專題08 角度中的動(dòng)態(tài)模型（原卷版）-七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

專題08角度中的動(dòng)態(tài)模型角度的動(dòng)態(tài)（旋轉(zhuǎn)）模型屬于七年級(jí)上期必考?jí)狠S題型，是尖子生必須要攻克的一塊重要內(nèi)容，對(duì)考生的綜合素養(yǎng)要求較高。絕大部分學(xué)生對(duì)角度旋轉(zhuǎn)問(wèn)題信心不足，原因就是很多角度旋轉(zhuǎn)問(wèn)題需要自己畫(huà)出圖形，與分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等結(jié)合得很緊密，思考性強(qiáng)，難度大。本專題重點(diǎn)研究與角有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（求值模型；定值模型；探究模型；分類討論模型）?！局R(shí)儲(chǔ)備】1、角度旋轉(zhuǎn)模型解題步驟：①找——根據(jù)題意找到目標(biāo)角度；②表——表示出目標(biāo)角度：1）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變大：目標(biāo)角=起始角+速度×?xí)r間；2）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度變小：目標(biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；3）角度一邊動(dòng)另一邊不動(dòng)，角度先變小后變大。變?。耗繕?biāo)角=起始角—速度×?xí)r間；變大：目標(biāo)角=速度×?xí)r間—起始角③列——根據(jù)題意列方程求解。注：①注意題中是否確定旋轉(zhuǎn)方向，未確定時(shí)要分順時(shí)針與逆時(shí)針?lè)诸愑懻?；②注意旋轉(zhuǎn)角度取值范圍。2、常見(jiàn)的三角板旋轉(zhuǎn)模型：三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)。三角板的旋轉(zhuǎn)中隱藏的條件就是上面所說(shuō)的這幾個(gè)特殊角的角度?？傊还苓@個(gè)角如何旋轉(zhuǎn)，它的角度大小是不變的，旋轉(zhuǎn)的度數(shù)就是組成角的兩條射線旋轉(zhuǎn)的度數(shù)（角平分線也旋轉(zhuǎn)了同樣的度數(shù)）。抓住這些等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，三角板只是把具體的度數(shù)隱藏了起來(lái)。模型1、旋轉(zhuǎn)中的求值模型例1．（2022秋·河北邯鄲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，，分別是，的平分線．(1)如果，重合，且在的內(nèi)部，如圖1，求的度數(shù)；(2)如果將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2．則______（用含的式子表示）；(3)如果的位置和大小不變，的邊的位置不變，改變的大小，將圖1中的繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖3，求的度數(shù)（用含m的式子表示）．例2.（2022?浙江七年級(jí)期中）如圖1，為直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，，將一直角三角板（）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多．）（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．如圖2，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示），若恰好平分，則______秒（直接寫(xiě)結(jié)果）．（2）在（1）問(wèn)的基礎(chǔ)上，若三角板在轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，射線也繞點(diǎn)以每秒的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，如圖3，經(jīng)過(guò)秒后，______度（用含的式子表示）若平分，求為多少秒？（3）若（2）問(wèn)的條件不變，那么經(jīng)過(guò)秒平分？（直接寫(xiě)結(jié)果）模型2、旋轉(zhuǎn)中的定值模型例1．（2023·安徽池州·七年級(jí)期末）已知，求：（1）如圖1，為內(nèi)部任意一條射線，平分，平分，求_____．（2）如圖2，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到的外部時(shí)，的度數(shù)會(huì)發(fā)生變化嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因；（3）如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到（）的外部且射線在的下方時(shí)，平分，射線在內(nèi)部，，求的值？例2．（2023?碑林區(qū)七年級(jí)月考）如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作射線OC，使∠BOC＝120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（1）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2，使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且恰好平分∠BOC，問(wèn)：直線ON是否平分∠AOC？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論：直線ON（平分或不平分）∠AOC．（2）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O按每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，第t秒時(shí)，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．（直接寫(xiě)出結(jié)果）（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)?zhí)骄?，?dāng)ON始終在∠AOC的內(nèi)部時(shí)（如圖3），∠AOM與∠NOC的差是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出這個(gè)差值；若變化，請(qǐng)舉例說(shuō)明．模型3、旋轉(zhuǎn)中的探究類模型（判斷角的數(shù)量之間的關(guān)系）例1．（2022秋·黑龍江大慶·七年級(jí)?？计谀┮阎?，從的頂點(diǎn)引出一條射線，射線在的內(nèi)部，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)形成．(1)如圖1，若，比較和的大小，并說(shuō)明理由；(2)作射線，射線為的平分線，設(shè)．①如圖2，當(dāng)，若射線恰好平分，求的度數(shù)；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄颗c之間的數(shù)量關(guān)系．例2．（2023·金堂縣七年級(jí)月考）如圖，以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=70°，將一個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處．