高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)培優(yōu)全攻略(新高考專用)培優(yōu)點(diǎn)07　隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形(3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練)(原卷版+解析)

培優(yōu)點(diǎn)07隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形，這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一隱圓(阿波羅尼斯圓)“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓．規(guī)律方法對于動點(diǎn)的軌跡問題，一是利用曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義識別動點(diǎn)的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過方程識別軌跡．【例1】(多選）（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值m（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，點(diǎn)P滿足．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．軌跡C的方程為B．軌跡C與圓M：有兩條公切線C．軌跡C與圓O：的公共弦所在直線方程為D．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線PO是∠APB的平分線【變式1】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知動點(diǎn)P在棱長為6的正方體的一個側(cè)面上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【變式2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)，則所有滿足且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為6的正方體表面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【變式3】(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1,0)，B(2,0)，動點(diǎn)C滿足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直線l：mx－y＋m＋1＝0，則()A．動點(diǎn)C的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4B．直線l與動點(diǎn)C的軌跡一定相交C．動點(diǎn)C到直線l距離的最大值為eq\r(2)＋1D．若直線l與動點(diǎn)C的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝2eq\r(2)，則m＝－1考點(diǎn)二蒙日圓在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓．設(shè)P為蒙日圓上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn)．性質(zhì)1PA⊥PB.性質(zhì)2kOP·kAB＝－eq\f(b2,a2).性質(zhì)3kOA·kPA＝－eq\f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq\f(b2,a2)(垂徑定理的推廣)．性質(zhì)4PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.性質(zhì)5延長PA，PB交蒙日圓O于兩點(diǎn)C，D，則CD∥AB.性質(zhì)6S△AOB的最大值為eq\f(ab,2)，S△AOB的最小值為eq\f(a2b2,a2＋b2).性質(zhì)7S△APB的最大值為eq\f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值為eq\f(b4,a2＋b2).規(guī)律方法蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時才有蒙日圓)．拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x＝－eq\f(p,2)(可以看作半徑無窮大的圓)．【例2】（23-24高三上·安徽·期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓及其蒙日圓，點(diǎn)均為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，若與的面積比為，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【變式1】（多選）（2024·山西呂梁·一模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（

）A．直線與蒙日圓相切B．橢圓的蒙日圓方程為C．若點(diǎn)是橢圓的蒙日圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點(diǎn)，則的長恒為4D．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為【變式2】（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(1)證明：，的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.【變式3】(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1都只有一個公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.(1)若A(－2,0)，求直線l1，l2的方程；(2)①求證：對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立；②求△AMN面積的取值范圍．【變式4】定義橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的“蒙日圓”的方程為x2＋y2＝a2＋b2，已知橢圓C的長軸長為4，離心率為e＝eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程；(2)過“蒙日圓”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓C的一條切線MA，A為切點(diǎn)，延長MA與“蒙日圓”E交于點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設(shè)為k1，k2，證明：k1·k2為定值．考點(diǎn)三阿基米德三角形拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線MQ平行于拋物線的軸．性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線．性質(zhì)3拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于Q點(diǎn)的軌跡．性質(zhì)4若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)(若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a))).性質(zhì)5底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p).性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2.規(guī)律方法(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì)；(2)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日圓．【例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.【變式1】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個不同的點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦過點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點(diǎn)處的切線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值為4【變式3】(多選)(2023·南平模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P.下面關(guān)于△PAB的描述正確的是()A．點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上B．AP⊥PBC．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為eq\f(p2,2)D．PF⊥AB【變式4】已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上的點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·四川·三模）19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．2．（2023·青海西寧·二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2023·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)4．（2023·海南·模擬預(yù)測）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．85．（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓．在圓上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．（2023·廣西·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)到，的距離比為，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值是（

）A． B． C． D．7．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，得到動點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對任意實(shí)數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題1．（22-23高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心,這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為182．（22-23高三上·云南保山·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線與圓外切C．曲線被直線截得的弦長為D．曲線上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為13．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（

