魯京津瓊專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十二章概率隨機(jī)變量及其分布12.1隨機(jī)事件的概率與古典概型教案含解析

PAGEPAGE1§12.1隨機(jī)事務(wù)的概率與古典概型最新考綱1.在詳細(xì)情境中，了解隨機(jī)事務(wù)發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)分.2.通過實例，了解兩個互斥事務(wù)的概率加法公式.3.通過實例，理解古典概型及其概率計算公式.4.會用列舉法計算一些隨機(jī)事務(wù)所含的基本領(lǐng)件數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率．1．概率和頻率(1)在相同的條件S下重復(fù)n次試驗，視察某一事務(wù)A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事務(wù)A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事務(wù)A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事務(wù)A出現(xiàn)的比例fn(A)＝eq\f(nA,n)為事務(wù)A出現(xiàn)的頻率．(2)對于給定的隨機(jī)事務(wù)A，由于事務(wù)A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．2．事務(wù)的關(guān)系與運(yùn)算定義符號表示包含關(guān)系假如事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，這時稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或稱事務(wù)A包含于事務(wù)B)B?A(或A?B)相等關(guān)系若B?A且A?BA＝B并事務(wù)(和事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生或事務(wù)B發(fā)生，稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))A∪B(或A＋B)交事務(wù)(積事務(wù))若某事務(wù)發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事務(wù)A發(fā)生且事務(wù)B發(fā)生，則稱此事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))A∩B(或AB)互斥事務(wù)若A∩B為不行能事務(wù)(A∩B＝?)，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥A∩B＝?對立事務(wù)若A∩B為不行能事務(wù)，A∪B為必定事務(wù)，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)A∩B＝?，P(A)＋P(B)＝13.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必定事務(wù)的概率P(E)＝1.(3)不行能事務(wù)的概率P(F)＝0.(4)概率的加法公式假如事務(wù)A與事務(wù)B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)對立事務(wù)的概率若事務(wù)A與事務(wù)B互為對立事務(wù)，則P(A)＝1－P(B)．4．基本領(lǐng)件的特點(diǎn)(1)任何兩個基本領(lǐng)件是互斥的；(2)任何事務(wù)(除不行能事務(wù))都可以表示成基本領(lǐng)件的和．5．古典概型具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)試驗中全部可能出現(xiàn)的基本領(lǐng)件只有有限個；(2)每個基本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等．6．假如一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，而且全部結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個基本領(lǐng)件的概率都是eq\f(1,n)；假如某個事務(wù)A包括的結(jié)果有m個，那么事務(wù)A的概率P(A)＝eq\f(m,n).7．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù),基本領(lǐng)件的總數(shù)).概念方法微思索1．隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)分與聯(lián)系？提示隨機(jī)事務(wù)A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗中事務(wù)A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事務(wù)A發(fā)生的概率旁邊．2．隨機(jī)事務(wù)A，B互斥與對立有何區(qū)分與聯(lián)系？提示當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B互斥時，不肯定對立，當(dāng)隨機(jī)事務(wù)A，B對立時，肯定互斥．3．任何一個隨機(jī)事務(wù)與基本領(lǐng)件有何關(guān)系？提示任何一個隨機(jī)事務(wù)都等于構(gòu)成它的每一個基本領(lǐng)件的和．4．如何推斷一個試驗是否為古典概型？提示一個試驗是否為古典概型，關(guān)鍵在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性．題組一思索辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)事務(wù)發(fā)生的頻率與概率是相同的．(×)(2)在大量重復(fù)試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√)(3)兩個事務(wù)的和事務(wù)是指兩個事務(wù)都得發(fā)生．(×)(4)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能的．(×)(5)從市場上出售的標(biāo)準(zhǔn)為500±5g的袋裝食鹽中任取一袋測其重量，屬于古典概型．(×)題組二教材改編2．一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事務(wù)“至少有一次中靶”的對立事務(wù)是()A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的對立事務(wù)是“兩次都不中靶”．3．袋中裝有6個白球，5個黃球，4個紅球，從中任取一球，則取到白球的概率為()A.eq\f(2,5)B.eq\f(4,15)C.eq\f(3,5)D.eq\f(2,3)答案A4．同時擲兩個骰子，向上點(diǎn)數(shù)不相同的概率為________．答案eq\f(5,6)解析擲兩個骰子一次，向上的點(diǎn)數(shù)共6×6＝36(種)可能的結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果共有6種，所以點(diǎn)數(shù)不相同的概率P＝1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6).題組三易錯自糾5．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面對上恰有5次”是()A．必定事務(wù) B．隨機(jī)事務(wù)C．不行能事務(wù) D．