《機械制圖與CAD》課件-第2章

第2章投影法及點、直線、平面的投影2.1投影法基本知識2.2點的投影2.3直線的投影2.4平面的投影 2.1投影法基本知識

2.1.1投影法

如圖2－1（a）所示，物體在光線的照射下，會在地面或墻面上產(chǎn)生影子。將這一自然現(xiàn)象進行幾何抽象便得到了投影法，如圖2－1（b），其中，a稱為空間點A在投影面P上的投影，S稱為投影中心，平面P稱為投影面，SA為投影線。這種按幾何法將空間物體表示在平面上的方法稱為投影法。圖2－1投影法（a）投影現(xiàn)象；（b）投影方法

2.1.2投影法分類

投影法分為兩類：中心投影法和平行投影法。

1.中心投影法

當投影中心距離投影面有限遠，所有投影線都匯交于一點（即投影中心）時，這種投影法稱為中心投影法，如圖2－2（a）所示。圖2－2投影法的分類

(a)中心投影法；(b)斜投影法；(c)正投影法

2.平行投影法

當投影中心S距離投影面無窮遠時，所有投影線相互平行，這種投影法稱為平行投影法。

根據(jù)投影線與投影面P的傾角不同，平行投影法又分為斜投影法和正投影法。投影線不垂直于投影面的平行投影法稱為斜投影法，如圖2－2（b）所示。投影線垂直于投影面的平行投影法稱為正投影法，如圖2－2（c）所示。2.1.3投影的基本性質(zhì)

無論是平行投影法，還是中心投影法，均具有如下4種基本性質(zhì)。

1.同素性

如圖2－3所示，在一般情況下，點、直線的投影仍為點、直線，該性質(zhì)被稱為同素性。

2.從屬性

空間點在直線上，其投影仍在該直線的同面投影上，該性質(zhì)被稱為從屬性，如圖2－2所示。

3.積聚性

當直線或平面與投射方向平行時，其投影分別積聚為一個點或一條直線，該性質(zhì)被稱為積聚性。如圖2－4所示，直線AB積聚成一點a（b），△CDE積聚成一條直線cde。圖2－3投影的同素性圖2－4投影的積聚性

4.類似性

與投射方向不平行的任何平面圖形，其投影與原圖形類似，該性質(zhì)被稱為類似性。如圖2－5所示，三角形的投影仍為三角形，四邊形的投影還是四邊形。圖2－5投影的類似性

1.實形性

平行于投影面的直線、平面，其投影反映該直線的實長或平面的實形，如圖2－6所示。

2.定比性

點分直線之比等于點的投影分直線的同面投影之比。如圖2－7所示，AC∶CB=ac∶cb。

3.平行性

當空間兩直線平行時，它們的同面投影也平行，且兩直線的投影之比等于其長度之比。如圖2－8所示，AB∥CD，則ab∥cd，且AB∶CD=ab∶cd。圖2－6平行投影的實形性圖2－7平行投影的定比性圖2－8平行投影的平行性2.1.4工程中常用的圖示方法

1.透視圖

如圖2－9所示，透視圖是根據(jù)中心投影法繪制的圖樣。透視圖立體感強，常用于繪制建筑物和機電產(chǎn)品的效果圖，在方案設(shè)計、項目審批或招、投標時使用。但這種圖樣尺規(guī)作圖復(fù)雜，度量性差。圖2－9透視圖

(a)透視圖的形成;(b)建筑物的透視圖

2.軸測圖

如圖2－10所示，軸測圖是根據(jù)平行投影法繪制的具有一定立體感的圖樣。軸測圖的真實感、逼真性不如透視圖，但作圖比透視圖簡單，度量性較好，常作為一種輔助性圖樣。圖2－10軸測圖

（a）軸測圖的形成;（b）軸測圖

3.正投影圖

正投影圖是根據(jù)正投影法將物體向幾個投影面投射后所得到的圖形。正投影圖能準確地表達物體的形狀和大小，作圖簡單，主要應(yīng)用于機械圖樣的表達。但其缺點是直觀性差，需要經(jīng)過專門的學(xué)習訓(xùn)練才可以掌握。正投影圖是我們本書重點學(xué)習的內(nèi)容。

