激光束傳輸與變換-第八講

激光束傳輸與變換第八講第三章高斯光束的傳輸與變換研究基礎(chǔ)：以幾何光學(xué)近似為基礎(chǔ)，認(rèn)為用作變換的每一個(gè)光學(xué)元件的通光孔徑起碼要符合有效通光孔徑的要求。研究方法：幾何光學(xué)分析法：適合于光學(xué)元件或簡(jiǎn)單光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和計(jì)算；光線矩陣法：適合于復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)；由于高斯光束與球面波有許多類似之處，因此，在研究高斯光束的傳輸與變換時(shí)采用了與球面波相比較的方法。本章內(nèi)容§3.1高斯光束的傳輸§3.2高斯光束的成像變換§3.3薄透鏡對(duì)高斯光束的變換§3.4望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)對(duì)高斯光束的變換§3.5偏心高斯光束的變換本講內(nèi)容§3.1高斯光束的傳輸§3.2高斯光束的成像變換§3.1高斯光束的傳輸本節(jié)討論高斯光束在自由空間或在均勻介質(zhì)中的傳輸規(guī)律.本節(jié)內(nèi)容1.球面波的傳輸2.高斯光束的傳輸3.高斯光束變換的ABCD定律4.高階模高斯光束變換的ABCD定律1.球面波的傳輸一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)波源所發(fā)出的平面波與空間變量有關(guān)的相位部分為如果考慮離開波源較遠(yuǎn)處球面的一部分，上式可寫成式中R是球面波波前的曲率半徑.(3.1.1)(3.1.2)1.球面波的傳輸它與傳播距離z的關(guān)系為

R=z (3.1.3)

因此，一旦知道了球面波沿z軸方向某個(gè)位置上的曲率半徑R1，就可以求出距這個(gè)位置為

z處的曲率半徑R2。

R2=R1+

z (3.1.4)2.高斯光束的傳輸參照§1.4,基模高斯光束的空間部分為式中q(z)是稱為高斯光束的復(fù)參數(shù)或復(fù)曲率半徑(3.1.5)(3.1.6)2.高斯光束的傳輸由q參數(shù)的定義可知:復(fù)參數(shù)q將高斯光束中的R(z)、

(z)和z聯(lián)系起來(lái)。而高斯光束由這三個(gè)參數(shù)中的任意兩個(gè)即可確定。因此，高斯光束可由復(fù)參數(shù)q確定。2.高斯光束的傳輸在高斯光束的傳輸過(guò)程中，曲率半徑和光斑的變化規(guī)律分別為(3.1.8)2.高斯光束的傳輸將(3.1.8)式與(3.1.3)式比較，可以看到，高斯光束波前曲率半徑的傳輸規(guī)律與球面波曲率半徑的傳輸規(guī)律有很大差別。1)當(dāng)高斯光束從束腰向外傳播時(shí)，波前的曲率半徑從無(wú)窮大迅速變小，通過(guò)一個(gè)極小值2z0，又逐漸變大，最后以表征球面波曲率半徑變化的直線為漸近線趨于無(wú)窮大。2.高斯光束的傳輸2)僅當(dāng)z0/z<<1時(shí)，高斯光束波面曲率半徑的變化才可當(dāng)作球面波來(lái)處理。3)光斑隨傳播距離的變化是以一個(gè)旋轉(zhuǎn)雙曲面為界的。2.高斯光束的傳輸從(3.1.8)式可求得這說(shuō)明在任意一個(gè)位置上光斑的面積與該位置上波面的曲率半徑之比與這個(gè)位置到束腰的距離z成正比。(3.1.9)2.高斯光束的傳輸根據(jù)(3.1.8)式只要測(cè)出某個(gè)位置z波面的曲率半徑R和該位置的光斑半徑

，就可以確定束腰位置和腰斑半徑。高斯光束波面的曲率半徑在傳播過(guò)程中與球面波的曲率半徑所遵從的規(guī)律是不同的。但是，高斯光束的復(fù)曲率半徑在傳播過(guò)程中與球面波的曲率半徑所遵從的規(guī)律卻是相同的。2.高斯光束的傳輸假定z1處的復(fù)曲率半徑為q1，z2處的復(fù)曲率半徑為q2，根據(jù)(3.1.6)式，則有

q2=z2+q0=(z1+q0)+(z2-z1)=q1+

z(3.1.11)