無法確定答案B解析拋擲10次硬幣，正面對上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，正面對上5次是隨機(jī)事務(wù)．6．將號碼分別為1,2,3,4的四個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個小球，其號碼為a，放回后，乙從今袋中再摸出一個小球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事務(wù)發(fā)生的概率為________．答案eq\f(1,4)解析由題意知(a，b)的全部可能結(jié)果有4×4＝16(種)，7．(2024·濟(jì)南模擬)從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事務(wù)A＝{抽到一等品}，事務(wù)B＝{抽到二等品}，事務(wù)C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為______．答案0.35解析∵事務(wù)A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，∴事務(wù)“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.題型一隨機(jī)事務(wù)命題點(diǎn)1隨機(jī)事務(wù)的關(guān)系例1(1)在5張電話卡中，有3張移動卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事務(wù)“2張全是移動卡”的概率是eq\f(3,10)，那么概率是eq\f(7,10)的事務(wù)是()A．至多有一張移動卡 B．恰有一張移動卡C．都不是移動卡 D．至少有一張移動卡答案A解析“至多有一張移動卡”包含“一張移動卡，一張聯(lián)通卡”，“兩張全是聯(lián)通卡”兩個事務(wù)，它是“2張全是移動卡”的對立事務(wù)．(2)口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形態(tài)相同的小球，從中取出兩個球，事務(wù)A＝“取出的兩個球同色”，B＝“取出的兩個球中至少有一個黃球”，C＝“取出的兩個球中至少有一個白球”，D＝“取出的兩個球不同色”，E＝“取出的兩個球中至多有一個白球”．下列推斷中正確的序號為____________．①A與D為對立事務(wù)；②B與C是互斥事務(wù)；③C與E是對立事務(wù)；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．答案①④解析當(dāng)取出的兩個球為一黃一白時，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個球中恰有一個白球時，事務(wù)C與E都發(fā)生，③不正確；明顯A與D是對立事務(wù)，①正確；C∪E為必定事務(wù)，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．命題點(diǎn)2隨機(jī)事務(wù)的頻率與概率例2(2024·全國Ⅲ)某超市安排按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．依據(jù)往年銷售閱歷，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購安排，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40]天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，寫出Y的全部可能值，并估計Y大于零的概率．解(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100，所以，Y的全部可能值為900,300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.因此Y大于零的概率的估計值為0.8.命題點(diǎn)3互斥事務(wù)與對立事務(wù)例3一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機(jī)取出1球，求：(1)取出1球是紅球或黑球的概率；(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率．解方法一(利用互斥事務(wù)求概率)記事務(wù)A1＝{任取1球為紅球}，A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}，A4＝{任取1球為綠球}，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A3)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，P(A4)＝eq\f(1,12).依據(jù)題意知，事務(wù)A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事務(wù)的概率公式，得(1)取出1球是紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,4).(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12).方法二(利用對立事務(wù)求概率)(1)由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事務(wù)為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事務(wù)為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,12)＝eq\f(3,4).(2)因為A1∪A2∪A3的對立事務(wù)為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12).思維升華(1)推斷互斥、對立事務(wù)的方法推斷互斥事務(wù)、對立事務(wù)一般用定義推斷，不行能同時發(fā)生的兩個事務(wù)為互斥事務(wù)；兩個事務(wù)若有且僅有一個發(fā)生，則這兩個事務(wù)為對立事務(wù)，對立事務(wù)肯定是互斥事務(wù)．(2)求困難事務(wù)的概率的兩種方法求概率的關(guān)鍵是分清所求事務(wù)是由哪些事務(wù)組成的，求解時通常有兩種方法①將所求事務(wù)轉(zhuǎn)化成幾個彼此互斥的事務(wù)的和事務(wù)，利用概率加法公式求解概率．②若將一個較困難的事務(wù)轉(zhuǎn)化為幾個互斥事務(wù)的和事務(wù)時，須要分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮利用對立事務(wù)的概率公式，即“正難則反”．它常用來求“至少”或“至多”型事務(wù)的概率．跟蹤訓(xùn)練1(1)某保險公司利用簡潔隨機(jī)抽樣的方法對投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120①若每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；②在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．解①設(shè)A表示事務(wù)“賠付金額為3000元”，B表示事務(wù)“賠付金額為4000元”，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應(yīng)的情形是賠付金額為3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.②設(shè)C表示事務(wù)“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，可得樣本車輛中車主為新司(2)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：①至多2人排隊等候的概率；②至少3人排隊等候的概率．