北京市西城區(qū)第三十九中2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷含解析

北京市西城區(qū)第三十九中2024年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知”>/?>（）,橢圓G的方程￡+4=1，雙曲線。，的方程為1-￡=1，G和G的離心率之積為且，則

a~b~a-b~2

G的漸近線方程為（）

A.x±V2y=0B.缶±y=0C.x±2y=0D.2x士y=0

2.如圖，AA3C內(nèi)接于圓。，AB是圓。的直徑，DC=BE,DC/1BE,DCLCB,DCYCA,AB=2EB=2,則

三棱錐E-A3c體積的最大值為（）

3.已知拋物線丁=2陽〃>0）經(jīng)過點見2,2⑹，焦點為F,則直線板的斜率為（

A.2>/2c五D.-2&

4.閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的。的值為（）

23

A.—B.--

32c1

5.若等差數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，且％=0,%+q=21,則跖的值為（）.

A.21B.63C.13D.84

6.己知數(shù)列｛%｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，｛包｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)4=4.，

9=q+C2+-+G（〃€N"），則當(dāng)（V2020時，〃的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

7.如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2,除此之外每個數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則

該"數(shù)字塔''前10層的所有數(shù)字之積最接近（愴2。0.3）（）

2

22

242

2882

21664162

A.10^B.10^C.IO500D.1O600

8.已知復(fù)數(shù)z滿足：zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），貝匹=（）

A.4+3/B.4-3/C.-4+3/D.-4-3Z

9.自2019年12月以來，在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，研究表明，該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各

級政府反應(yīng)迅速，采取了有效的防控阻擊措施，把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格

檢查登記，有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶，負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生，現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都

要分配出去，且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記，則不同的分配方案共有（）

A.12種B.24種C.36種D.72種

10.%工（/'”是函數(shù)〃力二|（火-山|在區(qū)間。一工）內(nèi)單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

11.下列函數(shù)中，在區(qū)間（O,y）上為減函數(shù)的是（）

_____/1Y

2

A.y=Jx+\B.y=xC.y=-D.y=log2X

k

12.在復(fù)平面內(nèi)，出復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共扼復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）

1i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知雙曲線0￡—4=1的左、右焦點為"，匕,尸（2,我）為雙曲線C上一點，且=

a~b~、，|尸叼

若線段尸耳與雙曲線C交于另一點A,則APA5的面積為.

22

14.已知尸為橢圓二+21=1上的一個動點，A（—2,l）,8（2,-1）,設(shè)直線AP和8P分別與直線工=4交于M,N

82

兩點，若AA5尸與AMNP的面積相等，則線段OP的長為.

15.已知數(shù)歹!滿足q+2。2+3%+…+=2",則凡=.

16.在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位：噸）分別為9.4,9.7,9.8,10.3,10.8.則該農(nóng)作物的年

平均產(chǎn)量是_____噸.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步躲。

17.（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“3+1+2”模式要求學(xué)生在語數(shù)外3門全國統(tǒng)考科目之外，在歷史和物

理2門科目中必選且只選1門，再從化學(xué)、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規(guī)則轉(zhuǎn)

換后計入高考總分,相應(yīng)地，高校在招生時可對特定專業(yè)設(shè)置具體的選修科目要求.雙超中學(xué)高一年級有學(xué)生1200人，

現(xiàn)從中隨機抽取40人進行選科情況調(diào)查，用數(shù)字1~6分別依次代表歷史、物理、化學(xué)、生物、地理、政治6科，得到

如下的統(tǒng)計表：

序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況

1134112362115631235

2235122342223532236

3235131452324533235

4145141352423534135

5156152362525635156

6245162362615636236

7256171562713437156

8235182362823538134

9235191452924639235

10236202353015640245

（1）雙超中學(xué)規(guī)定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執(zhí)教2個選修班（當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選

課班級總數(shù)為奇數(shù)時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學(xué)高一年級現(xiàn)有化學(xué)、生物科目教師每科各

8人，用樣本估計總體，則化學(xué)、生物兩科的教師人數(shù)是否需要調(diào)整？如果需要調(diào)整，各需增加或減少多少人？

（2）請創(chuàng)建列聯(lián)表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有99%的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理

科目”有關(guān).

n(ad-be)"

(a+Z?)(c+c/)(a+c)(%+d)

P（K』）0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

（3）某高校A在其熱門人文專業(yè)笈的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選

修了1門的考生報名.現(xiàn)從雙超中學(xué)高一新生中隨機抽取3人，設(shè)具備A高校8專業(yè)報名資格的人數(shù)為X,用樣本的

頻率估計概率，求X的分布列與期望.