（注：∠DOE=90°）(1)如圖①，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=°；(2)如圖②，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)到某個(gè)位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度數(shù)；(3)如圖③，將直角三角板DOE繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．模型4、旋轉(zhuǎn)中的分類討論模型例1．（2023·山東濟(jì)南·七年級(jí)期末）如圖1，已知∠AOB＝60°，OM平分∠AOB．(1)∠BOM＝________；(2)若在圖1中畫(huà)射線OC，使得∠BOC＝20°，ON平分∠BOC，求∠MON的大??；(3)如圖2，若線段OA與OB分別為同一鐘表上某一時(shí)刻的時(shí)針與分針，∠AOB＝60°，在時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，OM始終平分∠AOB，則經(jīng)過(guò)多少分鐘后，∠BOM的度數(shù)第一次等于50°．例2．（2023·四川成都·七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)O為直線MN上一點(diǎn)，將一等腰直角三角板AOB置于直線MN上方，∠A＝90°且將其一銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)O重合，射線OP平分∠AON，設(shè)∠AOM＝α．(1)若α＝30°，則∠PON的度數(shù)為_(kāi)_____；(2)若0°＜α＜90°，求∠BOP的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；(3)若0°＜α＜180°，在射線OB，OP，ON中，當(dāng)其中一條是另外兩條射線所成夾角的平分線時(shí)，求α的值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·河北·七年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)部分的射線，叫做這個(gè)角的三分線，一個(gè)角的三分線有兩條．如圖1，，則OB是的一條三分線．（1）如圖1，若，則；（2）如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①則；②若以點(diǎn)為中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）得到，當(dāng)恰好是的三分線時(shí)，的值為．2．（2023·浙江七年級(jí)期中）如圖所示，已知，是的平分線，、分別平分、．（1）求的度數(shù)；（2）若將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到的外部，、仍是、的角平分線，問(wèn)：的大小是否會(huì)改變？3．（2022秋·浙江紹興·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：從一個(gè)角（小于）的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所構(gòu)成的角等于這個(gè)角的，那么這兩條射線所構(gòu)成的角叫做這個(gè)角的“三分角”．如圖1所示，若，則是的“三分角”．(1)如圖1，已知，，是的“三分角”，求的度數(shù)．(2)如圖2，已知，是的平分線，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)O以/秒的速度按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)是的“三分角”時(shí)，求t的值．

4．（2022?羅湖區(qū)七年級(jí)期中）如圖，直線EF與MN相交于點(diǎn)O，∠MOE＝30°，將一直角三角尺的直角頂點(diǎn)與O重合，直角邊OA與MN重合，OB在∠NOE內(nèi)部．操作：將三角尺繞點(diǎn)O以每秒3°的速度沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，直角邊OB恰好平分∠NOE？此時(shí)OA是否平分∠MOE？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若在三角尺轉(zhuǎn)動(dòng)的同時(shí)，直線EF也繞點(diǎn)O以每秒9°的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周，當(dāng)一方先完成旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，另一方同時(shí)停止轉(zhuǎn)動(dòng)．①當(dāng)t為何值時(shí)，EF平分∠AOB？②EF能否平分∠NOB？若能請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（2022?商城縣七年級(jí)期中）如圖1，直線DE上有一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點(diǎn)O按每秒10?的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)直角三角板旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，OA恰好平分∠COD，此時(shí)，∠BOC與∠BOE之間有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①則當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間t＝秒時(shí)，邊AB所在的直線與OC平行？②在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得射線OA，OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請(qǐng)求出所有滿足題意的t的取值．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)邊AB與射線OE相交時(shí)（如圖3），求∠AOC﹣∠BOE的值．6．（2022·浙江嵊州市·七年級(jí)期中）已知，射線OP從OB出發(fā)，繞O逆時(shí)針以1°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OA出發(fā)，繞O順時(shí)針以3°/秒的速度旋轉(zhuǎn)，兩射線同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（1）當(dāng)秒時(shí)，求；（2）當(dāng)，求的值；（3）射線OP，OQ，OB，其中一條射線是其他兩條射線所形成的角的平分線，求t的值．7．（2022·浙江省義烏市稠江中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?5°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0?t?48，單位秒）．(1)當(dāng)t=12時(shí)，∠AOB=°．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OM是由射線OB、射線OA組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，求t的值．8．（2022·浙江省義烏市稠江中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖1，點(diǎn)A，O，B依次在直線MN上，將射線OA繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?5°的速度旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線OB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?°的速度旋轉(zhuǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t（0?t?48，單位秒）．