xùn)練|(多選)(2022·菏澤市東明一中月考)已知平面α∥平面β，P是α，β外一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的兩條直線AC，BD分別交α于A，B，交β于C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，則CD的長(zhǎng)為()A．20 B.16C.12 D.4解析：選AD.因?yàn)檫^(guò)P點(diǎn)的兩條直線AC，BD確定的平面分別交α于A，B，交β于C，D，且平面α∥平面β，所以可得AB∥CD，分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在兩平行平面之外時(shí)，eq\f(PA,PC)＝eq\f(AB,CD)，則CD＝20；當(dāng)點(diǎn)P在兩平行平面之間時(shí)，得PC＝AC－AP＝3，eq\f(AP,PC)＝eq\f(AB,CD)，則CD＝4.故選AD.考點(diǎn)三平行關(guān)系中的探索性問(wèn)題(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：能運(yùn)用基本事實(shí)、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)單命題．如圖，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)．(1)當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時(shí)，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．【解】(1)如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1∥BC1.又因?yàn)镺D1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以當(dāng)eq\f(A1D1,D1C1)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.(2)因?yàn)槠矫鍮C1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，所以BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.因?yàn)閑q\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，又因?yàn)閑q\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.解決探索性問(wèn)題的方法(1)根據(jù)探索性問(wèn)題的設(shè)問(wèn)，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)．(2)按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使……成立”“只需使……成立”．|跟蹤訓(xùn)練|如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分別為對(duì)角線BD，CD1上的點(diǎn)，且eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3).(1)求證：PQ∥平面A1D1DA；(2)若R是AB上的點(diǎn)，eq\f(AR,AB)的值為多少時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA？請(qǐng)給出證明．解：(1)證明：連接CP并延長(zhǎng)與DA的延長(zhǎng)線交于M點(diǎn)，如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以eq\f(CP,PM)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，又因?yàn)閑q\f(CQ,QD1)＝eq\f(BP,PD)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(CQ,QD1)＝eq\f(CP,PM)＝eq\f(2,3)，所以PQ∥MD1.又MD1?平面A1D1DA，PQ?平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.(2)當(dāng)eq\f(AR,AB)的值為eq\f(3,5)時(shí)，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如圖，證明如下：因?yàn)閑q\f(AR,AB)＝eq\f(3,5)，即eq\f(BR,RA)＝eq\f(2,3)，故eq\f(BR,RA)＝eq\f(BP,PD).所以PR∥DA.又DA?平面A1D1DA，PR?平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA，又PQ∩PR＝P，PQ∥平面A1D1DA.所以平面PQR∥平面A1D1DA.[學(xué)生用書P424(單獨(dú)成冊(cè))][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α解析：選D.A中，a，b可以在同一平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線也可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知b∥α，正確．2．(2022·濟(jì)南模擬)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面 B.平行C．相交 D.以上均有可能解析：選B.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1.因?yàn)锳B?平面ABC，A1B1?平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因?yàn)檫^(guò)A1B1的平面與平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.3.如圖，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能解析：選B.由題意得，因?yàn)镸N?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得，MN∥PA.4．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A．0條 B.1條C．2條 D.1條或2條解析：選C.如圖所示，平面α即平面EFGH，則四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.因?yàn)镋F?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD.又因?yàn)镋F?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD.又EF?平面EFGH，CD?平面EFGH.所以CD∥平面EFGH，同理，AB∥平面EFGH，所以與平面α(平面EFGH)平行的棱有2條．5．(多選)(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)下列四個(gè)命題中正確的是()A．如果一條直線不在某個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就與這個(gè)平面平行B．過(guò)直線外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行C．過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行D．過(guò)空間一點(diǎn)必存在某個(gè)平面與兩條異面直線都平行解析：選BC.A.如果一條直線不在某個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線就與這個(gè)平面平行或相交，故A錯(cuò)誤；B.過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，過(guò)這條直線有無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知直線平行，故B正確；C.過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，且這無(wú)數(shù)條直線在同一平面內(nèi)，故C正確；D.過(guò)空間一點(diǎn)不一定存在某個(gè)平面與兩條異面直線都平行，當(dāng)此點(diǎn)在其中一條直線上時(shí)平面最多只能與另一條直線平行，故D錯(cuò)誤．6．