18.（12分）如圖，在直角AAO8中，04=08=2,AAOC通過AAQ8以直線04為軸順時針旋轉(zhuǎn)120。得到

（ZBOC=120°）.點。為斜邊A3上一點.點M為線段8c上一點，且=勺叵.

3

（1）證明：MOJ_平面408；

（2）當(dāng)直線與平面AO8所成的角取最大值時，求二面角B—CO—O的正弦值.

19.（12分）在AABC中，內(nèi)角4注。的對邊分別是4也乙已知A=上,b?+c?-&abc=a1.

33

（1）求。的值；

（2）若b=l,求AA8C的面積.

22

20.（12分）已知橢圓：C:=十三=1（〃＞。＞0）的四個頂點圍成的四邊形的面積為2厲，原點到直線4+與=1的

a~b~ab

距離為叵.

4

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知定點尸（0,2）,是否存在過戶的直線/,使/與橢圓C交于4,4兩點，且以IA例為直徑的圓過橢圓。的左

頂點？若存在，求出/的方程：若不存在，請說明理由.

21.（12分）如圖，三棱錐尸―ABC中，點。，E分別為A3,BC的中點，且平面力汨平面ABC.

（1）求證：AC//平面POE；

（2）若/＞D=AC=2,PE=6求證：平面尸8CJ_平面ABC.

22.（10分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分?jǐn)?shù).以下莖葉圖記錄了他們的考

試分?jǐn)?shù)（以十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）：

分匕

615

7B63331

89RR7763J

若分?jǐn)?shù)不低于95分，則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.

（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率：

（2）根據(jù)這20人的分?jǐn)?shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.

頻率

組別分組頻數(shù)頻率

組距

1[60,70)

2[70,80)

3[80,90)

4[90,100]

收率血￥

AM

11111

Ofki

11111

11111

003一——r-7一?7

IVI11

002

11111

11111

V.Vl4-J丁j-1

11111

Illi?THK

06G70SO90100

①估計所有員工的平均分?jǐn)?shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；

②若從所有員工中任選3人，記X表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合G和c2的離心率之積為巫，即可得。涉的關(guān)系，進而得雙曲線的離心率

2

方程.

【詳解】

2222

橢圓G的方程馬+馬=1，雙曲線c?的方程為之一與二1,

crb~a~b~

則橢圓離心率G=，雙曲線的離心率&=,

a~a

由q和c,的離心率之積為正，

2

gny]a2-b2J/+評上

即qe=------------x------------=—'

2aa2

解得2=±立，

a2

所以漸近線方程為），=士YZx,

2

化簡可得工±&》=0,

故選：A.

【點睛】

本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.

2、B

【解析】

根據(jù)已知證明BE1平面A3C,只要設(shè)AC=x,則BC=J4T2（O〈XV2〉從而可得體積

22

VETBC=[x?V4-x2=^X（4-X）,利用基本不等式可得最大值.

【詳解】

因為DC=BE,DC11BEt所以四邊形0c8E為平行四邊形.又因為DC_LCB、DC±C4,CBnCA=C,CBu平面

ABC,CAu平面ABC,

所以。CJ_平面ABC,所以BE1平面A8C.在直角三角形ABE中，AB=2EB=2,

設(shè)AC=x,則8c=，4-/（0。＜2）,

所以S&3C==J、/4一/，所

以％T8c=:—工2）又因為/（4_/）《（廠+：—廠],當(dāng)且僅當(dāng)

b。\L）

＜2j2、2

X2（4-A2）＜,即x=時等號成立，

所以（嚏械）2=3

故選：B.

【點睛】

本題考查求棱錐體積的最大值.解題方法是：首先證明線面垂直同，得棱錐的高，然后設(shè)出底面三角形一邊長為X,

用建立體積丫與邊長犬的函數(shù)關(guān)系，由基本不等式得最值，或由函數(shù)的性質(zhì)得最值.

3、A

【解析】

先求出〃，再求焦點/坐標(biāo)，最后求Mb的斜率

【詳解】

解：拋物線），=2PMP>0）經(jīng)過點加（2,2垃）

（2>/2）2=2px2,〃=2,

“。，0），褊=2立，

故選：A

【點睛】

考查拋物線的基礎(chǔ)知識及斜率的運算公式，基礎(chǔ)題.

