高等代數(shù)課件：正定二次型

3練習(xí)第三節(jié)正定二次型2性質(zhì)1定義定義:設(shè)實二次型f(x)=xTAx

滿足對Rn中任何非零向量x,有f(x)>0,則稱之為正定二次型,稱A為正定矩陣.若對Rn中任何非零向量x,有f(x)<0,則稱之為負(fù)定二次型,稱A為負(fù)定矩陣.注1.

正定(負(fù)定)矩陣必為實對稱矩陣.

對任何x0,

注2.

x0

xi

0,并不是

xi

0注3.

f(x)=a11x12+a22x22+…+annxn2正定

aii>0,

i=1,2,…,n.一、定義命題3.同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.命題1.可逆線性變換不改變二次型的正定性.

x

0,f(x)=xTAx>0,

x=Py,P可逆

y=P

1x

0,g(y)=yT(PTAP)y

=xTAx>0

命題2.相合矩陣的正定性也相同.設(shè)A,B正定,

則x0,xTAx>0,xTBx>0,(A+B)T=AT+BT=A+B,

x

0,xT(A+B)x=

xTAx+xTBx>0

A+B正定

A+B為實對稱的二、性質(zhì)定理.設(shè)A為n階實對稱陣,則下列命題等價:(1)A是正定矩陣;(2)A的正慣性指數(shù)為n;(3)A的特征值均大于零;(4)A與E相合;(5)存在可逆陣P,使得A=PTP.(負(fù)定)(q=n)(

i

<0)(A與

E相合)(A=

PTP)二、性質(zhì)例9.設(shè)實對稱矩陣A滿足A23A+2E=O,證明

A是正定的.

證明:設(shè)

為A的特征值,則

23

+2=0,

=1或2,因此A的所有可能特征值均大于零.所以A是正定的.二、性質(zhì)例10.設(shè)A是正定的n階實對稱矩陣,證明A+E的

行列式大于1.證明:因為A是正定的n階實對稱矩陣,所以|A+E|=(

1+1)…(

n+1)>1.所以A的n個

1,…,

n均大于零.則Q1(A+E)Q=

+E=設(shè)QTAQ=Q1AQ=

=,

1

n

1+1

n+1

,二、性質(zhì)定理.n階實對稱矩陣A是正定矩陣

A的各階順序主子式…,

2=a11

a12a21

a22,

1=a11,均大于零.

n=|A|2

6

63

2==

30,故A不是正定的.實對稱陣A負(fù)定

各階順序主子式負(fù)正相間例如A=2

64

63141

4中二階順序主子式二、性質(zhì)解：f(x)對應(yīng)的矩陣為

1=1>0,

3=|A|=

a(5a+4)>01a

a

1

2==1

a2>0,故A正定

4/5<a<0.例11.問a為何值時,二次型是正定的？A正定

A的各階順序主子式

i>0

二、性質(zhì)1.正定二次型f(x)=xTAx

滿足

x

0,有f(x)>0.2.性質(zhì)同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.可逆線性變換不改變二次型的正定性.A正定

p=n

A的特征值均大于零

A與E相合

存在可逆陣P,使得A=PTP.A正定

A的各階順序主子式均大于零.解題思想：利用實對稱陣的正交相似對角化，將問題轉(zhuǎn)化為對角陣的關(guān)系求解或證明。|A+E|=|

+E|=(

1+1)…(

n+1)二、性質(zhì)(04-05)四2.假設(shè)A,B都是n階實對稱矩陣,并且A的特征值均大于a,B的特征值均大于b,證明:A+B的特征值均大于a+b.

證明:A是n階實對稱陣,于是

1

a,…

n

a>0.則存在n階可逆陣P使得P1AP=

=則P1(A

aE)P=

aE=并且特征值

1,…,

n均大于a.所以A

aE是正定陣.

1

n

,

1

a

n

a

,三、練習(xí)(04-05)四2.假設(shè)A,B都是n階實對稱矩陣,并且A的特征值均大于a,B的特征值均大于b,證明:A+B的特征值均大于a+b.

證明(續(xù)):于是

(a+b)>0,即

>a+b.設(shè)

為A+B的任一特征值,A

aE是正定陣.

同理,B

bE是正定陣.

因為同階正定矩陣的和仍為正定矩陣.所以A+B(a+b)E也是正定陣.

則

(a+b)是A+B(a+b)E的特征值.

其特征值均大于0.三、練習(xí)(03-04)一8.已知A=

,若對任意的2維列向量

有

TA

=0,則abcd滿足條件a=d=0,b=

c.

已知是