為敘述方便，本書后面將“正投影法”簡稱為“投影法”，將“正投影”簡稱為“投影”。 2.2點的投影

2.2.1點在兩投影面體系中的投影

1.兩投影面體系

如圖2－12所示，設(shè)立兩個相互垂直的投影面即可建立兩投影面體系。通常情況下一個投影面水平放置，稱為水平投影面H（簡稱H面），另一個投影面正對著觀察者放置，稱為正立投影面（簡稱V面）。兩投影面的交線OX稱為投影軸。兩個投影面將空間分成四個部分，稱為四個分角，它們的排列順序如圖2－12所示。

我國國家標準《技術(shù)制圖》、《機械制圖》規(guī)定將機件放在第一分角中進行投影，即采用第一分角，國際上也有采用第三分角的。

圖2－11點的投影圖2－12兩投影面體系

2.點的兩面投影

如圖2－13（a）所示，將空間點A置于第一分角中，過點A分別向V面和H面作垂線，得到垂足點a′和a，它們分別稱為點A的正面投影和水平投影。在投影法中規(guī)定，空間點用大寫的英文字母表示，投影用相應(yīng)的小寫字母表示，并用上角標來區(qū)分不同投影面上的投影。

在圖2－13（a）中，如果移去點A，則過水平投影a作H面的垂線aA，過正面投影a′作V面的垂線a′A，必將交于點A。由此可知，根據(jù)空間一點的兩面投影即可唯一確定該點的空間位置。圖2－13點在兩投影面體系的投影

3.兩投影面體系的展開

由圖2－13（a）可知，點A的兩面投影a和a′分別位于相互垂直的兩個平面上，而實際作圖時是將點的兩個投影表示在同一個平面上。為此，規(guī)定保持V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)至與V面重合，如圖2－13（b）所示。因為平面是無限的，在實際畫圖時，不必畫出投影面的邊框，如圖2－13（c）所示的就是點A的投影圖。2.2.2點在三投影面體系中的投影

1.三投影面體系的建立

三投影面體系是在兩投影面體系的基礎(chǔ)上，增加一個與H面和V面都垂直的側(cè)立投影面W（簡稱W面）。H面、V面和W面兩兩相互垂直，構(gòu)成了如圖2－14（a）所示的三投影面體系。其中，V面與H面的交線稱為OX軸，H面與W面的交線稱為OY軸，V面與W面的交線稱為OZ軸。三投影軸垂直相交于點O，該點稱為投影原點。三個投影面將空間分為八個分角，其排列順序如圖2－14(a)所示。圖2－14三投影面體系

2.點的三面投影

如圖2－14（b）所示，設(shè)空間點A位于三投影面體系的第一分角中，由點A分別向V、H、W面作垂線Aa′、Aa和Aa″，其垂足a′、a和a″即為空間點A在三個投影面中的投影，其中a″為點A在W面上的投影，稱為側(cè)面投影。

類似兩面投影，將三投影面展開，如圖2－15（a）所示，規(guī)定保持V面不動，將H面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)到與V面重合，同時，將W面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)到與V面重合，這樣得到點的三面投影圖,如圖2－15（b）所示。圖2－15點的三面投影2.2.3點的三面投影與點的直角坐標的關(guān)系

由圖2－16可以看出，如果將三投影面體系看作是笛卡爾直角坐標系，則投影原點對應(yīng)于坐標系原點，投影軸對應(yīng)于坐標軸，這樣空間點的位置可以用坐標（x，y，z）表示，它分別表示了空間點A到W、V和H投影面的距離。即

