2024-2025學(xué)年河南省天一大聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年河南省天一大聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知向量a=(?1,0,?1)，b=(1,x,y)，且a//b，則A.1 B.0 C.?1 D.?22.已知直線(xiàn)l1：ax+(1+a)y?3=0與l2：ax?2ay?2=0互相垂直，則a=(

)A.?2或0 B.?1 C.0 D.?23.已知函數(shù)f(x)=xex+2kx，若f′(1)=0A.e B.e2 C.1 D.4.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若a2+a10A.4 B.3 C.2 D.15.過(guò)直線(xiàn)y=x+1上一動(dòng)點(diǎn)P作圓M：(x?5)2+y2=2的一條切線(xiàn)l，切點(diǎn)為AA.6 B.4 C.32 6.洛陽(yáng)龍門(mén)石窟是世界上規(guī)模最大的石刻藝術(shù)寶庫(kù)，被聯(lián)合國(guó)教科文組織評(píng)為“中國(guó)石刻藝術(shù)的最高峰”.現(xiàn)有一石窟的某處共有378個(gè)“浮雕像”，分為6層，對(duì)每一層來(lái)說(shuō)，上一層的數(shù)量是該層的2倍，則從下往上數(shù)，第4層“浮雕像”的數(shù)量為(

)A.16 B.32 C.48 D.647.已知P是拋物線(xiàn)y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到圓C：(x+2)2+(y?2)2=1上的動(dòng)點(diǎn)A.13?1 B.25?1 8.阿波羅尼斯的《圓錐曲線(xiàn)論》中給出了橢圓的一個(gè)基本性質(zhì)：如圖，過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P作長(zhǎng)軸AB的垂線(xiàn)(點(diǎn)P與點(diǎn)A，B均不重合)，垂足為Q，則|PQ|2|AQ|?|BQ|為常數(shù)k.若k≥19A.(0,23] C.(23,二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知平面α過(guò)點(diǎn)A(1,1,1)，其法向量為n=(?1,?1,3)，則下列各點(diǎn)在平面α內(nèi)的有(

)A.(2,3,2) B.(2,?3,2) C.(2,?1,0) D.(1,?2,0)10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an+1=3A.a1=2

B.{an+1}是等比數(shù)列

C.{Sn?3an2}是等差數(shù)列

D.存在r11.已知曲線(xiàn)C：x|x|4?y|y|A.C不經(jīng)過(guò)第二象限

B.當(dāng)x≥0，y≤0時(shí)，C上任一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離均相等

C.C上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是[?2,2]

D.C上任一點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的距離的取值范圍是(0,2]三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知空間中的三點(diǎn)A(3,0,0)，B(0,3,3)，C(0,1,0)，則直線(xiàn)AC與AB所成角的余弦值為_(kāi)_____．13.若x0→0limf(1+x014.已知P為直線(xiàn)x?y?3=0上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓y23+x2=1的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，若直線(xiàn)AB與x軸的正半軸、y軸的負(fù)半軸分別交于點(diǎn)C，D，則△OCD(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最小值為_(kāi)_____．

附：橢圓y2四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知等差數(shù)列{an}滿(mǎn)足a2+a5=12，a6=11，正項(xiàng)數(shù)列{bn}滿(mǎn)足b1bn=211?a16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=x3?(a+1)x2+a(a+1)x(a∈R)的圖象在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為2．

(1)求a的值；

(2)若a>017.(本小題15分)

如圖，在四棱錐A?BCDE中，AB=AE=23，AB⊥AE，BC⊥CD，CD⊥DE，且平面ABE⊥平面BCDE，∠EBC=45°，O為BE的中點(diǎn)．

(1)證明：AO⊥CD；

(2)求二面角C?AB?E的正弦值．18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足nan+1?(n+1)an=n(n+1)，且a1=1．

(1)證明{ann}是等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列{b19.(本小題17分)

已知雙曲線(xiàn)C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，右頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)l：x=1與x軸交于點(diǎn)E，且|AF||AE|=a．

(1)求C的方程；

(2)若G為l上不同于點(diǎn)E的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)GF交y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)G作C的兩條切線(xiàn)GP，GQ，分別交y軸于點(diǎn)P，Q，交x軸于點(diǎn)M，N．

(i)參考答案1.A

2.D

3.A

4.D

5.B

6.C

7.C

8.B

9.AD

10.ABC

11.ABD

12.213.?9

14.2315.解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

由a2+a5=12，a6=11，

得a1+d+a1+4d=12a1+5d=11，即2a1+5d=12a1+5d=11，解得a1=1d=2，

∴an=1+2(n?1)=2n?1；

16.解：(1)由f(x)=x3?(a+1)x2+a(a+1)x，

可得f′(x)=3x2?2(a+1)x+a(a+1)，

又f(x)的圖象在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為2，

則f′(0)=a(a+1)=2，解得a=?2或1；

(2)因?yàn)閍>0，所以由(1)可得a=1，

所以f(x)=x3?2x2+2x，f′(x)=3x2?4x+2，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(t,t3?2t2+2t)，則切線(xiàn)的斜率k=3t217.解；(1)證明：由AB=AE，O為BE的中點(diǎn)，可得AO⊥BE，

因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，

所以AO⊥平面BCDE，又CD?平面BCDE，

所以AO⊥CD．

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)O在平面BCDE內(nèi)作BE的垂線(xiàn)，交BC于點(diǎn)F，

因?yàn)锳O⊥平面BCDE，OF?平面BCDE，所以AO⊥OF，

以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OF，OA所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=26=2AO，

在梯形BCDE中，∠EBC=45°，所以O(shè)F=BO=6，

故B(?6,0,0)，A(0,0,6)，F(xiàn)(0,6,0)，

則BA=(6,0,6)，BF=(6,6,0)．

易知平面ABE的一個(gè)法向量為i=(0,1,0)．

設(shè)平面ABC的法向量為j=(x,y,z)，18.(1)證明：由nan+1?(n+1)an=n(n+1)，

兩邊都除以n(n+1)，整理得an+1n+1?ann=1，

結(jié)合a1=1，可得{ann}是首項(xiàng)為1，公差d=1的等差數(shù)列．

所以ann=1+(n?1)×1=n，可得an=n2；

(2)解：由(1)得bn=n×2n，所以Sn=1×2+2×22+3×23+?+n×2n，

可得2Sn=1×22+2×23+3×24+?+n×2n+1，

19.解：(1)易知A(a,0)，

因?yàn)橹本€(xiàn)l：x=1與x軸交于點(diǎn)E，且|AF||AE|=a，

所以a|a?1|=3?a．

若a≤1，

此時(shí)a(1?a)=3?a，

即a2?2a+3=0，該方程無(wú)解，

若a>1，

此時(shí)a(a?1)=3?a，

即a2=3，

所以b=32?a2=9?3=6，

則雙曲線(xiàn)C的方程為x23?y26=1．

(2)證明：設(shè)G(1,t)，

易知過(guò)點(diǎn)G且與C相切的直線(xiàn)的斜率存在且不等于0和±2，

設(shè)切線(xiàn)的方程為y=k(x?1)+t(k≠0,±2)，

聯(lián)立y=k(x?1)+tx23?y26=1，消去y并整理得(2?k