高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)第20講　統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

第20講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．易錯(cuò)提醒(1)對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．【例1】（2024·陜西西安·二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等【變式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（

）A．140 B．240 C．280 D．320【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開(kāi)學(xué)考試）為了積極推進(jìn)國(guó)家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來(lái)取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟(jì)總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該村兩年的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多B．2023年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多C．2023年“外出務(wù)工收入”是2022年“外出務(wù)工收入”的D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多【變式3】（2024·甘肅·一模）小李一周的總開(kāi)支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開(kāi)支如圖（2）所示，則以下判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂(lè)的支出B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高考點(diǎn)二：回歸分析求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略)．(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．易錯(cuò)提醒(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．【例2】（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）某公司在x年的銷(xiāo)售額(萬(wàn)元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為，則當(dāng)關(guān)于a，b的表達(dá)式取到最小值時(shí)，（

）x201720182019202020212022A．5 B．13C．8059 D．8077【變式1】（2023·上海奉賢·三模）已知兩組數(shù)據(jù)和，其中且時(shí)，；且時(shí)，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，在集合中取一個(gè)元素作為a的值，使得相關(guān)性最強(qiáng)，則a=（

）A．8 B．11 C．12 D．13【變式2】（2024·河北·一模）集校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高（單位：167173175177178180181體重（單位：90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，其相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【變式3】（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)，設(shè)將其變換后得到線性回歸方程，則原模型中的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，考點(diǎn)三：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．易錯(cuò)提醒(1)χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性．(2)在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.01.【例3】（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題中①散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系;②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線;③回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有什么區(qū)別;④回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn).其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【變式2】（2024·廣東廣州·二模）根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A．變量與獨(dú)立B．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C．變量與不獨(dú)立D．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【變式3】（23-24高三上·四川成都·期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過(guò)程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1000名演員的學(xué)歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學(xué)歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為（

）

A．11 B．13 C．22 D．263．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．104．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了50人，得到如下結(jié)果（單位：人）不患肺癌患肺癌合計(jì)不吸煙24630吸煙61420合計(jì)302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（

）A．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)B．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)C．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)D．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)5．（2024·云南曲靖·一模）已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·四川成都·二模）高三某班學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國(guó)家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少小時(shí)，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的說(shuō)法中正確的是（

）A．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差減少B．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的方差減少C．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在小時(shí)以上的概率大于D．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在至之間7．（23-24高三上·江西·期末）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨、知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化的黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（

）A．的值為0.005 B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D．估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖分布形態(tài)中，分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源，釋放旅游消費(fèi)潛力，推動(dòng)旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，某地政府從2023年國(guó)慶期間到該地旅游的游客中，隨機(jī)抽取部分游客進(jìn)行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對(duì)景區(qū)服務(wù)是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)，得到的結(jié)論正確的是（