4、C

【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計算前幾次的運算規(guī)律，得出運算的周期性，確定跳出循環(huán)時的〃的值，進而求解。的值，得

到答案.

【詳解】

3

由題意，4=—=

5

2

第1次循環(huán)，〃==2,滿足判斷條件；

第2次循環(huán)，?=1,H=3,滿足判斷條件；

2

3

第3次循環(huán)，?=-,n=4,滿足判斷條件；

可得。的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律，

所以當(dāng)〃=2019時，跳出循環(huán)，此時“和"=3時的值對應(yīng)的〃相同，即a=?.

2

故選：c

【點睛】

本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認(rèn)真審題，得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的

關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.

5、B

【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項公式及求和公式可求4,%,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】

解：因為S”=0,%+4=21,

13%+13x64=0

所以七一》，解可得，(1=-3,6=18，

2q+51=21

貝QS7=7xl8+^x7x6x(-3)=63.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

根據(jù)題意計算。4=2j7；=2向一〃-2,解不等式得到答案.

【詳解】

???｛凡｝是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，???4=2〃-1.

???｛〃｝是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，???4=2"T.

??.7；=c+/??+%=4+%+…+%―+/+4+…+仁

Mw-,

=(2xl-l)+(2x2-l)4-(2x4-l)4---+(2x2-'-l)=2(l+2+44----4-2)-n=2X-!^n=2n+'-n-2.

???7；＜2020,???2?一〃一2v2020,解得〃49.則當(dāng)［＜2020時，〃的最大值是9.

故選：B.

【點睛】

本題考食了等差數(shù)列，等比數(shù)列，f分組求和，意在考查學(xué)生對于數(shù)列公式方法的靈活運用.

7、A

【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比

數(shù)列前〃項和公式和對數(shù)恒等式即可求解

【詳解】

如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角％前10層的指數(shù)之和為

1+2+2,+…+2"=-1=1023,所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為2儂3=io,<m，s2?10^.

21

2'2,

2,222'

2'2s2i2,

故選：A

【點睛】

本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前〃項和公式應(yīng)用，屬于中檔題

8、A

【解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法、除法運算求出z,再根據(jù)共朝復(fù)數(shù)的概念即可求解.

【詳解】

由力=3+4i,則z=^3+^4，=^3/-^4=4-3i,

i-1

所以W=4+3i.

故選：A

【點睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的四則運算、共枕復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

先將4名醫(yī)生分成3組，其中1組有2人，共有種選法，然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去，有A；種

方法，由分步原理可知共有種.

【詳解】

不同分配方法總數(shù)為C：A；=36種.

故選：C

【點睛】

此題考查的是排列組合知識，解此類題時一般先組合再排列，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

/（x）=|（O￥-I）x|=|ar2-x,令ad_x=O.解得芭=（）,/=-

當(dāng)〃（（），/（x）的圖像如下圖

由上兩國可知，是充要條件

【考點定位】考查充分條件和必要條件的概念，以及函數(shù)圖像的畫法.

11、C

【解析】

利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項中函數(shù)在區(qū)間（0,y）上的單調(diào)性，進而可得出結(jié)果.

【詳解】

對于A選項，函數(shù)），在區(qū)間（o,+8）上為增函數(shù)；

對于B選項，函數(shù)），=/_］在區(qū)間（0,y）上為增函數(shù)；

對于C選項，函數(shù)

對于D選項，函數(shù)=10g2X在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù).

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷，熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得z=l+2/,z=1一21,即可得到對應(yīng)的點為（1,一2），即可得出結(jié)果.

【詳解】

"二含二黑翳4?—,對應(yīng)的點位于第四象限.

故選:

【點睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，考查共匏復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng)，難度容易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

由已知得歸國二3|尸圖即歸/2=9儼曰2,歸段2=Q一蛾+2,可解得c油尸（2,五）在雙曲線C上,代入即可求得

雙曲線方程,然后求得直線P"的方程與雙曲線方程聯(lián)立求得點A坐標(biāo)，借助SWAB=Szpg—S必寫生,即可解得所求.

