藝考基礎(chǔ)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精講精練第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法高頻考點(diǎn)精講解析版

第01講數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：典型例題剖析題型一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1：利用替換角度2：利用替換角度3：作差法求通項(xiàng)題型二：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1：累加法角度2：累乘法角度3：構(gòu)造法角度4：倒數(shù)法題型三：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：數(shù)列的周期性角度2：數(shù)列的單調(diào)性角度3：數(shù)列的最值第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶1、數(shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列的第項(xiàng)通項(xiàng)公式如果數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系能用公式表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列中，叫做數(shù)列的前項(xiàng)和2、數(shù)列的表示方法（1）列表法列出表格來(lái)表示序號(hào)與項(xiàng)的關(guān)系．（2）圖象法數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)．（3）公式法①通項(xiàng)公式法：把數(shù)列的通項(xiàng)用公式表示的方法，如．②遞推公式法：使用初始值和或，和來(lái)表示數(shù)列的方法．3、與的關(guān)系若數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．4、數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列其中遞減數(shù)列常數(shù)列第二部分：典型例題剖析第二部分：典型例題剖析題型一：利用與的關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1：利用替換典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，求的通項(xiàng)公式．【答案】.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，顯然滿足上式，∴；例題2．（2022·河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；當(dāng)時(shí)，，故；當(dāng)時(shí)，，故，故，則，又滿足，∴，.例題3．（2022·陜西·渭南市三賢中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？【答案】是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差分別是和2.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由得又，滿足，所以此數(shù)列的通項(xiàng)公式為.因?yàn)?，所以此?shù)列是首項(xiàng)為,公差為2的等差數(shù)列.例題4．（2022·四川涼山·高二期末（理））已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)解：因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，也成立，所以．題型歸類練1．（2022·江西·二模（文））已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)由得相減得當(dāng)時(shí)，也滿足上式，∴．2．（2022·四川·閬中中學(xué)高二期中（文））設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：.3．（2022·江蘇南通·高二開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)解：因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，即，所以，當(dāng)時(shí)，所以，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)滿足條件，故；4．（2022·湖北·荊州中學(xué)高二期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，兩式相減得，又由題設(shè)可得，從而的通項(xiàng)公式為：；角度2：利用替換典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.求證：數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】證明見(jiàn)解析.【詳解】，，則，所以，有，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，(1)求和【答案】(1)，時(shí)，，時(shí)，，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列．所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不滿足上式，所以，例題3．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；解：∵∴∴，∴是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)數(shù)列，∴，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也成立，∴.例題4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足()，.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)（1）由題意可得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,即,可得,即數(shù)列是首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列,,可得.經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，滿足上式，故.（2）由(1)可得，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,不符合，綜上所述,結(jié)論是:.題型歸類練1．（2022·云南省玉溪第一中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析由，得，，且，故數(shù)列為以2位首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.2．（2022·湖南永州·高二期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析證明：∵∴由已知易得，∴∴數(shù)列是首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列；3．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足且.(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和及通項(xiàng)公式；【答案】(1)，；依題意，，，而，因此是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，即有，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.角度3：作差法求通項(xiàng)典型例題例題1．（2022·貴州貴陽(yáng)·高三開(kāi)學(xué)考試（理））在數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，所以，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以；例題2．（2022·江蘇南京·高二期末）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)由已知，①當(dāng)時(shí)，，②①②，而當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，題型歸類練1．（2022·上海市延安中學(xué)高二期末）設(shè)數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)因?yàn)?，①?dāng)，當(dāng)，②①減②得：，所以.滿足，所以2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式．【答案】.【詳解】數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，得，時(shí)，由可得，兩式相減得：，∴，當(dāng)時(shí)，，上式也成立.∴；題型二：利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式角度1：累加法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】因?yàn)閿?shù)列滿足，，所以當(dāng)時(shí)，又也滿足上式，所以例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列，.以后各項(xiàng)由給出.(1)寫出數(shù)列的前項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)（1）；（2）故，故，當(dāng)時(shí)，此通項(xiàng)公式也成立.故題型歸類練1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）（1）已知數(shù)列{an}滿足a1＝－1，an＋1＝an＋，n∈N*，求通項(xiàng)公式an；【答案】（1）an＝－(n∈N*)；【詳解】（1）∵an＋1－an＝，∴a2－a1＝；a3－a2＝；a4－a3＝；…an－an－1＝.以上各式累加得，an－a1＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－.∴an＋1＝1－，∴an＝－(n≥2)．又∵n＝1時(shí)，a1＝－1，符合上式，∴an＝－(n∈N*)．2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列滿足：.（1）求的通項(xiàng)公式；【答案】（1）；【詳解】（1）由已知得，當(dāng)n≥2時(shí)，又，也滿足上式，故角度2：累乘法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{}滿足：，，，且其前項(xiàng)和為，求與.【答案】，.【詳解】由得，當(dāng)n2時(shí)，，又也滿足上式，故(n).∴相減得，∴，例題2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【詳解】由，得，所以當(dāng)時(shí)，．又，所以，從而，因?yàn)楫?dāng)時(shí)也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．題型歸類練1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一期末（理））已知數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)(1)解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，又也滿足上式，故；2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】.【詳解】因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以.角度3：構(gòu)造法典型例題例題1．（2022·四川·雅安中學(xué)高二階段練習(xí)）數(shù)列滿足.(1)若，求證：為等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)（1）由于，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以.例題2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知數(shù)列{n}的前項(xiàng)和是(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(1)證明：由可得所以，因?yàn)?，所以可得，所以，故?shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的對(duì)比數(shù)列.題型歸類練1．（2022·浙江·溫嶺中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足.(1)證明為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(1)證明：因?yàn)椋?，又，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，所以；2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【詳解】由，得，因?yàn)椋允鞘醉?xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.角度4：倒數(shù)法典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列__________【答案】【詳解】解：由兩邊取倒數(shù)可得，即所以數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為，公差為，所以，所以；故答案為：例題2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中）在數(shù)列中，若，則________.【答案】【詳解】取倒數(shù)得:，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】(1)證明:∵，，∴，∴，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．(2)由上述可知，∴.2．（2022·北京市第三十五中學(xué)高二階段練習(xí)）若數(shù)列滿足：，則第三項(xiàng)_______，它的通項(xiàng)公式_______．【答案】