）A．游客中，青年人是老年人的2倍多B．老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍C．到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%D．到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過(guò)一半2．（2024·廣西南寧·一模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)隨機(jī)變量的均值為是不等于的常數(shù)，則相對(duì)于的偏離程度小于相對(duì)于的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）B．若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則所有數(shù)據(jù)都相同C．用決定系數(shù)比較兩個(gè)回歸模型的擬合效果時(shí)，越小，殘差平方和越小，模型擬合效果越好D．在對(duì)兩個(gè)分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再去判斷兩變量的關(guān)聯(lián)性時(shí)，結(jié)論不會(huì)發(fā)生改變?nèi)?、填空題1．（23-24高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）某直播間從參與購(gòu)物的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數(shù)，直方圖中.2．（23-24高三·天津?yàn)I海新·期末）下列說(shuō)法中正確的有（填正確說(shuō)法的序號(hào)）．①回歸直線恒過(guò)點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；②若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4；③已知隨機(jī)變量，且，則；④若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；⑤是用來(lái)判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)可以推斷兩個(gè)變量不相關(guān)．3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)共計(jì)105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.四、解答題1．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率.2.（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一名馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖.(1)由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程；(2)該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160次/分鐘左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次，參考公式：線性回歸方程中，，.3．（2024·黑龍江·二模）2023年是全面貫徹落實(shí)黨的二十大精神的開(kāi)局之年，也是實(shí)施“十四五”規(guī)劃承上啟下的關(guān)鍵之年，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)呈現(xiàn)穩(wěn)中有進(jìn)的可喜現(xiàn)象.某省為做好刺梨產(chǎn)業(yè)的高質(zhì)量發(fā)展，項(xiàng)目組統(tǒng)計(jì)了全省近5年刺梨產(chǎn)業(yè)綜合產(chǎn)值如下：年份代碼x，綜合產(chǎn)值y（單位：億元）年份20192020202120222023年份代碼x12345綜合產(chǎn)值y1.523.5815(1)請(qǐng)通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)，推斷y與x之間的相關(guān)程度；（若，則線性相關(guān)性程度很強(qiáng);若，則線性相關(guān)性程度一般，若，則線性相關(guān)性程度很弱.）(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)2024年該省刺梨產(chǎn)業(yè)的綜合產(chǎn)值.參考公式：樣本相關(guān)系數(shù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為，.參考數(shù)據(jù)：4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）睡眠是生命健康不可缺少的源泉，然而許多人被睡眠時(shí)長(zhǎng)過(guò)短?質(zhì)量不高等問(wèn)題所困擾.2023年3月21日是第23個(gè)世界睡眠日，這一天某研究小組隨機(jī)調(diào)查了某高校100名學(xué)生在某一天內(nèi)的睡眠情況，將所得數(shù)據(jù)按照分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求的值，并由頻率分布直方圖估計(jì)該校所有學(xué)生每一天的平均睡眠時(shí)長(zhǎng)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；(2)每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)不低于7.75小時(shí)認(rèn)定為睡眠充足，以頻率代替概率，樣本估計(jì)總體，在該高校學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，求至少有兩人每一天睡眠時(shí)長(zhǎng)充足的概率.5．（2024·安徽黃山·一模）某校高三年級(jí)名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是、、、、、．(1)求圖中的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績(jī)的第百分位數(shù)；(2)從這次數(shù)學(xué)成績(jī)位于、的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，該人中成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．第20講統(tǒng)計(jì)與成對(duì)數(shù)據(jù)的分析（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）[考情分析]高考對(duì)本講內(nèi)容的考查往往以實(shí)際問(wèn)題為背景，考查隨機(jī)抽樣與用樣本估計(jì)總體、經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解與運(yùn)用、獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題，常與概率綜合考查，中等難度．知識(shí)導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一：統(tǒng)計(jì)圖表、數(shù)字特征1．頻率分布直方圖中相鄰兩橫坐標(biāo)之差表示組距，縱坐標(biāo)表示eq\f(頻率,組距)，頻率＝組距×eq\f(頻率,組距).2．在頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.3．利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)．(1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即眾數(shù)．(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和相等．(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．易錯(cuò)提醒(1)對(duì)于給出的統(tǒng)計(jì)圖表，一定要結(jié)合問(wèn)題背景理解圖表意義．(2)頻率分布直方圖中縱坐標(biāo)不要誤以為是頻率．【例1】（2024·陜西西安·二模）某教育機(jī)構(gòu)為調(diào)查中小學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間，收集了某位學(xué)生100天每天完成作業(yè)的時(shí)間，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（每個(gè)區(qū)間均為左閉右開(kāi)），根據(jù)此直方圖得出了下列結(jié)論，其中正確的是（

）A．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有50天B．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為0.3C．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的平均數(shù)為2.75小時(shí)D．估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)與平均數(shù)相等【答案】C【分析】直接根據(jù)直方圖來(lái)計(jì)算判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)的時(shí)間在2小時(shí)至2.5小時(shí)的有天，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間超過(guò)3小時(shí)的概率為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，C正確；對(duì)于D：估計(jì)該學(xué)生每日完成作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為，則，解得，D錯(cuò)誤.故選：C.【變式1】（23-24高三上·安徽亳州·期末）如圖所示為某企業(yè)員工年齡（歲）的頻率分布直方圖，從左到右依次為第一組?第二組、……、第五組，若第五組的員工有80人，則第二組的員工人數(shù)為（