點A到W面的距離Aa″=aaY=a′aZ=aXO=x；

點A到V面的距離Aa′=aaX=a″aZ=aYO=y；

點A到H面的距離Aa=a′aX=a″aY=aZO=z。圖2－16點的投影與直角坐標的關(guān)系

空間點A的位置可由它的坐標（x，y，z）唯一確定，點A的三面投影（a′，a，a″）與其坐標之間有如下關(guān)系：

水平投影a可由x，y兩坐標確定，即a（x，y）；

正面投影a′可由x，z兩坐標確定，即a′（x，z）；

側(cè)面投影a″可由y，z兩坐標確定，即a″（y，z）。

每個投影面都可看作坐標面，每個坐標面都是由兩個坐標軸決定的，所以空間點在任意一個投影面上的投影，只能反映其兩個坐標，而任意兩個投影面上的投影即可確定點的空間位置。也就是說，若已知點的任意兩個投影，則必能作出點的第三投影。2.2.4空間點的相對位置

1.空間兩點的相對位置

空間兩點的相對位置是指兩點的上下、左右和前后關(guān)系。在投影圖中根據(jù)兩點的各個同面投影（即在同一投影面上的投影）之間的坐標關(guān)系，即可判斷出空間兩點的相對位置。因為在投影圖中，空間兩點的相對位置是由它們的各個同面投影所反映出的坐標差來確 定的。

沿OX方向區(qū)分左右關(guān)系，X坐標大者為左，反之為右；沿OY方向區(qū)分前后關(guān)系，Y坐標大者為前，反之為后；沿OZ方向區(qū)分上下關(guān)系，Z坐標大者為上，反之為下。由此可知，圖2－17中的點A與點B的空間位置：點A在點B的左（xa>xb）、前（ya>yb）、下（zb>za）方，而點B則在點A的右、后、上方。圖2－17空間兩點的位置關(guān)系

2．重影點及其可見性

如圖2－18所示，點E和點F的x和z坐標相同，而y坐標不同，由于點E的y坐標大，可知點E位于點F的正前方，即點E和點F位于同一條對V面的投影線上，它們的正面投影重合在一起，故點E和點F稱為對V面的重影點。由此可知，一對有兩個坐標分別相同的點必然有一組同面投影重合。比如點C和D的x、y坐標相同，z坐標不同，它們的水平投影重合，稱為對H面的重影點。圖2－18重影點及其可見性

由于重影點有一面投影重合，在空間必有一點遮住了另一點，比如點E和點F為對V面的重影點，如沿V面投射線方向觀察，點E的y坐標大于點F的y坐標，所以點E遮住了點F，即點E的正面投影可見，點F的正面投影不可見，但其水平投影均可見。被遮的點一般要在同面投影符號上加圓括號，以區(qū)別其可見性，如（f′）。

【例2－1】已知點A（15，16，12），求作點A的三面投影。

解由于點A的三個坐標值已知，且均為正值，可以確定點A在第一分角內(nèi)，其作圖步驟如下：

（1）先畫出投影軸并加以標記，再自原點O沿OX軸向左量取x=15,得點aX,如圖2－19（a）所示；

（2）過aX作OX軸的垂線，由aX沿垂線向下（即OYH方向）量取y=16，得到水平投影a，沿OZ方向向上量取12得到正面投影a′，如圖2－19（b）所示。（3）由a′向OZ軸作垂線，垂足為點aZ，再由aZ沿此垂線向右量取y=16,得到側(cè)面投影a″。也可以由點的投影規(guī)律作出側(cè)面投影a″，其過程為：過水平投影a作OX軸的平行線，交OYH軸于點aYH，再以點O為圓心，以O(shè)aYH為半徑畫圓弧交OYW軸于點aYW，然后過點aYW作OYW軸的垂線并與a’aZ的延長線相交，交點即為點A的側(cè)面投影a″，如圖2－19（c）所示。圖2－19求作點的三面投影【例2－2】如圖2－20（a）所示，已知點A的正面投影a′和側(cè)面投影a″，求其水平投影a。