解記“無人排隊等候”為事務(wù)A，“1人排隊等候”為事務(wù)B，“2人排隊等候”為事務(wù)C，“3人排隊等候”為事務(wù)D，“4人排隊等候”為事務(wù)E，“5人及5人以上排隊等候”為事務(wù)F，則事務(wù)A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．①記“至多2人排隊等候”為事務(wù)G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.②記“至少3人排隊等候”為事務(wù)H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.題型二古典概型例4(1)(2024·全國Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10)D.eq\f(2,5)答案D解析從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的狀況如圖：基本領(lǐng)件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于其次張卡片上的數(shù)的事務(wù)數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).(2)我國古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”將這五種不同屬性的物質(zhì)隨意排成一列，設(shè)事務(wù)A表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事務(wù)A發(fā)生的概率為________．答案eq\f(1,12)解析五種不同屬性的物質(zhì)隨意排成一列的全部基本領(lǐng)件數(shù)為Aeq\o\al(5,5)＝120，滿意事務(wù)A＝“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”的基本領(lǐng)件可以按如下方法進(jìn)行考慮：從左至右，當(dāng)?shù)谝粋€位置的屬性確定后，例如：金，其次個位置(除去金本身)只能排土或水屬性，當(dāng)其次個位置的屬性確定后，其他三個位置的屬性也確定，故共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,2)＝10(種)可能，所以事務(wù)A出現(xiàn)的概率為eq\f(10,120)＝eq\f(1,12).思維升華求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本領(lǐng)件的總數(shù)和事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)，這就須要正確列出基本領(lǐng)件，基本領(lǐng)件的表示方法有列舉法、列表法和樹狀圖法，詳細(xì)應(yīng)用時可依據(jù)須要敏捷選擇．跟蹤訓(xùn)練2(1)甲在微信群中發(fā)布6元“拼手氣”紅包一個，被乙、丙、丁三人搶完．若三人均領(lǐng)到整數(shù)元，且每人至少領(lǐng)到1元，則乙獲得“手氣最佳”(即乙領(lǐng)取的錢數(shù)不少于其他任何人)的概率是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析用(x，y，z)表示乙、丙、丁搶到的紅包分別為x元、y元、z元．乙、丙、丁三人搶完6元錢的全部不同的可能結(jié)果有10種，分別為(1,1,4)，(1,4,1)，(4,1,1)，(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．乙獲得“手氣最佳”的全部不同的可能結(jié)果有4種，分別為(4,1,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，(2,2,2)．依據(jù)古典概型的概率計算公式，得乙獲得“手氣最佳”的概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).(2)(2024·自貢模擬)已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，則函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A.eq\f(5,12)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)答案A解析∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴基本領(lǐng)件總數(shù)n＝3×4＝12.函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)，①當(dāng)a＝0時，f(x)＝－2bx，符合條件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②當(dāng)a≠0時，須要滿意eq\f(b,a)≤1，符合條件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4種．∴函數(shù)f(x)＝ax2－2bx在區(qū)間(1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(5,12).題型三古典概型與統(tǒng)計的綜合應(yīng)用例5某縣共有90個農(nóng)村淘寶服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，隨機(jī)抽取6個網(wǎng)點(diǎn)統(tǒng)計其元旦期間的網(wǎng)購金額(單位：萬元)的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)．(1)依據(jù)莖葉圖計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；(2)若網(wǎng)購金額(單位：萬元)不小于18的服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)定義為優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，其余為非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)，依據(jù)莖葉圖推斷這90個服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的個數(shù)；(3)從隨機(jī)抽取的6個服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個作網(wǎng)購商品的調(diào)查，求恰有1個網(wǎng)點(diǎn)是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)的概率．解(1)由題意知，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(4＋6＋12＋12＋18＋20,6)＝12.(2)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個，概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，由此估計這90個服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有90×eq\f(1,3)＝30(個)．