）A．140 B．240 C．280 D．320【答案】C【分析】根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，求得的值，進(jìn)一步計(jì)算即可

.【詳解】由已知得，所以，因?yàn)榈谖褰M的員工人數(shù)為80，所以第二組的員工人數(shù)為.故選：C.【變式2】（23-24高三下·內(nèi)蒙古錫林郭勒盟·開(kāi)學(xué)考試）為了積極推進(jìn)國(guó)家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某示范村不斷自主創(chuàng)新，拓寬村民增收渠道，近年來(lái)取得了顯著成效．據(jù)悉該村2023年經(jīng)濟(jì)總收入是2022年的2倍，為了更好地了解該村經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該村兩年的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如圖所示的條形圖和餅圖．則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．2023年“種植收入”和2022年“種植收入”一樣多B．2023年“養(yǎng)殖收入”與“第三產(chǎn)業(yè)收入”之和比2022年的全年總收入還多C．2023年“外出務(wù)工收入”是2022年“外出務(wù)工收入”的D．2023年“其他收入”比2022年“其他收入”的2倍還多【答案】C【分析】設(shè)2022年總收入為m，則2023年總收入為，A選項(xiàng)，分別計(jì)算出2022年和2023年種植收入，得到A正確；B選項(xiàng)，計(jì)算出，B正確；C選項(xiàng)，分別計(jì)算出2022年和2023年外出務(wù)工收入，得到C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，分別計(jì)算出2022年和2023年其他收入，得到D正確.【詳解】設(shè)2022年總收入為m，則2023年總收入為，對(duì)于A，2022年種植收入為，2023年種植收入為，A正確；對(duì)于B，2023年養(yǎng)殖收入和第三產(chǎn)業(yè)收入之和為，B正確；對(duì)于C，2022年外出務(wù)工收入為，2023年外出務(wù)工收入為，是2022年外出務(wù)工收入的，C不正確；對(duì)于D，2022年其他收入為，2023年其他收入為，由于，故2023年其他收入比2022年其他收入的2倍還多，D正確．故選：C．【變式3】（2024·甘肅·一模）小李一周的總開(kāi)支分布如圖（1）所示，其中一周的食品開(kāi)支如圖（2）所示，則以下判斷錯(cuò)誤的是（

）

A．小李這一周用于肉蛋奶的支出高于用于娛樂(lè)的支出B．小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中是最少的C．小李這一周用于主食的支出比用于通信的支出高D．小李這一周用于主食和蔬菜的總支出比日常支出高【答案】D【分析】條形圖各支出占食品支出的比例乘以即是條形圖各支出占總支出的比例，由此關(guān)系即可逐一判斷每一個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，肉蛋奶的支出占食品開(kāi)支的，從而小李這一周用于肉蛋奶的支出占比（總開(kāi)支是單位1）與用于娛樂(lè)的支出占比（總開(kāi)支是單位1）大小關(guān)系為，故A描述正確，不符合題意；對(duì)于B，小李這一周用于食品中其他類的支出在總支出中占比為，對(duì)比其他類型的支出占比可知，B描述正確，不符合題意；對(duì)于C，小李這一周用于主食的支出占比（總開(kāi)支是單位1）與通信的支出占比（總開(kāi)支是單位1）的大小關(guān)系為，，故C描述正確，不符合題意；對(duì)于D，小李這一周用于主食和蔬菜的總支出占比（總開(kāi)支是單位1）與日常支出占比（總開(kāi)支是單位1）的大小關(guān)系為，，故D描述錯(cuò)誤，符合題意.故選：D.考點(diǎn)二：回歸分析求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的步驟(1)依據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖，確定兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系(有時(shí)可省略)．(2)計(jì)算出eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)).(3)寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．易錯(cuò)提醒(1)樣本點(diǎn)不一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，但點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))一定在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上．(2)求eq\o(b,\s\up6(^))時(shí)，靈活選擇公式，注意公式的推導(dǎo)和記憶．(3)利用樣本相關(guān)系數(shù)判斷相關(guān)性強(qiáng)弱時(shí)，看|r|的大小，而不是r的大?。?4)區(qū)分樣本相關(guān)系數(shù)r與決定系數(shù)R2.(5)通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程求的都是估計(jì)值，而不是真實(shí)值．【例2】（22-23高三下·浙江杭州·階段練習(xí)）某公司在x年的銷(xiāo)售額(萬(wàn)元)如下表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)用最小二乘法得到的回歸方程為，則當(dāng)關(guān)于a，b的表達(dá)式取到最小值時(shí)，（