）

A．若弦過焦點(diǎn)，則為直角三角形且B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．的邊所在的直線方程為D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）三、填空題1．（23-24高三上·廣東湛江·期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為.2．（23-24高三上·河北滄州·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.已知，Q為直線上的動點(diǎn)，為圓上的動點(diǎn)，則的最小值為.3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形．設(shè)拋物線為，弦AB過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為．四、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡是橢圓．(1)求該橢圓的方程．(2)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日（1746—1818）發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一動點(diǎn)，直線與橢圓的蒙日圓相交于點(diǎn)，求證：為定值．2．（23-24高三下·山東青島·開學(xué)考試）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書中．阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，阿波羅尼斯圓指的是已知動點(diǎn)與兩定點(diǎn)Q，的距離之比（且），是一個常數(shù)，那么動點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓，圓心在直線上．已知動點(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，定點(diǎn)分別為橢圓：的右焦點(diǎn)與右頂點(diǎn)，且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)如圖，過右焦點(diǎn)斜率為的直線與橢圓相交于，（點(diǎn)在x軸上方），點(diǎn)，是橢圓上異于，的兩點(diǎn)，平分，平分.①求的取值范圍；②設(shè)、的面積分別為、，當(dāng)時，求直線的方程.3．（2023·陜西西安·一模）數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙曲線中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個圓被稱為蒙日圓.已知雙曲線的實(shí)軸長為，其蒙日圓方程為.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，不過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，求直線的斜率值.4．（2023·河南·模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓.橢圓過，.(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點(diǎn)，若，存在，證明：為定值.5．（2023·廣西·模擬預(yù)測）在橢圓：（）中，其所有外切矩形的頂點(diǎn)在一個定圓：上，稱此圓為橢圓的蒙日圓．橢圓過，(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓的蒙日圓上一點(diǎn)，作橢圓的一條切線，與蒙日圓交于另一點(diǎn)，若，存在．證明：為定值．培優(yōu)點(diǎn)07隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形（3大考點(diǎn)+強(qiáng)化訓(xùn)練）在近幾年全國各地的解析幾何試題中可以發(fā)現(xiàn)許多試題涉及到隱圓、蒙日圓與阿基米德三角形，這些問題聚焦了軌跡方程、定值、定點(diǎn)、弦長、面積等解析幾何的核心問題，難度為中高檔．知識導(dǎo)圖考點(diǎn)分類講解考點(diǎn)一隱圓(阿波羅尼斯圓)“阿波羅尼斯圓”的定義：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A(－a,0)，B(a,0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(λ2＋1,λ2－1)a，0))為圓心，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2aλ,λ2－1)))為半徑的圓，即為阿波羅尼斯圓．規(guī)律方法對于動點(diǎn)的軌跡問題，一是利用曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)的定義識別動點(diǎn)的軌跡，二是利用直接法求出方程，通過方程識別軌跡．【例1】(多選）（2023·貴州銅仁·模擬預(yù)測）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)A，B的距離之比為定值m（且）的點(diǎn)的軌跡是圓”．人們將這個圓以他的名字命名為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，點(diǎn)P滿足．設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（

）A．軌跡C的方程為B．軌跡C與圓M：有兩條公切線C．軌跡C與圓O：的公共弦所在直線方程為D．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線PO是∠APB的平分線【答案】ACD【分析】設(shè)，根據(jù)題意運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式列出方程，化簡得軌跡C的方程，可判斷選項A；判斷兩圓的位置關(guān)系即可判斷選項B；根據(jù)兩圓公共弦的求法可判斷選項C；由角平分線定理的逆定理可判斷選項D.【詳解】如圖：對于選項A，因?yàn)樵谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，，，點(diǎn)滿足.設(shè)，則，化簡可得，故選項A正確；對于選項B，由可得圓心，半徑；由圓M：可得圓心，半徑.由兩點(diǎn)間距離公式得，即.所以兩圓外切，有3條公切線，故選項B錯誤；對于選項C，因?yàn)?，所以兩圓相交.則兩圓方程相減可得：它們的公共弦所在直線方程為，故選項C正確；對于選項D，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓C上.，即.所以由角平分線定理的逆定理可得：當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線是的平分線，故D正確.故選：ACD．【變式1】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)A，B，則所有滿足（且）的點(diǎn)P的軌跡是一個圓心在直線AB上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知動點(diǎn)P在棱長為6的正方體的一個側(cè)面上運(yùn)動，且滿足，則點(diǎn)P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)阿氏圓的定義分析得P點(diǎn)軌跡為球與側(cè)面的交線，計算其弧長即可【詳解】在圖1中，以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示，設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為r.因?yàn)椋?，所?設(shè)圓O與AB交于點(diǎn)M.由阿氏圓性質(zhì)，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以點(diǎn)P在空間內(nèi)的軌跡為以O(shè)為球心，半徑為4的球.當(dāng)點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部時，如圖2所示，截面圓與，分別交于點(diǎn)M，R，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)的軌跡為.因?yàn)樵谥?，，，所以，所以，所以點(diǎn)P在側(cè)面內(nèi)部的軌跡長為.