(3)樣本中優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有2個，分別記為a1，a2，非優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)有4個，分別記為b1，b2，b3，b4，從隨機(jī)抽取的6個服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)中再任取2個的可能狀況有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15種，記“恰有1個是優(yōu)秀服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)”為事務(wù)M，則事務(wù)M包含的可能狀況有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8種，故所求概率P(M)＝eq\f(8,15).思維升華有關(guān)古典概型與統(tǒng)計結(jié)合的題型是高考考查概率的一個重要題型，已成為高考考查的熱點(diǎn)，概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是干脆描述還是利用概率分布表、頻率分布直方圖、莖葉圖等給出信息，精確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練3從某學(xué)校高三年級共800名男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，被測學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結(jié)果按如下方式分成八組：第一組[155,160)，其次組[160,165)，…，第八組[190,195]，如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，已知第六組比第七組多1人，第一組和第八組人數(shù)相同．(1)求第六組、第七組的頻率并補(bǔ)充完整頻率分布直方圖；(2)若從身高屬于第六組和第八組的全部男生中隨機(jī)抽取兩名，記他們的身高分別為x，y，求|x－y|≤5的概率．解(1)由頻率分布直方圖知，前五組的頻率為(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，所以后三組的頻率為1－0.82＝0.18，人數(shù)為0.18×50＝9，(2)由(1)知身高在[180,185)內(nèi)的男生有四名，設(shè)為a，b，c，d，身高在[190,195]的男生有兩名，設(shè)為A，B.若x，y∈[180,185)，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6種狀況；若x，y∈[190,195]，只有AB1種狀況；若x，y分別在[180,185)，[190,195]內(nèi)，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8種狀況，所以基本領(lǐng)件的總數(shù)為6＋8＋1＝15，事務(wù)|x－y|≤5包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)為6＋1＝7，故所求概率為eq\f(7,15).概率與統(tǒng)計例(12分)海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．規(guī)范解答解(1)A，B，C三個地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.[6分](2)設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．[8分]每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．記事務(wù)D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事務(wù)D包含的基本領(lǐng)件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個．所以P(D)＝eq\f(4,15)，[11分]即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).[12分]求概率與統(tǒng)計問題的一般步驟第一步：依據(jù)概率統(tǒng)計的學(xué)問確定元素(總體、個體)以及要解決的概率模型；其次步：將全部基本領(lǐng)件列舉出來(可用樹狀圖)；第三步：計算基本領(lǐng)件總數(shù)n，事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件數(shù)m，代入公式P(A)＝eq\f(m,n)；第四步：回到所求問題，規(guī)范作答．1．從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是()A．至少有一個黑球與都是黑球B．至少有一個黑球與都是紅球C．至少有一個黑球與至少有一個紅球D．恰有一個黑球與恰有兩個黑球答案D解析對于A，事務(wù)“至少有一個黑球”與事務(wù)“都是黑球”可以同時發(fā)生，∴A不正確；對于B，事務(wù)“至少有一個黑球”與事務(wù)“都是紅球”不能同時發(fā)生，但肯定會有一個發(fā)生，∴這兩個事務(wù)是對立事務(wù)，∴B不正確；對于C，事務(wù)“至少有一個黑球”與事務(wù)“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，如：一個紅球，一個黑球，∴C不正確；對于D，事務(wù)“恰有一個黑球”與事務(wù)“恰有兩個黑球”不能同時發(fā)生，但從口袋中任取兩個球時還有可能是兩個都是紅球，∴兩個事務(wù)是互斥事務(wù)但不是對立事務(wù)，∴D正確．2．(2024·天津)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是eq\f(1,2)，甲獲勝的概率是eq\f(1,3)，則甲不輸?shù)母怕蕿?)A.eq\f(5,6)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,3)答案A解析事務(wù)“甲不輸”包含“和棋”和“甲獲勝”這兩個互斥事務(wù)，所以甲不輸?shù)母怕蕿閑q\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).3．對一批產(chǎn)品的長度(單位：mm)進(jìn)行抽樣檢測，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上的為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()A．0.09B．0.20C．0.25D．0.45答案D解析設(shè)[得[25,30)上的頻率為0.25.所以產(chǎn)品為二等品的概率為0.04×5＋0.25＝0.45.4．(2024·欽州期中)依據(jù)某醫(yī)療探討所的調(diào)查，某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%.現(xiàn)有一血液為A型病人須要輸血，若在該地區(qū)任選一人，那么能為病人輸血的概率為()A．15%B．20%C．45%D．65%答案D解析因為某地區(qū)居民血型的分布為：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%，現(xiàn)在能為A型病人輸血的有O型和A型，故為病人輸血的概率為50%＋15%＝65%，故選D.5．(2024·濟(jì)南模擬)某商場實行有獎促銷活動，抽獎規(guī)則如下：從裝有形態(tài)、大小完全相同的2個紅球、3個藍(lán)球的箱子中，隨意取出兩球，若取出的兩球顏色相同則中獎，否則不中獎．則中獎的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5)答案C解析從裝有形態(tài)、大小完全相同的2個紅球、3個藍(lán)球的箱子中，隨意取出兩球共Ceq\o\al(2,5)＝10種取法，取出的兩球顏色相同共Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＝4種取法，∴中獎的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，故選C.6．