）x201720182019202020212022A．5 B．13C．8059 D．8077【答案】D【分析】表達(dá)式表示的是樣本點(diǎn)與回歸直線方程的整體接近程度，故可根據(jù)此意義逆向分析的意義，結(jié)合條件即可解決之.【詳解】由題意得，，表示樣本點(diǎn)與回歸直線的整體接近程度，且由樣本點(diǎn)構(gòu)成的表為k123456對(duì)應(yīng)的回歸直線方程為：，由表知，所以，由題意可知：在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)是將樣本點(diǎn)整體向左平移了2016個(gè)單位，故取到最小值時(shí)，回歸直線與必平行，則有，所以，所以.故選：D.【變式1】（2023·上海奉賢·三模）已知兩組數(shù)據(jù)和，其中且時(shí)，；且時(shí)，，，我們研究這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性，在集合中取一個(gè)元素作為a的值，使得相關(guān)性最強(qiáng)，則a=（

）A．8 B．11 C．12 D．13【答案】B【分析】根據(jù)相關(guān)性與線性回歸方程的關(guān)系即可得到答案.【詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，且，由題意得前9個(gè)點(diǎn)位于直線上，面，則要使相關(guān)性更強(qiáng)，應(yīng)更接近10，四個(gè)選項(xiàng)中11更接近10，故選：B.【變式2】（2024·河北·一模）集校為了解本校高一男生身高和體重的相關(guān)關(guān)系，在該校高一年級(jí)隨機(jī)抽取了7名男生，測(cè)量了他們的身高和體重得下表：身高（單位：167173175177178180181體重（單位：90545964677276由表格制作成如圖所示的散點(diǎn)圖：