【詳解】由可得，所以為首項(xiàng)是公差為的等差數(shù)列，所以，所以，所以.故答案為：.題型三：數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1：數(shù)列的周期性典型例題例題1．（2022·黑龍江·哈師大附中高二期中）已知數(shù)列滿足，，其前項(xiàng)和為，則(

)A． B． C．3 D．【答案】B【詳解】數(shù)列滿足，，，，，，…數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，，∴．故選：B．例題2．（2022·四川成都·高一期中（理））若數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，所以，所以該?shù)列的周期為，于是有，故選：C例題3．（2022·湖北·沙市中學(xué)高二期末）已知數(shù)列滿足，則_____________．【答案】【詳解】依題意，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：題型歸類練1．（2022·安徽·淮南第二中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）在數(shù)列中，，，則前2022項(xiàng)和的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以，，，，，…，所以該?shù)列的周期是3，又因?yàn)?，，所?故選：C2．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則___________．【答案】1011【詳解】因?yàn)?，，所以，因此?shù)列具有周期性，，，故．故答案為：1011．3．（2022·北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，數(shù)列滿足，，則=_______，=______．x123f(x)321【答案】

；

.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，因此?shù)列的周期為，所以，故答案為：；.角度2：數(shù)列的單調(diào)性典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意得：由數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，即，即（）恒成立，又因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以.故選：C.例題2．（2022·河北邢臺(tái)·高二期末）下列通項(xiàng)公式中，對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞增數(shù)列的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對(duì)于A，B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)數(shù)列是遞減數(shù)列．對(duì)于C選項(xiàng)，，故數(shù)列是遞增數(shù)列．對(duì)于D選項(xiàng)，由于．所以數(shù)列不是遞增數(shù)列．故選：C.例題3．（多選）（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）下列是遞增數(shù)列的是（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】A．令，則，是遞增數(shù)列，正確；B．令，則，，不合題意，錯(cuò)；C．令，則，符合題意．正確；D．令，則，，不合題意．錯(cuò)．故選：AC．題型歸類練1．（2022·湖南·益陽(yáng)市箴言中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項(xiàng)是（

）A．第5項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第4項(xiàng)或第5項(xiàng) D．第5項(xiàng)或第6項(xiàng)【答案】A【詳解】解：，因?yàn)?，且，所以?shù)值最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)．故選：A．2．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）數(shù)列中，，則此數(shù)列最大項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第6項(xiàng)C．第5項(xiàng) D．第5項(xiàng)和第6項(xiàng)【答案】D【詳解】解：，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，取最大值，故選：D3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式是，那么這個(gè)數(shù)列是（）A．?dāng)[動(dòng)數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．遞增數(shù)列 D．常數(shù)列【答案】C【詳解】因?yàn)?，所以?shù)列是遞增數(shù)列，故選：C角度3：數(shù)列的最值典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項(xiàng)的序號(hào)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得最小值。故選：A例題2．（2022·河北邢臺(tái)·高三開(kāi)學(xué)考試）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則取得最大值時(shí)為（

）A．2 B．3 C．4 D．不存在【答案】B【詳解】依題意，構(gòu)造函數(shù)，，由于，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上遞減，所以當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減數(shù)列，所以的最大值為.所以取得最大值時(shí)n為.故選：B例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，又，，，即的最小值為.故選：A