【詳解】

由已知得歸國二3|尸園，又|可「=（2+4+2,|丹珠=（2-4+2,所以（2+cy+2=9[（2-c『+2],解得

42A_A

不一層句或，=1

c=3或。=2,由《2,也）在雙曲線C上，所以，/b2,所以?（舍去），因

a2+b2=9a1+b2=4/r=2

此雙曲線。的方程為亡=1.又6（-3.0）,所以線段的方程為y=XZ（x+3）,與雙曲線。的方程聯(lián)立消去

x整理得8y2-1（）、笈），+4=0,所以y=￥，所以點A坐標(biāo)為一;，仔，所以

SAPAF]=S"g_SMF\&=g叵-;x6義號?

【點睛】

本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查雙曲線方程的求解，考查求三角形面積，考查學(xué)生的計算能力，難度較難.

x/107

14、

~1~

【解析】

先設(shè)P點坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個比例關(guān)系又可用線段上點的坐標(biāo)表示出

來，從而可求得點。的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得

【詳解】

如圖，設(shè)夕（%,兒），-2>/2<^<2>/2,/工±2,

由S^BP=S^NP，得』A4||〃MsinZAPB=-\MP\\NP\sin乙MPN,

由sinZ/lPB=sinZMPN。0得|畫=I阿'.|4』|2r解得/—2'

本題考查直線與橢圓相交問題，解題時由三角形面積相等得出線段長的比例關(guān)系，解題是由把線段長的比例關(guān)系用點

的橫坐標(biāo)表示.

2,7Z=1

【解析】

項和轉(zhuǎn)化可得〃4=2"-2"7=2'1522),討論〃=1是否滿足，分段表示即得解

【詳解】

當(dāng)〃=1時，由己知，可得q=21=2,

Vq+2a2+3/+…+nan=T,①

故+2%+3^3+???+(〃-1)。〃一1二2"?22),②

由①?②得〃%=2"—2'"=2")

顯然當(dāng)〃=1時不滿足上式,

2,〃=1

,/?>2

2,/?=1

故答案為：q

,/?>2

【點睛】

本題考查了利用S“求考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運算，分類討論的能力，屬于中檔題.

16、10

【解析】

根據(jù)己知數(shù)據(jù)直接計算即得.

【詳解】

,一-9.4+9.7+9.8+10.3+10.8_

由題得，x—

故答案為：10

【點睛】

本題考杳求平均數(shù)，是基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)不需調(diào)整(2)列聯(lián)表見解析；有99%的把握判斷學(xué)生“選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān)(3)詳見解析

【解析】

(1)可估計高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別為120,2,推理得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.推理知生物科

目需要減少4名教師，化學(xué)科目不需要調(diào)整.(2)根據(jù)列聯(lián)表計算觀測值，根據(jù)臨界值表可得結(jié)論,(3)經(jīng)統(tǒng)計，樣

12

本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為〃=h=0.3.用頻率估計概率，則

40

X~8(3,0.3),根據(jù)二項分布概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望.

【詳解】

(1)經(jīng)統(tǒng)計可知，樣本40人中，選修化學(xué)、生物的人數(shù)分別為24,11,則可估計高一年級選修相應(yīng)科目的人數(shù)分別

為120,2.根據(jù)每個選修班最多編排5。人，且盡量滿額編班，得對應(yīng)開設(shè)選修班的數(shù)目分別為15,1.現(xiàn)有化學(xué)、生

物科目教師每科各8人，根據(jù)每位教師執(zhí)教2個選修班，當(dāng)且僅當(dāng)一門科目的選課班級總數(shù)為奇數(shù)時，允許這門科目

的一位教師執(zhí)教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學(xué)科目不需要調(diào)整.

有99%的把握判斷學(xué)生”選擇化學(xué)科目”與“選擇物理科目”有關(guān).

12

(3)經(jīng)統(tǒng)計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數(shù)為12,頻率為p=—=0.3.

40

用頻率估計概率，則X~8(3,0.3),分布列如下：

X0123

P0.3430.4410.1890.021

數(shù)學(xué)期望為E(X)=np=3x03=0.9.

【點睛】

本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推

理能力.

18、(1)見解析；(2),一

35

【解析】

(1)先算出OM的長度，利用勾股定理證明OM_LO8,再由己知可得。4_LOM,利用線面垂直的判定定理即可

證明；

(2)由(1)可得NMDO為直線與平面A08所成的角，要使其最大，則OQ應(yīng)最小，可得D為A8中點，然后

建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.