由最小二乘法計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，其相關(guān)系數(shù)為；經(jīng)過(guò)殘差分析，點(diǎn)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大，把它去掉后，再用剩下的6組數(shù)據(jù)計(jì)算得到經(jīng)驗(yàn)回歸直線的方程為，相關(guān)系數(shù)為.則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)的特點(diǎn)判斷斜率和截距；由于去掉，其它點(diǎn)的線性關(guān)系更強(qiáng)，從而可判斷相關(guān)系數(shù)．【詳解】身高的平均數(shù)為，因?yàn)殡x群點(diǎn)的橫坐標(biāo)167小于平均值176，縱坐標(biāo)90相對(duì)過(guò)大，所以去掉后經(jīng)驗(yàn)回歸直線的截距變小而斜率變大，故去掉后相關(guān)性更強(qiáng)，擬合效果也更好，且還是正相關(guān)，，故選：A．【變式3】（22-23高三上·四川成都·階段練習(xí)）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)，設(shè)將其變換后得到線性回歸方程，則原模型中的值分別是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的公式可得，再結(jié)合線性回歸方程即可求解.【詳解】?jī)蛇吶?duì)數(shù)，可得，令可得∵線性回歸方程∴，解得.故選：B.考點(diǎn)三：獨(dú)立性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表．(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，計(jì)算χ2的值．(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)判斷．χ2越大，對(duì)應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨(dú)立)的概率越小，H0不成立的概率越大．易錯(cuò)提醒(1)χ2越大兩分類變量無(wú)關(guān)的可能性越小，推斷犯錯(cuò)誤的概率越小，通過(guò)表格查得無(wú)關(guān)的可能性．(2)在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01的前提下認(rèn)為兩個(gè)變量有關(guān)，并不是指兩個(gè)變量無(wú)關(guān)的可能性為0.01.【例3】（2024·寧夏銀川·一模）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30合計(jì)附：P（K2≥k0）0.050.0250.0100.005k03.8415.0246.6357.879已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”D．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按97.5%的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”【答案】C【分析】根據(jù)題中條件計(jì)算可判斷選項(xiàng)A、B；根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出的值，即可判斷選項(xiàng)C,D.【詳解】由題意知，成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是，成績(jī)非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75，所以，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤；根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到因此有97.5%的把握認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.故C正確，D錯(cuò)誤，故選：C.【變式1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列命題中①散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系;②回歸直線就是散點(diǎn)圖中經(jīng)過(guò)樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)最多的那條直線;③回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)沒(méi)有什么區(qū)別;④回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn).其中正確的命題個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用散點(diǎn)圖、回歸直線、獨(dú)立性檢驗(yàn)的知識(shí)分析判斷各個(gè)命題即得.【詳解】散點(diǎn)圖可以直觀地判斷兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系,故①正確;回歸直線可以不經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的任何一個(gè)點(diǎn),故②錯(cuò)誤;回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法,獨(dú)立性檢驗(yàn)是對(duì)兩個(gè)變量是否具有某種關(guān)系的分析,故③錯(cuò)誤;回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn),故④正確.所以正確的命題個(gè)數(shù)為個(gè).故選:B.【變式2】（2024·廣東廣州·二模）根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到.依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，結(jié)論為（

）A．變量與獨(dú)立B．變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)C．變量與不獨(dú)立D．變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)【答案】A【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，依?jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們認(rèn)為變量與獨(dú)立，故選：A.【變式3】（23-24高三上·四川成都·期末）在某病毒疫苗的研發(fā)過(guò)程中，需要利用基因編輯小鼠進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn).現(xiàn)隨機(jī)抽取100只基因編輯小鼠對(duì)該病毒疫苗進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗1050未注射疫苗3050合計(jì)301000.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828計(jì)算可知，根據(jù)小概率值______的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“給基因編輯小鼠注射該種疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”（

）附：，.A．0.001 B．0.05 C．0.01 D．0.005【答案】B【分析】計(jì)算卡方，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的概念判斷即可.【詳解】完善列聯(lián)表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合計(jì)注射疫苗104050未注射疫苗203050合計(jì)3070100假設(shè)：“給基因編輯小鼠注射該疫苗不能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.因?yàn)椋?，而，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立.即認(rèn)為“給基因編輯小鼠注射該疫苗能起到預(yù)防該病毒感染的效果”.故選：B強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（23-24高三下·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)（

）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)與臨界值的大小關(guān)系確定犯錯(cuò)誤的概率的范圍.【詳解】因?yàn)椋Y(jié)合表格可知，所以認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010.故選：B．2．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）某機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了1000名演員的學(xué)歷情況，制作出如圖所示的餅狀圖，其中本科學(xué)歷的人數(shù)為630.現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為（