在下面給出的條件中，若條件足夠推出a∥α，則在橫線上填“OK”；若條件不能保證推出a∥α，則請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)足條件：(1)條件：a∥b，b∥c，c?α，________，結(jié)論：a∥α；(2)條件：α∩β＝b，a∥b，a?β，________，結(jié)論：a∥α.解析：(1)因?yàn)閍∥b，b∥c，c?α，所以由直線與平面平行的判定定理得，當(dāng)a?α?xí)r，a∥α.(2)因?yàn)棣痢搔拢絙，a∥b，a?β，則由直線與平面平行的判定定理得a∥α.答案：(1)a?α(2)OK7.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)等于________．解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以點(diǎn)F為DC的中點(diǎn)．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)8．(2022·西北師大附中高三模擬)設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題．①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________．(填序號(hào))解析：由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)m∥γ，n∥β時(shí)，n和m可能平行或異面，②錯(cuò)誤；當(dāng)n∥β，m?γ時(shí)，n和m在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn)，所以m∥n，③正確．答案：①或③9.在如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于平面A′B′C′D′.(1)要經(jīng)過(guò)平面A′B′C′D′內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi)，應(yīng)怎樣畫線？(2)所畫的線與平面ABCD是什么位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．解：(1)如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作B′C′的平行線，交A′B′，C′D′于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE，CF.(2)EF∥平面ABCD.理由如下：因?yàn)锽C∥平面A′B′C′D′，又因?yàn)槠矫鍮′C′CB∩平面A′B′C′D′＝B′C′，所以BC∥B′C′，因?yàn)镋F∥B′C′，所以EF∥BC，又因?yàn)镋F?平面ABCD，BC?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD.10.(2022·銀川長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)模擬)如圖，在四棱錐S-ABCD中，∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝DC＝SA＝eq\f(1,2)BC＝2，點(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，F(xiàn)為棱BC上一點(diǎn)，且CF＝1.證明：平面SCD∥平面EFG.證明：因?yàn)辄c(diǎn)E，G分別在線段SA，AD上，且SE＝AE，AG＝GD，故EG∥SD，又EG?平面SCD，SD?平面SCD，故EG∥平面SCD；因?yàn)椤螦DC＝∠BCD＝90°，故AD∥BC，因?yàn)镚D＝FC＝1，故四邊形GDCF為平行四邊形，故GF∥CD；又GF?平面SCD，CD?平面SCD，故GF∥平面SCD，因?yàn)镚F?平面EFG，EG?平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面SCD∥平面EFG.[B綜合應(yīng)用]11．(2022·重慶聯(lián)考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別在線段DB，DD1上，且eq\f(DE,EB)＝eq\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，則eq\f(CG,CC1)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,4)解析：選B.如圖所示，延長(zhǎng)AE交CD于H，連接FH，則△DEH∽△BEA，所以eq\f(DH,AB)＝eq\f(DE,EB)＝eq\f(1,2).因?yàn)槠矫鍭EF∥平面BD1G，平面AEF∩平面CDD1C1＝FH，平面BD1G∩平面CDD1C1＝D1G，所以FH∥D1G.又四邊形CDD1C1是平行四邊形，所以△DFH∽△C1GD1，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(DH,C1D1)，因?yàn)閑q\f(DH,C1D1)＝eq\f(DH,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(DF,C1G)＝eq\f(1,2)，因?yàn)閑q\f(DF,FD1)＝eq\f(1,2)，所以FD1＝C1G，DF＝CG，所以eq\f(CG,CC1)＝eq\f(1,3)，故選B.12．(多選)如圖，在透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD-A1B1C1D1內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊AB于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜程度的不同，有下面幾個(gè)結(jié)論，其中正確的是()A．沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形B．水面EFGH所在四邊形的面積為定值C．隨著容器傾斜程度的不同，A1C1始終與水面所在平面平行D．當(dāng)容器傾斜如圖(3)所示時(shí)，AE·AH為定值解析：選AD.根據(jù)棱柱的特征并結(jié)合題中圖形易知A正確．由題圖可知水面EFGH的邊EF的長(zhǎng)保持不變，但鄰邊的長(zhǎng)卻隨傾斜程度而改變，可知B錯(cuò)誤．因?yàn)锳1C1∥AC，AC?平面ABCD，A1C1?平面ABCD，所以A1C1∥平面ABCD，當(dāng)平面EFGH不平行于平面ABCD時(shí)，A1C1不平行于水面所在平面，故C錯(cuò)誤．當(dāng)容器傾斜如題圖(3)所示時(shí)，因?yàn)樗捏w積是不變的，所以棱柱AEH-BFG的體積V為定值，又V＝S△AEH·AB，高AB不變，所以S△AEH也不變，即AE·AH為定值，故D正確．13．在三棱錐P-ABC中，PB＝6，AC＝3，G為△PAC的重心，過(guò)點(diǎn)G作三棱錐的一個(gè)截面，使截面平行于PB和AC，則截面的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)G作EF∥AC，分別交PA，PC于點(diǎn)E，F(xiàn)，過(guò)點(diǎn)E作EN∥PB交AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)F作FM∥PB交BC于點(diǎn)M，連接MN，則四邊形EFMN是平行四邊形(平面EFMN為所求截面)，且EF＝MN＝eq\f(2,3)AC＝2，F(xiàn)M＝EN＝eq\f(1,3)PB＝2，所以截面的周長(zhǎng)為2×4＝8.答案：814．在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則點(diǎn)Q滿足條件________時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.解析：如圖所示，設(shè)Q為CC1的中點(diǎn)，因?yàn)镻為DD1的中點(diǎn)，所以QB∥PA.連接DB，因?yàn)镻，O分別是DD1，DB的中點(diǎn)，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，PO?平面PAO，PA?平面PAO，PO∩PA＝P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，有平面D1BQ∥平面PAO.答案：Q為CC1的中點(diǎn)[C素養(yǎng)提升]15.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA＝PB＝AB＝2，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，則λ＝________，ED與AF相交于點(diǎn)H，則GH