（1）由點a′作垂直于OX軸的直線，點A的水平投影a一定在此直線上。

（2）由點a″作OYW的垂線，垂足為點aYW，再以原點O為圓心，以O(shè)aYW為半徑畫圓弧,與OYH軸交于aYH，然后由點aYH作X軸的平行線。

（3）求出前面所作兩條直線的交點，即為所求的水平投影a。圖2－20求點的第三投影解

【例2－3】畫出點的立體圖（如圖2－21所示）。圖2-21求點的第三投影 2.3直線的投影

2.3.1直線的投影作圖

兩點可以唯一確定一條直線，因此繪制直線的三面投影，就是作出直線上任意兩點的三面投影，然后用直線連接兩點的同面投影，即為該直線的三面投影，如圖2－22所示。圖2－22直線的投影2.3.2各種位置直線的投影特性

直線對投影面的相對位置有3種：

(1)投影面垂直線：垂直于某一投影面，同時與另外兩個投影面平行的直線，如圖2－22（a）中的直線BC（⊥V面）。

（2）投影面平行線：平行于某一投影面，且與另兩個投影面傾斜的直線，如圖2－22（a）[JP]的直線BD（∥H面）。

（3）一般位置直線：與三個投影面都傾斜的直線，如圖2－22（a）的直線AB、AC。圖2－23直線與投影面的傾角

1．投影面垂直線

投影面垂直線分為3類：垂直于水平面H的直線稱為鉛垂線；垂直于正立面V的直線稱為正垂線；垂直于側(cè)立面W的直線稱為側(cè)垂線。

現(xiàn)以圖2－24（a）所示物體上的鉛垂線AB為例，分析其投影特性。

（1）水平投影：由于直線AB垂直于H面，A、B兩點在H面上的投影重合，即AB直線上各點的水平投影重合在一點上，所以直線AB的水平投影積聚為一點。

（2）正面投影：由于直線AB垂直于H面，故必垂直于OX軸和OY軸，同時必平行于V面和W面，所以其正面投影垂直于OX軸，即a′b′⊥OX，并且a′b′反映AB實長，即a′b′=AB。（3）側(cè)面投影：由上所述，a″b″⊥OYW，a″b″=AB。

直線與各投影面的夾角分別為α=90°，β=γ=0°。圖2－24鉛垂線的投影表2－1正垂線、側(cè)垂線的投影特性

2.投影面的平行線

投影面平行線分為三類：平行于水平投影面H的直線稱為水平線；平行于正立投影面V的直線稱為正平線；平行于側(cè)立投影面W的直線稱為側(cè)平線。

現(xiàn)以圖2－25所示物體上的水平線AB為例，討論其投影特性。

（1）水平投影：由于水平線平行于水平投影面H，如圖2－25（b）所示，四邊形ABba為一矩形，因此水平線的水平投影反映了該直線的實際長度，即ab=AB。同時ab與OX軸和OYH軸的夾角反映了空間直線AB相對于V面和W面的傾角β和γ。水平線對H面的傾角α為0°。（2）正面投影和側(cè)面投影：由于水平線上各點的z坐標都相等，其正面投影a′b′和側(cè)面投影a″b″上各點的z坐標也相等，因而水平線的正面投影a′b′平行于OX軸，側(cè)面投影a″b″平行于OYW軸。圖2－25水平線的投影

3．一般位置直線

與三個投影面中的任一投影面既不平行也不垂直的直線被稱為一般位置直線，如圖2－26所示。

由圖2－26可知，直線AB在各投影面上的投影長度分別為ab=ABcosα，a′b′=ABcosβ，a″b″=ABcosγ，因α、β和γ均不等于零，故可得出一般位置直線的投影特性：

(1)一般位置直線的三面投影均傾斜于投影軸，且均小于該直線對應(yīng)的實際長度。

(2)一般位置直線的三面投影與相應(yīng)投影軸的夾角不能反映出空間該直線對各投影面的傾角α、β和γ。圖2－26一般位置直線由一般位置直線的實長及對投影面的傾角，可以通過下面的直角三角形法求得。