）

A．11 B．13 C．22 D．26【答案】D【分析】由餅狀圖先算出碩士學(xué)歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比，進(jìn)一步結(jié)合分層抽樣的方法即可求解.【詳解】由題意碩士學(xué)歷的人數(shù)與總?cè)藬?shù)1000之比為，現(xiàn)按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取200人，則抽取的碩士學(xué)歷的人數(shù)為.故選：D.3．（21-22高二下·山東濱州·期末）針對(duì)時(shí)下的“短視頻熱”，某高校團(tuán)委對(duì)學(xué)生性別和喜歡短視頻是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男生?女生人數(shù)均為人，男生中喜歡短視頻的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生中喜歡短視頻的人數(shù)占女生人數(shù)的.零假設(shè)為：喜歡短視頻和性別相互獨(dú)立.若依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，則的最小值為（）附：，附表：0.050.013.8416.635A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由已知數(shù)據(jù)計(jì)算，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)論，列不等式求的取值范圍，得最小值.【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，于是，由于依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡短視頻和性別不獨(dú)立，根據(jù)表格可知，解得，于是最小值為.故選：C4．（23-24高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）為調(diào)查吸煙是否對(duì)患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了50人，得到如下結(jié)果（單位：人）不患肺癌患肺癌合計(jì)不吸煙24630吸煙61420合計(jì)302050根據(jù)表中數(shù)據(jù)，以下敘述正確的是：（

）A．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)B．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)C．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：有的把握認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)D．可以通過(guò)計(jì)算，結(jié)合統(tǒng)計(jì)決斷，判斷：不能否定吸煙與肺癌無(wú)關(guān)【答案】C【分析】利用卡方計(jì)算公式求得，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)中的意義即可得解.【詳解】由題意，得，則，所以有的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)有關(guān)”.故選：C.5．（2024·云南曲靖·一模）已知變量關(guān)于的回歸方程為，若對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)與線性相關(guān)．現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)如下表所示：12345則當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，可得出，求出、的值，將、的值代入，求出的值，可得出變量關(guān)于的回歸方程，然后令，可得出的值.【詳解】令，由可得，如下表所示：由表格中的數(shù)據(jù)可得，，則有，解得，故，當(dāng)時(shí)，.故選：C.6．（2024·四川成都·二模）高三某班學(xué)生每天完成作業(yè)所需的時(shí)間的頻率分布直方圖如圖，為響應(yīng)國(guó)家減負(fù)政策，若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少小時(shí)，則減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的說(shuō)法中正確的是（

）A．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差減少B．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的方差減少C．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在小時(shí)以上的概率大于D．減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在至之間【答案】D【分析】根據(jù)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)判斷A、B，由頻率分布直方圖分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在小時(shí)以上的概率，即可判斷C，分析減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于之間，即可判斷D.【詳解】依題意若每天作業(yè)布置量在此基礎(chǔ)上減少小時(shí)，則平均數(shù)減小小時(shí)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差均不變，故A、B錯(cuò)誤；減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間在小時(shí)以上的概率為，所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間在小時(shí)以上的概率為，故C錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可得，，所以減負(fù)前完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)位于之間，所以減負(fù)后完成作業(yè)的時(shí)間的中位數(shù)在至之間，故D正確.故選：D7．（23-24高三上·江西·期末）為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨、知史愛(ài)國(guó)的熱情，某校舉辦了“學(xué)黨史、育文化的黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將1000名師生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分，成績(jī)?nèi)≌麛?shù)）整理成如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（

）A．的值為0.005 B．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75分C．估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為85分 D．估計(jì)成績(jī)低于60分的有250人【答案】C【分析】由頻率分布直方圖面積之和為1可計(jì)算從而判斷A，由眾數(shù)定義可判斷B，計(jì)算低于60（分）的人數(shù)即可判斷D，根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算即可判斷C．【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可知：，即，故A正確；由圖易得在區(qū)間,的人最多，故可估計(jì)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為75，故B正確；，故成績(jī)低于60（分）的有250人，即D正確；由圖中前四組面積之和為：，圖中前五組面積之和為：，故這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)在第五組數(shù)據(jù)中，設(shè)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為，則有，故，即估計(jì)這組數(shù)據(jù)的第85百分位數(shù)為86分，故C錯(cuò)誤．故選：C．8．（23-24高三上·浙江紹興·期末）平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫(huà)一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的信息，它們的大小關(guān)系和數(shù)據(jù)分布的形態(tài)有關(guān).在下圖分布形態(tài)中，分別對(duì)應(yīng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)直方圖矩形高低以及數(shù)據(jù)的分布趨勢(shì)，判斷即可得出結(jié)論.【詳解】眾數(shù)是最高矩形的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，因此眾數(shù)在第二列的中點(diǎn)處.因?yàn)橹狈綀D第一、二、三、四列高矩形較多，且在右邊拖尾低矩形有三列，所以中位數(shù)大于眾數(shù)，右邊拖尾的有三列，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，因此有.故選：C.二、多選題1．（23-24高三上·廣東深圳·期末）為豐富優(yōu)質(zhì)旅游資源，釋放旅游消費(fèi)潛力，推動(dòng)旅游業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，某地政府從2023年國(guó)慶期間到該地旅游的游客中，隨機(jī)抽取部分游客進(jìn)行調(diào)查，得到各年齡段游客的人數(shù)和對(duì)景區(qū)服務(wù)是否滿意的數(shù)據(jù)，并繪制統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖估計(jì)，得到的結(jié)論正確的是（