(1)當(dāng)t=12時(shí)，∠AOB=°．(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的t，使得射線OM是由射線OB、射線OA組成的角（指大于0°而不超過(guò)180°的角）的平分線？如果存在，請(qǐng)求出t的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)∠AOB=60°時(shí)，求t的值．9．（2022·浙江·杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期末）已知，為內(nèi)部的一條射線，.（1）如圖1，若平分，為內(nèi)部的一條射線，，求的度數(shù)；（2）如圖2，若射線繞著點(diǎn)從開(kāi)始以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束、繞著點(diǎn)從開(kāi)始以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，當(dāng)一條射線到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一條射線也停止運(yùn)動(dòng).若運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）若射線繞著點(diǎn)從開(kāi)始以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至結(jié)束，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，平分，試問(wèn)在某時(shí)間段內(nèi)是否為定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；若是，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出這個(gè)定值以及相應(yīng)所在的時(shí)間段.（本題中的角均為大于且小于的角）10．（2022·浙江鎮(zhèn)海區(qū)·七年級(jí)期中）已知：如圖，在內(nèi)部有（）．（1）如圖1，求的度數(shù)；（2）如圖2，平分，平分，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)從的位置開(kāi)始，繞著點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)秒時(shí)，使，求的值．11．（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設(shè)兩條射線同時(shí)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)若．①當(dāng)三條射線、、構(gòu)成的三個(gè)度數(shù)大于的角中，有兩個(gè)角相等，求此時(shí)的值；②在射線，轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當(dāng)，求的值．12．（2022·安徽·定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）．①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由；②當(dāng)n為多少時(shí)，為直角？(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大??；將圖1中的OC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請(qǐng)直接寫(xiě)出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．13．（2022?歷下區(qū)期末）點(diǎn)O為直線l上一點(diǎn)，射線OA、OB均與直線l重合，如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O作射線OC和射線OD，使得∠BOC＝100°，∠COD＝90°，作∠AOC的平分線OM．（1）求∠AOC與∠MOD的度數(shù)；（2）作射線OP，使得∠BOP+∠AOM＝90°，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形，并求出∠COP的度數(shù)；（3）如圖3，將射線OB從圖1位置開(kāi)始，繞點(diǎn)O以每秒5°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，作∠COD的平分線ON，當(dāng)∠MON＝20°時(shí)，求旋轉(zhuǎn)的時(shí)間．14．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖1，直角三角板的直角頂點(diǎn)O在直線上，線段是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．(1)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時(shí)，則______（用含的式子表示）；(3)當(dāng)三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，，它條件不變，則______（用含的式子表示）15．（2022·山東日照·七年級(jí)期末）如圖1，O為直線上一點(diǎn)，為射線，，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊在射線上，另一邊與都在直線的上方．(1)將三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若恰好平分（如圖2），試說(shuō)明平分；(2)將三角板繞點(diǎn)O在直線上方順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)落在內(nèi)部，且時(shí)，求的度數(shù)；(3)將圖1中的三角板和射線同時(shí)繞點(diǎn)O，分別以每秒和每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，求第幾秒時(shí)，恰好與在同一條直線上？16．（2022?金華七年級(jí)期中）已知∠AOB，過(guò)頂點(diǎn)O作射線OP，若∠BOP=12∠AOP，則稱射線OP為∠AOB的“好線”，因此∠AOB的“好線”有兩條，如圖1，射線OP1，OP2都是∠（1）已知射線OP是∠AOB的“好線”，且∠BOP＝30°，求∠AOB的度數(shù)．（2）如圖2，O是直線MN上的一點(diǎn)，OB，OA分別是∠MOP和∠PON的平分線，已知∠MOB＝30°，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明射線OP是∠AOB的一條“好線”．（3）如圖3，已知∠MON＝120°，∠NOB＝40°．射線OP和OA分別從OM和OB同時(shí)出發(fā)，繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，OP的速度為每秒12°，OA的速度為每秒4°，當(dāng)射線OP旋轉(zhuǎn)到ON上時(shí)，兩條射線同時(shí)停止．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，射線OP能否成為∠AOB的“好線”．若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；若能，請(qǐng)求出符合條件的所有的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．17．（2022·河北唐山·七年級(jí)期末）如圖1，以直線上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線，使．將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)O放在直線上的點(diǎn)O處，邊放在射線上．(1