圖2－27(a)所示為一般位置直線AB，其水平投影為ab，與水平投影面H的傾角為α。在垂直于H面的平面ABba上，過點B作直線BA1∥ab，則△AA1B為一直角三角形。在該直角三角形上可以看出，直角邊A1B=ab，即等于直線AB的水平投影；另一直角邊AA1=zA-zB，即等于直線AB兩端點的z坐標之差；斜邊AB即為直線AB的實長，且∠ABA1=α，即等于直線AB對H面的傾角。圖2－27求一般位置直線的實長和傾角α的直角三角形法2.3.3兩直線的相對位置及其投影特性

1.兩直線平行

從平行投影的基本性質(zhì)可知，若空間兩直線平行，則其同面投影必平行，且兩直線同面投影長度之比等于兩直線實長之比。反之，若兩直線的各同面投影平行，且各同面投影長度之比等于兩直線實長之比，則兩直線在空間平行。

如圖2－28所示，空間兩直線AB∥CD，則ab∥cd、a′b′∥c′d′、a″b″∥c″d″，且AB∶CD=ab∶cd=a′b′∶c′d′=a″b″∶c″d″。圖2－28平行兩直線的投影

【例2－4】如圖2－29（a）所示，判斷直線AB和CD是否平行。

分析由于AB和CD為兩條特殊位置直線（側(cè)平線），因此不可能僅通過其在H、V兩面的投影進行判斷，一種方法可通過作出其第三面投影進行判斷。

解分別作出AB、CD在W面的投影a″b″、c″d″。如圖2－29（b）所示，顯然a″b″、c″d″不平行，故AB與CD兩直線在空間不平行。圖2－29判斷兩直線是否平行

2.兩直線相交

如圖2－30所示，直線AB與CD相交于K點，由于交點K為兩直線的共有點，因此在投影圖中a′b′與c′d′、ab和cd也一定相交，而且它們的交點K的投影k′與k必然符合投影規(guī)律。因此可以得出：如果空間兩直線相交，則它們的同面投影必相交，且兩直線的各同面投影交點符合投影規(guī)律。圖2－30直線與直線相交

【例2－5】如圖2－31（a）所示，判斷直線AB、CD是否相交。

由于直線AB是側(cè)平線，故不能只看在H、V面投影，必須作出直線AB和CD的側(cè)面投影進行判斷。如圖2－31（b）所示，雖然它們的W面投影也相交，但其交點不符合投影規(guī)律，故兩直線AB與CD空間不相交。另外，也可運用點在直線上的定比性來進行判斷（可不作出側(cè)面投影）：由于a′k′∶k′b′≠ak∶kb，故K點不是直線AB與CD的公共點，所以直線AB與直線CD不相交。圖2－31判斷兩直線是否相交解

【例2－6】如圖2－32（a）所示，過A點作直線AF使與直線BC、ED都相交。

因直線BC為鉛垂線，其水平投影積聚為一點，故直線AF與直線BC交點的水平投影必在直線BC的水平投影b（c）上，因此AF的水平投影必通過b（c）。

解（1）過a、b（c）作直線與ed相交于f點。

（2）過f點作OX軸垂線，與e′d′相交于f′點。

（3）連接a′f′與b′c′并相交于k′點，在b（c）處標出k，則af、a′f′即為所求。圖2－32過一點作直線與另兩直線相交分析

3.兩直線交叉

既不相交也不平行的兩直線稱為交叉兩直線。

如圖2－33所示的兩直線，其投影既不符合平行兩直線的投影特性，也不符合相交兩直線的投影特性。交叉兩直線有時可能有一組或兩組同面投影平行，但兩直線的其余投影必不平行，如圖2－29、2－33（a）所示；交叉兩直線還可能有三個投影面的同面投影都相交，如圖2－33（b）所示，但交點必定不符合投影規(guī)律，投影交點是兩直線對投影面的重影點。利用重影點可以方便判斷兩直線的空間相對位置。圖2－33交叉兩直線