）A．游客中，青年人是老年人的2倍多B．老年人的滿意人數(shù)是青年人的2倍C．到該地旅游的游客中滿意的中年人占總游客人數(shù)的24.5%D．到該地旅游的游客滿意人數(shù)超過(guò)一半【答案】ACD【分析】根據(jù)題意結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖表逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知青年人占比是老年人占比的2倍多，故A正確；其中滿意的青年人占總?cè)藬?shù)的，滿意的中年人占總?cè)藬?shù)的，滿意的老年人占總?cè)藬?shù)的，故B錯(cuò)誤，C正確；總滿意率為，故D正確.故選：.2．（2024·廣西南寧·一模）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為12B．若樣本數(shù)據(jù)的方差為8，則數(shù)據(jù)的方差為2C．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則D．在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立【答案】BC【分析】對(duì)A，根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可；對(duì)B，根據(jù)方差的公式推導(dǎo)數(shù)據(jù)的方差與的方差關(guān)系求解即可；對(duì)C，根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性推導(dǎo)即可；對(duì)D，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)A，由于共10個(gè)數(shù)據(jù)，且，故第40百分位數(shù)為第4，5個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，所以，故B正確；對(duì)C，則，即，由正態(tài)分布的性質(zhì)可得，故C正確；對(duì)D，在獨(dú)立性檢驗(yàn)中，零假設(shè)為：分類變量和獨(dú)立．基于小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)規(guī)則是：當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立.故D錯(cuò)誤.故選：BC3．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．設(shè)隨機(jī)變量的均值為是不等于的常數(shù)，則相對(duì)于的偏離程度小于相對(duì)于的偏離程度（偏離程度用差的平方表示）B．若一組數(shù)據(jù)的方差為0，則所有數(shù)據(jù)都相同C．用決定系數(shù)比較兩個(gè)回歸模型的擬合效果時(shí)，越小，殘差平方和越小，模型擬合效果越好D．在對(duì)兩個(gè)分類變量進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再去判斷兩變量的關(guān)聯(lián)性時(shí)，結(jié)論不會(huì)發(fā)生改變【答案】AB【分析】根據(jù)均值的性質(zhì)，方差的公式及決定系數(shù)的含義可判斷A，B，C；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的含義可判斷D.【詳解】對(duì)于：由均值的性質(zhì)可知，由于是不等于的常數(shù)，故可得，即相對(duì)于的偏離程度小于相對(duì)于的偏離程度，A正確；對(duì)于：根據(jù)方差公式，可知若一組數(shù)據(jù)，的方差為0，則正確；對(duì)于：由決定系數(shù)的定義可知，錯(cuò)誤；對(duì)于D：如果列聯(lián)表中所有數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則的值變?yōu)樵瓉?lái)的10倍，在相同的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)下，再去判斷兩變量的關(guān)聯(lián)性時(shí)，結(jié)論可能發(fā)生改變，D錯(cuò)誤，故選：AB.三、填空題1．（23-24高三下·北京海淀·開(kāi)學(xué)考試）某直播間從參與購(gòu)物的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則在這200人中年齡在的人數(shù)，直方圖中.【答案】【分析】利用頻率分布直方圖求出年齡在的頻率即可求出；由各小矩形面積和為1求出.【詳解】由頻率分布直方圖知，年齡在的頻率為，所以；由于，所以.故答案為：30；0.0352．（23-24高三·天津?yàn)I海新·期末）下列說(shuō)法中正確的有（填正確說(shuō)法的序號(hào)）．①回歸直線恒過(guò)點(diǎn)，且至少過(guò)一個(gè)樣本點(diǎn)；②若樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為4；③已知隨機(jī)變量，且，則；④若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱；⑤是用來(lái)判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)的隨機(jī)變量，當(dāng)?shù)闹岛苄r(shí)可以推斷兩個(gè)變量不相關(guān)．