設(shè)m，n分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)，則在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋mx＋n＝0有實根的概率為()A.eq\f(11,36)B.eq\f(7,36)C.eq\f(7,11)D.eq\f(7,10)答案C解析先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的狀況有：(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)，(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共11種，其中使方程x2＋mx＋n＝0有實根的狀況有：(5,5)，(6,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共7種．故所求事務(wù)的概率P＝eq\f(7,11).7．從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取兩個不同的數(shù)，則其中一個數(shù)恰是另一個數(shù)的3倍的概率為________．答案eq\f(1,12)解析從集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取兩個不同的數(shù)，有n＝eq\f(9×8,2)＝36(種)情形，其中一個數(shù)是另一個數(shù)的3倍的事務(wù)有{1,3}，{2,6}，{3,9}，共3種情形，所以由古典概型的概率計算公式可得其概率是P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).8.如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩人在4次模擬測試中的成果，其中一個數(shù)字被污損，則甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率為________．答案0.3解析依題意，記題中被污損的數(shù)字為x，若甲的平均成果不超過乙的平均成果，則有(8＋9＋2＋1)－(5＋3＋x＋5)≤0，解得x≥7，即此時x的可能取值是7,8,9，因此甲的平均成果不超過乙的平均成果的概率P＝eq\f(3,10)＝0.3.9．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，則所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率為________．答案eq\f(10,21)解析種)取法，所以所取的球恰有1個白球、1個紅球的概率為eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).10．在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，則兩人都中獎的概率是________．答案eq\f(1,3)解析設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1,2,0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6種．其中甲、乙都中獎有(1,2)，(2,1)，共2種，所以P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).11．海關(guān)對同時從A，B，C三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解(1)A，B，C三個地區(qū)商品的總數(shù)量為50＋150＋100＝300，抽樣比為eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個地區(qū)的個體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三個地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別是1,3,2.(2)方法一設(shè)6件來自A，B，C三個地區(qū)的樣品分別為：A；B1，B2，B3；C1，C2.則從6件樣品中抽取的這2件商品構(gòu)成的全部基本領(lǐng)件為：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15個．每個樣品被抽到的機(jī)會均等，因此這些基本領(lǐng)件的出現(xiàn)是等可能的．記事務(wù)D：“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”，則事務(wù)D包含的基本領(lǐng)件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(4,15).方法二這2件商品來自相同地區(qū)的概率為eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,6))＝eq\f(3＋1,15)＝eq\f(4,15).12.(2024·山東)某兒童樂園在“六一”兒童節(jié)推出了一項趣味活動．參與活動的兒童需轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤兩次，每次轉(zhuǎn)動后，待轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，記錄指針?biāo)竻^(qū)域中的數(shù)．設(shè)兩次記錄的數(shù)分別為x，y.嘉獎規(guī)則如下：①若xy≤3，則嘉獎玩具一個；②若xy≥8，則嘉獎水杯一個；③其余狀況嘉獎飲料一瓶．假設(shè)轉(zhuǎn)盤質(zhì)地勻稱，四個區(qū)域劃分勻稱，小亮打算參與此項活動．(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比較小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小，并說明理由．解(1)用數(shù)對(x，y)表示兒童參與活動先后記錄的數(shù)，則基本領(lǐng)件空間Ω與點(diǎn)集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一對應(yīng)．因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16，所以基本領(lǐng)件總數(shù)n＝16.記“xy≤3”為事務(wù)A，則事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件共5個，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8”為事務(wù)B，“3<xy<8”為事務(wù)C.則事務(wù)B包含的基本領(lǐng)件共6個，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事務(wù)C包含的基本領(lǐng)件共5個，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮獲得水杯的概率大于獲得飲料的概率．13．某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個課外愛好小組，3個小組分別有39,32,33個成員，一些成員參與了不止一個小組，詳細(xì)狀況如圖所示．現(xiàn)隨機(jī)選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是________，他屬于不超過2個小組的概率是________．答案eq\f(