空間問(wèn)題的解答課件

空間問(wèn)題的解答§8.1按位移求解空間問(wèn)題按位移求解：以3個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)，從15個(gè)基本方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含3個(gè)位移分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出位移分量。然后根據(jù)幾何方程和物理方程求應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。按位移求解空間問(wèn)題＿具體過(guò)程以3個(gè)位移分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它12個(gè)未知函數(shù)須用3個(gè)位移分量表示；1、應(yīng)變用位移表示：直接采用幾何方程(7-8)；2、應(yīng)力用位移表示：將幾何方程(7-8)代入用應(yīng)變表示的物理方程(7-14)，得到用位移表示的物理方程(8-1)；3、求解位移的最基本方程：將上述彈性方程(8-1)代入平衡微分方程(7-1)，可得用位移表示的平衡微分方程(8-2)，它是按位移求解的最基本方程；4、邊界條件用位移表示：將式(8-1)代入應(yīng)力邊界條件(7-5)，得到用位移表示的應(yīng)力邊界條件；對(duì)于位移邊界條件，其形式不變，仍然用式(7-9)表示；按位移求解空間問(wèn)題＿總結(jié)

（1）使位移分量在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程(8-2)

；

（2）同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程(7-8)求應(yīng)變分量，代入方程(8-1)求應(yīng)力分量?？臻g問(wèn)題按位移求解的方法，位移滿足條件為：按位移求解空間問(wèn)題＿總結(jié)總之，其位移滿足條件為：（1）在區(qū)域內(nèi)滿足平衡微分方程(8-4)

；（2）在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。上述條件也是位移解的校核條件。求解出位移分量后，代入幾何方程求應(yīng)變分量，代入方程(8-3)求應(yīng)力分量。

空間軸對(duì)稱問(wèn)題按位移求解：此類問(wèn)題基本方程(7-15)、(7-16)、(7-17)和基本未知函數(shù)都簡(jiǎn)化為10個(gè)。按位移求解的推導(dǎo)過(guò)程與上面完全相同，只不過(guò)方程的個(gè)數(shù)及具體形式不同。并且，其邊界面多為坐標(biāo)面，邊界條件相對(duì)簡(jiǎn)單。按位移求解空間問(wèn)題半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問(wèn)題主要內(nèi)容§8.2半空間體受重力和均布?jí)毫θ鐖D所示，有半空間體，密度為r，在水平邊界上均布?jí)毫。顯然，它屬于空間問(wèn)題。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)為三個(gè)位移分量，必須滿足：（1）在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的平衡微分方程（8-2）；（2）同時(shí)在邊界上滿足用位移表示的應(yīng)力邊界條件(7-5)或位移邊界條件(7-9)

。半空間體受重力和均布?jí)毫?、如圖可知，該問(wèn)題具有對(duì)稱性，任何x和y面均為對(duì)稱面，而x和y向的位移本身不對(duì)稱于任意垂直平面，故可作如下假設(shè)：2、將上述位移代入用位移表示的平衡微分方程（8-2），前兩式自然滿足，第三式經(jīng)整理后成為如下的常微分方程：積分得：半空間體受重力和均布?jí)毫?、求應(yīng)力分量：將所求得的位移代入用位移表示的物理方程（8-1），整理得：為了求得常數(shù)B，必須利用位移邊界條件。為此假定半空間體在距邊界為h處沒(méi)有位移，即有如下位移邊界條件：4、由邊界條件確定選定常數(shù)A和B代入可解得常數(shù)A：由此解得常數(shù)B，進(jìn)而求得所有的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量、位移分量。上邊界面上的邊界條件為：按位移求解空間問(wèn)題半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問(wèn)題主要內(nèi)容§8.3半空間體在邊界上受法向集中力如圖所示，有半空間體，體力不計(jì)，在水平邊界上受法向集中力F。顯然，它屬于空間軸對(duì)稱問(wèn)題，其對(duì)稱軸就是集中力的作用線。坐標(biāo)系如圖所示。采用按位移求解的方法，其基本未知函數(shù)只有兩個(gè)位移分量，且與環(huán)向坐標(biāo)j無(wú)關(guān)，只是徑向坐標(biāo)r和軸向坐標(biāo)z