4.兩直線垂直（直角投影定理）

如圖2－34（a）所示，AB、BC兩直線垂直相交，其中BC為一般位置直線，AB為水平線。因為AB垂直于平面BCcb，又ab平行于AB，所以ab垂直于平面BCcb，故ab垂直bc。其投影圖如圖2－34（b）、（c）所示。

由以上討論可以得出：如果兩直線垂直（垂直交叉或者垂直相交），其中一條直線是某投影面的平行線，則兩直線在該投影面上的投影垂直。反之，如果兩直線的投影在某個投影面上垂直，其中一條直線是該投影面的平行線，則兩直線在空間垂直。這種投影特性稱之為直角投影定理。圖2－34垂直兩直線

(a)兩直線垂直相交；(b)垂直相交兩直線投影圖；

(c)垂直交叉兩直線投影圖

【例2－7】如圖2－35（a）所示，求點C到水平線AB的距離。

分析求點到直線的距離，即過該點作直線的垂線求得交點（垂足）即可。由于直線AB是水平線，根據(jù)直角投影定理，在水平投影面上反映直角，即可作垂線求得交點（垂足）的相應(yīng)投影，再根據(jù)直角三角形法，求得實長。

解（1）過c作cd⊥ab得交點d，由d作出正面投影d′;

（2）連接c′和d′，則c′d′、cd即為垂線CD的兩面投影；

（3）用直角三角形法求得C與直線AB之間的真實距離cD。圖2－35求點到直線的距離

2.4平面的投影

2.4.1平面的表示法

1.幾何元素表示法

由初等幾何可知，下列任意一組幾何元素均可確定一空間平面，在投影圖上，可以用其中任意一組幾何元素的投影來表示平面：

(1)不在同一條直線上的三點(圖2－36(a))；

(2)一直線和直線外一點(圖2－36(b))；

(3)兩條相交直線(圖2－36(c))；

(4)兩條平行直線(圖2－36(d))；

(5)任意的平面圖形（即平面的有限部分，如平面上的三角形、圓或其他封閉圖形）(圖2－36(e))。

圖2－36平面的幾何元素表示法用這些幾何元素表示的平面，雖然表示形式不同，但卻能表示空間同一平面，它們之間是可以相互轉(zhuǎn)換的，例如用直線連接圖2－36（a）中的A、B兩點，即可得到圖2－36（b）；若進一步連接A、C兩點，便可轉(zhuǎn)變?yōu)閳D2－36（c）；若過圖2－36（b）中的點C作直線CD平行于AB，則又可轉(zhuǎn)變?yōu)閳D2－36（d）。因此可以用上述任意一組幾何元素的投影表示平面的投影。圖2－37用跡線表示的平面

2.跡線表示法

平面與投影面的交線稱為平面的跡線。如圖2－37所示，平面P與H面的交線稱為水平跡線，用PH表示；平面P與V面的交線稱為正面跡線，用PV表示；平面P與W面的交線稱為側(cè)面跡線，用PW表示。平面與投影軸的交點，即兩條跡線的交點稱為跡線的集合點。如PH和PV交于OX軸上的點PX，PH和PW交于OY軸上的點PY，PV和PW交于OZ軸上的點PZ。由于跡線既在投影面上，又在空間平面上，所以跡線的一個投影必與其自身重合，另兩個投影與相應(yīng)的投影軸重合。用跡線表示平面時，通常只畫出與跡線本身重合的那個投影，其余兩投影省略不畫，如圖2－37(b)所示。

為敘述方便，將用幾何元素表示的平面稱為非跡線平面，用跡線表示的平面稱為跡線平面。實質(zhì)上后者可以認為是前者的特殊情況。如圖2－37（a）所示的平面P是一個三邊位于不同投影面上的平面三角形。2.4.2各種位置平面的投影特性

1．投影面平行面

根據(jù)所平行的投影面不同，投影面平行面可分為三類：平行于水平投影面H的平面，稱為水平面；平行于正立投影面V的平面，稱為正平面；平行于側(cè)立投影面W的平面，稱為側(cè)平面。