【詳解】

(1)在中，ZOBC=30，由余弦定理得

OM=yJOB2+BM2-20BBMcos30

3

：?OM、OB?=MB?,

：?OM1OB,

由題意可知：???Q4J_OB,OA1.OC,OBf}OC=Ot

???OA_L平面COB,

0加匚平面。。8,???04_1。〃，

又Q4(OB=O,

???QWJ_平面人O".

(2)以。為坐標(biāo)原點，以O(shè)M，OB，04的方向為％，)'，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

VOM1平面A08,???MD在平面A08上的射影是OD,

???M￡＞與平面A03所成的角是NMD。，???NMOO最大時，即。。_LA8,點。為AB中點.

8(020),C(G,-1,O),40,0,2),D(0,l,l),CD=(-瓜2,1),

DB=(OJ,-1),OD=(0,1J),設(shè)平面CQ8的法向量〃=(x,y,z),

n-CD=O-\/3x+2y+z=0

由《,得M《令z=l,得y=l,x=6.

n?DB=0y-z=O

所以平面CDB的法向量〃=(V3,l,l),

同理，設(shè)平面CQ。的法向量機二(x,yz),由["70°二°,得v-+2），+z=0

'7[mOD=0y+z=0

令)，=1,得z=—l,x=與，所以平面CDO的法向量〃7=半，1,-1

???3<叫〃*叵，sin-、/=也

35V3535

故二面角8-CO—O的正弦值為生包.

35

【點睛】

本題考杳線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查學(xué)生的運算求解能力，是一道中檔題.

19、(1)6；(2)B.

2

【解析】

(1)由/+02-立4反=/,利用余弦定理可得2/cosA=E"c,結(jié)合A=f可得結(jié)果；

333

(2)由正弦定理sin3=!，8=-,利用三角形內(nèi)角和定理可得C==,由三角形面積公式可得結(jié)果.

262

【詳解】

(1)由題意，得匕2+d—a2di

3

***b2+c1-a2=2Z?ccosA?

工2bgA=Babe,

3

A=§,/.a-25/3cosA=>/3.

(2)?：。=舊,

ab,可得

由正弦定理sinB=2.

sinAsinB2

Va>b,B=—,

6

C=7t—A—B=三.

2

：*SMBC=^ab^nC=x/3

【點睛】

本題主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于中檔題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：(1)

/n^+cZ—%ccosA;(2)cosAJ2+C2/,同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件另外，在解與三角形、

2bc

三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住30",45”,60〃等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

20、(1)—+21=1.(2)存在，且方程為),=名叵工+2或丁=至1+2.

535,5

【解析】

(1)依題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；(2)聯(lián)立直線和橢圓得到

(3+5/產(chǎn)+2()區(qū)+5=(),要使以卜8|為直徑的圓過橢圓。的左頂點。卜石,0),則0403=()，結(jié)合韋達定理

可得到參數(shù)值.

【詳解】

(1)直線二十；=1的一般方程為"+沖-必=0.

ab

2ab=2屈

ab_V30\a=y/522

故橢圓c的方程式為上十二二I.

依題意j,解得

\la2+b2453

a2=b2+c2

(2)假若存在這樣的直線/,

當(dāng)斜率不存在時，以|A3|為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓C的左頂點,

所以可設(shè)直線/的斜率為則直線/的方程為>=代+2.

由.:一，得(3+5公卜2+20"+5=0.

由△=400公一20(3+5r)>0,得kwu倍收

55

記A,8的坐標(biāo)分別為（％,y）,（七,丫2），

20Z5

則藥+工=

3+5公1-3+5P

而y%=（何+2）（應(yīng)+2）=%2Al/+2%（5+/）+4.

要使以從邳為直徑的圓過橢圓C的左頂點。卜石,0）,則D4.OB=0，

即乂%+（,+&）（%+6）=（、2+i）xw+Ql+石）（％+%）+9=0,

所以僅申）春一（2人司建+9=0,

整理解得攵=馬公或出=必

55

所以存在過P的直線/,使/與橢圓C交于A,4兩點，且以|4卻為直徑的圓過橢圓。的左頂點，直線/的方程為

2亞…8石0

y=-----4十2或y二----八+2?

55

【點睛】

本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次

的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解

決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式

的作用.

21、⑴證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用線面平行的判定定理求證即可；

（2）。為中點，E為BC中點,可得。E=；AC=1,PD=2,PE=6，可知PD?=PE?+D