z是z1與z2之間的距離。與(3.1.4)式相比，可以看出高斯光束的復(fù)曲率半徑與球面波的曲率半徑遵從相同的傳播規(guī)律。3.高斯光束變換的ABCD定律設(shè)基模高斯光束在光學(xué)系統(tǒng)RP1處的q參數(shù)用q1表示，RP2處的q參數(shù)用q2表示，RP1－RP2組成的光學(xué)系統(tǒng)變換矩陣為3.高斯光束變換的ABCD定律經(jīng)過(guò)該光學(xué)系統(tǒng)變換后的高斯光束復(fù)參數(shù)滿足以下關(guān)系式：上式可改寫為以上兩個(gè)式子稱為高斯光束變換的ABCD定律3.高斯光束變換的ABCD定律為了證明ABCD定律，考慮在入射面(RP1)上的一個(gè)一維高斯分布場(chǎng)式中y1是RP1處的一維橫坐標(biāo),q1為入射高斯光束的復(fù)參數(shù).3.高斯光束變換的ABCD定律該光束在穿過(guò)變換矩陣為ABCD的光學(xué)系統(tǒng)后,根據(jù)Collins積分公式,出射面(RP2)處的場(chǎng)分布E2(y2)為式中L(y1,y2)是在RP1以y1入射,而在RP2以y2出射的光線在該系統(tǒng)內(nèi)的光程.3.高斯光束變換的ABCD定律由于幾何相移不影響結(jié)論的正確性,在上式中未計(jì)入幾何相移.對(duì)上式進(jìn)行積分并利用AD-BC=1,最后可得到3.高斯光束變換的ABCD定律將上式寫成與E1(y1)類似的形式3.高斯光束變換的ABCD定律將上述結(jié)果推廣到二維情況,得到上述結(jié)果說(shuō)明:高斯光束經(jīng)光學(xué)系統(tǒng)變換后仍然保持高斯光束分布的特性,而其q參數(shù)的變換滿足ABCD定律.3.高斯光束變換的ABCD定律下面對(duì)常見的幾種情況進(jìn)行討論1)在均勻介質(zhì)中傳播距離為z的變換矩陣為因此,出射高斯光束復(fù)參數(shù)q2與入射復(fù)參數(shù)q1之間的關(guān)系為這與(3.1.11)完全相同.3.高斯光束變換的ABCD定律2)焦距為f的薄透鏡的變換矩陣為經(jīng)薄透鏡變換后的出射高斯光束復(fù)參數(shù)q2與入射復(fù)參數(shù)q1之間的關(guān)系為3.高斯光束變換的ABCD定律若兩個(gè)參考平面處為同一介質(zhì),則可得到下列兩個(gè)關(guān)系式3.高斯光束變換的ABCD定律ABCD定律的意義不僅在于能夠解決簡(jiǎn)單系統(tǒng)的高斯光束傳播和變換問(wèn)題,而且,更重要的是可以大大簡(jiǎn)化復(fù)雜光學(xué)系統(tǒng)的計(jì)算.當(dāng)高斯光束穿過(guò)m個(gè)光學(xué)元件時(shí),可以直接計(jì)算m個(gè)光學(xué)元件的變換矩陣,而不必計(jì)算出中間光學(xué)元件上的高斯光束的參數(shù).3.高斯光束變換的ABCD定律3)利用ABCD定律研究高斯光闌的變換矩陣.高斯光闌的光場(chǎng)透過(guò)率函數(shù)t0,

是常數(shù).3.高斯光束變換的ABCD定律對(duì)于空間反演對(duì)稱的光學(xué)元件,可假設(shè)

A=D=1由于AD-BC=1可假設(shè)B=03.高斯光束變換的ABCD定律在光闌的前表面(RP1),入射場(chǎng)振幅具有高斯函數(shù)分布在透過(guò)光闌后,其后表面(RP2)上出射光場(chǎng)振幅分布應(yīng)為3.高斯光束變換的ABCD定律設(shè)等效半徑為

2,則根據(jù)ABCD定律3.高斯光束變換的ABCD定律由于R1=R2,C為虛數(shù)因此,具有高斯分布透過(guò)率的光闌,其變換矩陣為3.高斯光束變換的ABCD定律4)利用ABCD定律研究相位共軛鏡的變換矩陣如果入射在相位共軛鏡上的高斯光束為則從相位共軛鏡反射的光束為3.高斯光束變換的ABCD定律入射高斯光束的復(fù)參數(shù)為反射高斯光束的復(fù)參數(shù)為或者3.高斯光束變換的ABCD定律A.通常情況下：對(duì)于空間反演對(duì)稱的光學(xué)元件,可假設(shè)

A=D=1由于AD-BC=1可假設(shè)B=03.高斯光束變換的ABCD定律3.高斯光束變換的ABCD定律B.如果ABCD定律寫為3.高斯光束變換的ABCD定律由可得顯然當(dāng)B＝C＝0，A/D=-1時(shí)可滿足上述情況。因此可假設(shè)A＝1，則D＝－1。3.高斯光束變換的ABCD定律3.高斯光束變換的ABCD定律變換矩陣式中l(wèi)=l2-l15)通過(guò)折射率為n介質(zhì)長(zhǎng)度為l的介質(zhì)前后高斯光束參數(shù)之間的關(guān)系3.高斯光束變換的ABCD定律假設(shè)介質(zhì)前后表面處空氣一側(cè)的高斯參數(shù)分布表示為3.高斯光束變換的ABCD定律根據(jù)ABCD定律可得到3.高斯光束變換的ABCD定律當(dāng)高斯光束經(jīng)過(guò)有限長(zhǎng)度介質(zhì)后,相當(dāng)于從原光腰發(fā)出,在空氣中傳播了(l2-l1)/n一段距離后,從l2處繼續(xù)傳播,其遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角沒(méi)有改變.試求入射面處介質(zhì)內(nèi)外兩側(cè)高斯光束參數(shù)之間的關(guān)系。4.高階模高斯光束變換的ABCD定律假設(shè)基模高斯光束的束腰半徑為