的函數(shù)。它們必須滿足：1、在區(qū)域內(nèi)滿足用位移表示的空間軸對(duì)稱問(wèn)題的平衡微分方程，教材中的公式（a）；半空間體在邊界上受法向集中力由于集中力作用在原點(diǎn)，本題的邊界條件應(yīng)分為兩部分考慮：（1）不包含原點(diǎn)，則在r≠0

，z=0

的邊界面上，沒(méi)有任何法向和切向面力作用，因而應(yīng)力邊界條件為2、在邊界上滿足如下邊界條件：（2）在原點(diǎn)附近，可以看成是一局部的小邊界面。在此小邊界處有面力的作用，而面力可以向原點(diǎn)靜力等效為作用于原點(diǎn)的主失量為F

，主矩為0

的情形。按照圣維南原理來(lái)進(jìn)行處理，取一個(gè)0到z的平板脫離體，考慮其靜力平衡條件，得到一個(gè)平衡方程，即教材式（C）；由于軸對(duì)稱，其余平衡條件自然滿足。3、布西內(nèi)斯克滿足上述所有條件的解答：見(jiàn)教材的公式（8-6）、（8-7）（b）半空間體在邊界上受法向集中力上述解答其應(yīng)力分布特征如下：

1、在離開(kāi)集中力作用點(diǎn)非常遠(yuǎn)處，應(yīng)力非常??；在靠近集中力作用點(diǎn)處，應(yīng)力非常大。2、水平截面上的應(yīng)力與彈性參數(shù)無(wú)關(guān)，因而在任何材料的彈性體中都是同樣分布。其它截面上的應(yīng)力一般都隨泊松比而變。

3、水平截面上的全應(yīng)力都指向集中力的作用點(diǎn)。利用上述半空間體在邊界上受法向集中力時(shí)的解答，根據(jù)疊加原理，可求得由法向分布力所引起的位移和應(yīng)力解答。按位移求解空間問(wèn)題半空間體受重力和均布?jí)毫Π肟臻g體在邊界上受法向集中按應(yīng)力求解空間問(wèn)題主要內(nèi)容§8.4按應(yīng)力求解空間問(wèn)題按應(yīng)力求解：以6個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從15個(gè)基本方程和邊界條件中消去位移分量和應(yīng)變分量，導(dǎo)出只含6個(gè)應(yīng)力分量的基本微分方程和邊界條件，由此解出應(yīng)力分量。然后根據(jù)物理方程和幾何方程求應(yīng)變分量和位移分量。按應(yīng)力求解空間問(wèn)題＿具體過(guò)程以6

個(gè)應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)。為了消元，其它9個(gè)未知函數(shù)須用6

個(gè)應(yīng)力分量表示；1、三個(gè)平衡微分方程，只包含應(yīng)力分量，它是按應(yīng)力求解的最基本方程；2、從幾何方程中消除位移分量：利用幾何方程，進(jìn)行有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算，可得到6個(gè)應(yīng)變分量之間的關(guān)系式，即變形協(xié)調(diào)方程或相容方程，即教材中的式(8-10)和(8-11)；3、將物理方程(7-12)代入上述相容方程(8-10)和(8-11)

，可得用應(yīng)力分量表示的相容方程(8-12)，或無(wú)體力情況下的式(8-13)；4、假設(shè)全部邊界都為應(yīng)力邊界條件，則在邊界上應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件(7-5)；按應(yīng)力求解空間問(wèn)題＿總結(jié)空間問(wèn)題按應(yīng)力求解的方法：使6個(gè)應(yīng)力分量在區(qū)域內(nèi)滿足3個(gè)平衡微分方程(7-1)

，滿足6個(gè)相容方程(8-12)和(8-13)；同時(shí)在邊界上滿足3個(gè)應(yīng)力邊界條件(7-5)。此外，若為多連體，還必須滿足位移單值條件。求解出應(yīng)力分量后，代入物理方程求應(yīng)變分量，代入幾何方程求位移分量。按應(yīng)力求解空間問(wèn)題＿總結(jié)關(guān)于空間問(wèn)題的相容方程的幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）彈性體在滿足連續(xù)性和小變形條件