現(xiàn)以水平面為例，分析其投影特性，如圖2－38所示。圖2－38水平面的投影（1）水平投影：因水平面平行于水平投影面，故水平投影反映了該平面的實形。用跡線表示時，水平面無水平跡線。

（2）正面投影和側(cè)面投影：正面投影和側(cè)面投影均積聚為直線，分別平行于OX軸和OYW軸。用跡線表示時，該水平面的正面跡線PV∥OX，側(cè)面跡線PW∥OYW。

因為水平面同時垂直于V面和W面，故它對三個投影面的夾角分別為：α=0°,β=90°,γ=90°。表2－3投影面平行面的投影特性

2.投影面垂直面

投影面垂直面根據(jù)垂直的投影面不同，可分為三種：垂直于H面的平面，稱為鉛垂面；垂直于V面的平面，稱為正垂面；垂直于W面的平面，稱為側(cè)垂面。

現(xiàn)以鉛垂面為例，分析其投影特性，如圖2－39所示。圖2－39鉛垂面的投影（1）水平投影：由于鉛垂面垂直于H面，所以其水平投影積聚為一條直線，即平面內(nèi)所有的點和線的水平投影均在此直線上。該直線與OX軸及OYH軸的夾角分別反映了平面與V面和W面的夾角β及γ。鉛垂面的水平跡線與平面的積聚性投影重合，對OX軸及OYH軸都傾斜。

（2）正面投影和側(cè)面投影：鉛垂面的正面投影和側(cè)面投影均是平面圖形的類似形。鉛垂面的正面跡線和側(cè)面跡線分別垂直于OX軸及OYW軸。表2－4正垂面、側(cè)垂面的投影特性

3．一般位置平面

一般位置平面相對于三個投影面都是傾斜的，如圖2－40（a）所示，它的三面投影既不反映平面的實形，又無積聚性，而是平面的類似圖形，同時各投影也不反映該平面相對于各投影面的傾角α、β和γ，如圖2－40（b）所示。當用跡線表示時，它的三條跡線都與投影軸傾斜，如圖2－40（c）所示。圖2－40一般位置平面的投影2.4.3平面上的點和直線

1.在平面上取點、直線

根據(jù)初等幾何知識可知，點在平面上的幾何條件是：點在該平面的任意一條直線上。因此在平面上取點，一般情況下先在平面上作一條輔助直線，然后在直線上取點。

直線在平面上的幾何條件是：

（1）直線通過平面上兩已知點；

（2）過平面上一點作平面上一條直線的平行線，則此直線必在該平面上。圖2－41平面上取直線（兩點法）

【例2－8】如圖2－42，已知△ABC的兩面投影，以及平面上一點D的正面投影d′，試作點D的水平投影。

解作圖步驟如下：

（1）連接正面投影b′和d′，延長交a′c′于e′；

（2）作點E的水平投影e，e在ac上，連接b、e兩點；

（3）由d′作出點D的水平投影d。圖2－42求平面上點的投影解

【例2－9】如圖2－43(a)所示，已知平面四邊形ABCD的水平投影abcd及AB、BC兩邊的正面投影a′b′、b′c′，完成四邊形的正面投影。

四邊形的四個頂點位于同一個平面上，現(xiàn)已知其三個頂點A、B、C的投影，故本題實質(zhì)上是已知△ABC平面上的一點D的水平投影d，求作其正面投影d′。作圖步驟如圖2－43（b）所示。圖2－43完成平面四邊形的投影解（1）連接ac和bd，交點為e；

（2）作點E的正面投影e′，連接b′、e′，則d′在直線b′e′上；

（3）延長b′e′，由點的投影規(guī)律作出d′。

本題也可過點D作BC邊的平行線DF，作圖時可先在水平投影上作df∥bc，如圖2－43（c）所示，然后作d′f′∥b′c′，再由d求得d′。

【例2－10】圖2－44(a）中，判斷點D和E是否在兩相交直線AB、BC所確定的平面上。

解如圖2－44（b）所示，在兩相交直線所確定的平面上作