0,而高階模高斯光束在x方向的束腰半徑為0m;兩束光的傳輸軸線方向一致,且束腰位于軸線上的同一點(diǎn)(z=0)處.根據(jù)高階模高斯光束的M2因子與基模高斯光束半徑(z)、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角0及高階模高斯光束半徑m(z)、遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角m之間的關(guān)系:(z)=m(z)/Mx

0=m/Mx4.高階模高斯光束變換的ABCD定律借助于基模高斯光束的變換公式

2(z)=02+02z2可以寫出高階模高斯光束相應(yīng)的關(guān)系式

m2(z)=0m2+0m2z2假設(shè)在x方向上高階模高斯光束的q參數(shù)用qm(z)表示,等相位面曲率半徑用Rm表示,且令4.高階模高斯光束變換的ABCD定律用qm1以及qm2表示通過(guò)元素為ABCD變換矩陣的光學(xué)系統(tǒng)前后的qm參數(shù),根據(jù)Collins積分公式,可以證明因此,根據(jù)高階模高斯光束q參數(shù)的定義式及ABCD定律,完全可以與基模高斯光束一樣,解決光束的傳輸與變換問(wèn)題.§3.2高斯光束的成像變換通過(guò)ABCD定律對(duì)兩個(gè)參考平面上的基模高斯光束參數(shù)之間的變換關(guān)系,特別是成像變換,作一個(gè)詳細(xì)討論.本節(jié)內(nèi)容1.高斯光束成像關(guān)系2.高斯光束成像變換的三種可能性3.高斯光束與幾何光學(xué)成像之間的聯(lián)系1.高斯光束成像關(guān)系假設(shè)兩個(gè)參考面上的高斯光束參數(shù)用q1和q2表示,而兩個(gè)平面間(RP1-RP2)的光學(xué)變換矩陣為根據(jù)ABCD定律及1.高斯光束成像關(guān)系可求得高斯光束變換前后參數(shù)之間的關(guān)系:1.高斯光束成像關(guān)系首先考慮高斯光束成像關(guān)系.把高斯光束入射光腰—出射光腰之間的變換,看成物—像變換.那么,高斯光束的成像問(wèn)題就是研究入射面RP1上q1參數(shù)滿足:的條件下,系統(tǒng)的變換滿足什么條件,才能在光學(xué)系統(tǒng)出射面RP2上獲得另一個(gè)光腰1.高斯光束成像關(guān)系將上述條件代入到R1與R2的關(guān)系式中,可得到這就是成像光學(xué)系統(tǒng)所應(yīng)滿足的條件.它不僅與光學(xué)系統(tǒng)的變換矩陣元素有關(guān),而且還與入射高斯光束的共焦參數(shù)有關(guān),這與幾何光學(xué)成像明顯不同.1.高斯光束成像關(guān)系按照幾何光學(xué)的定義,也可以定義高斯光束的式中

01、02分別為入射、出射高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角。1.高斯光束成像關(guān)系容易證明n1、n2分別為RP1和RP2處的折射率。上式為對(duì)應(yīng)于經(jīng)典光學(xué)的拉格朗日－亥姆霍茲不變式。2.高斯光束成像變換的三種可能性具體而言，在光學(xué)系統(tǒng)變換滿足

AD－BC＝1時(shí)，高斯光束變換有以下三種可能：1.B=C=02.A=D=03.沒(méi)有矩陣元素為零的情況2.高斯光束成像變換的三種可能性1.B=C=02.高斯光束成像變換的三種可能性2.A=D=02.高斯光束成像變換的三種可能性3.沒(méi)有矩陣元素為零的情況3.高斯光束與幾何光學(xué)成像之間的聯(lián)系上述幾種情況所揭示的是高斯光束成像與幾何光學(xué)成像之間的聯(lián)系.對(duì)于滿足B=C=0的光學(xué)系統(tǒng):在幾何光學(xué)中B=0對(duì)應(yīng)著物--像共軛變換,C=0對(duì)應(yīng)著望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的變換;而對(duì)于高斯光束的成像變換,光腰是光斑的極小值,可將光腰看成”物點(diǎn)”或“像點(diǎn)”,光腰處等相位面為平面,“光線”之間相互平行,這又與C=0的條件對(duì)應(yīng).3.高斯光束與幾何光學(xué)成像之間的聯(lián)系對(duì)于滿足條件A=D=0的光學(xué)系統(tǒng):在幾何光學(xué)中,其參考平面是兩個(gè)焦點(diǎn)所在平面,也就是說(shuō),從一個(gè)參考面上同一點(diǎn)發(fā)出的光線,在另一個(gè)參考面處成為平行光束;顯然這種意義上的變換對(duì)于高斯光束也是成立的:從一個(gè)參