【答案】②③【分析】根據(jù)線性回歸方程的概念可以判斷①，根據(jù)方差的性質(zhì)可以判斷②，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可以判斷③，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念可以判斷④，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本概念可以判斷⑤.【詳解】因?yàn)榛貧w直線可以不過(guò)樣本點(diǎn)，所以①錯(cuò)誤；由于，所以數(shù)據(jù)的方差為16，故標(biāo)準(zhǔn)差為4，因此②正確；根據(jù)正態(tài)分布的概念，，故，即，故，因此③正確；根據(jù)相關(guān)系數(shù)的概念，若線性相關(guān)系數(shù)越接近1，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故④錯(cuò)誤；的值很小時(shí)只能說(shuō)明兩個(gè)變量的相關(guān)性不強(qiáng)，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：②③3．（23-24高三上·寧夏銀川·階段練習(xí)）有甲、乙兩個(gè)班級(jí)共計(jì)105人進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(jī)，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班10b乙班c30附:其中.0.100.050.0250.0100.00050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，則下列說(shuō)法正確的是①列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35；②列聯(lián)表中c的值為20，b的值為45；③根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；④根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按的可靠性要求，不能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”.【答案】②③【分析】由成績(jī)優(yōu)秀的概率，可求的成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，進(jìn)而求出非優(yōu)秀人數(shù)，得到的值，計(jì)算的觀測(cè)值，對(duì)照題目中的表格，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，在全部的105人中隨機(jī)抽取1人，成績(jī)優(yōu)秀的概率為，所以成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)為人，非優(yōu)秀的人數(shù)為人，所以，故①錯(cuò)誤，②正確；則，若按的可靠性要求，能認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”，故③正確，④錯(cuò)誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：熟練掌握的計(jì)算方法是本題解決的關(guān)鍵.四、解答題1．（2024·貴州畢節(jié)·二模）某地區(qū)工會(huì)利用“健步行APP”開(kāi)展健步走活動(dòng).為了解會(huì)員的健步走情況，工會(huì)在某天從系統(tǒng)中抽取了100名會(huì)員，統(tǒng)計(jì)了當(dāng)天他們的步數(shù)（千步為單位），并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，…，，九組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)；(2)據(jù)統(tǒng)計(jì)，在樣本數(shù)據(jù)，，的會(huì)員中體檢為“健康”的比例分別為，，，以頻率作為概率，估計(jì)在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人，體檢為“健康”的概率.【答案】(1)14.5(2)0.38【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和總體百分位數(shù)的定義直接求解即可.（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，先求出對(duì)應(yīng)概率，即可求解體檢為“健康”的概率.【詳解】（1）解：（1）由于在的樣本數(shù)據(jù)比例為：∴樣本數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)在內(nèi)∴估計(jì)為：.（2）（2）設(shè)任取的會(huì)員數(shù)據(jù)在，，中分別為事件，，，∴，，設(shè)事件在該地區(qū)工會(huì)會(huì)員中任取一人體檢為“健康”.2.（2024·寧夏吳忠·模擬預(yù)測(cè)）配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，