故選：B.【變式2】（2023·四川成都·模擬預(yù)測）已知平面上兩定點(diǎn)，則所有滿足且的點(diǎn)的軌跡是一個圓心在直線上，半徑為的圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿氏圓.已知棱長為6的正方體表面上的動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得點(diǎn)在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為4的球.再根據(jù)球的性質(zhì)求解即可.【詳解】在圖1中，以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖2所示，設(shè)阿氏圓圓心為，半徑為.因?yàn)?，所以，所?設(shè)圓與交于點(diǎn).由阿氏圓性質(zhì)，知.又，所以.又，所以，解得，所以，所以點(diǎn)在空間內(nèi)的軌跡為以為球心，半徑為4的球.①當(dāng)點(diǎn)在面內(nèi)部時，如圖2所示，截面圓與分別交于點(diǎn)，所以點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡為.因?yàn)樵赗t中，，所以，所以，所以點(diǎn)在面內(nèi)部的軌跡長為.②同理，點(diǎn)在面內(nèi)部的軌跡長為.③當(dāng)點(diǎn)在面內(nèi)部時，如圖3所示，因?yàn)槠矫?，所以平面截球所得小圓是以為圓心，以長為半徑的圓，截面圓與分別交于點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在面內(nèi)的軌跡為，且.綜上，點(diǎn)的軌跡長度為.

故選：C【變式3】(多選)在平面直角坐標(biāo)系中，A(－1,0)，B(2,0)，動點(diǎn)C滿足eq\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，直線l：mx－y＋m＋1＝0，則()A．動點(diǎn)C的軌跡方程為(x＋2)2＋y2＝4B．直線l與動點(diǎn)C的軌跡一定相交C．動點(diǎn)C到直線l距離的最大值為eq\r(2)＋1D．若直線l與動點(diǎn)C的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|＝2eq\r(2)，則m＝－1【答案】ABD【解析】對于A選項，設(shè)C(x，y)．因?yàn)閑q\f(|CA|,|CB|)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(\r(x＋12＋y2),\r(x－22＋y2))＝eq\f(1,2)，所以x2＋y2＋4x＝0，即(x＋2)2＋y2＝4，動點(diǎn)C的軌跡為以N(－2,0)為圓心，2為半徑的圓，故A正確；對于B選項，因?yàn)橹本€l過定點(diǎn)M(－1,1)，而點(diǎn)M(－1,1)在圓N內(nèi)，所以直線l與圓N相交，故B正確；對于C選項，當(dāng)直線l與NM垂直時，動點(diǎn)C到直線l的距離最大，且最大值為r＋|NM|＝2＋eq\r(2)，故C錯誤；對于D選項，記圓心N到直線l的距離為d，則d＝eq\f(|m－1|,\r(m2＋1)).因?yàn)閨PQ|2＝4(r2－d2)＝8.又r＝2，所以d＝eq\r(2).由eq\f(m－12,m2＋1)＝2，得m＝－1，故D正確．考點(diǎn)二蒙日圓在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，它的圓心是橢圓的中心，半徑等于橢圓長半軸與短半軸平方和的算術(shù)平方根，這個圓叫蒙日圓．設(shè)P為蒙日圓上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的兩條切線，交橢圓于點(diǎn)A，B，O為原點(diǎn)．性質(zhì)1PA⊥PB.性質(zhì)2kOP·kAB＝－eq\f(b2,a2).性質(zhì)3kOA·kPA＝－eq\f(b2,a2)，kOB·kPB＝－eq\f(b2,a2)(垂徑定理的推廣)．性質(zhì)4PO平分橢圓的切點(diǎn)弦AB.性質(zhì)5延長PA，PB交蒙日圓O于兩點(diǎn)C，D，則CD∥AB.性質(zhì)6S△AOB的最大值為eq\f(ab,2)，S△AOB的最小值為eq\f(a2b2,a2＋b2).性質(zhì)7S△APB的最大值為eq\f(a4,a2＋b2)，S△APB的最小值為eq\f(b4,a2＋b2).規(guī)律方法蒙日圓在雙曲線、拋物線中的推廣雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是蒙日圓：x2＋y2＝a2－b2(只有當(dāng)a>b時才有蒙日圓)．拋物線y2＝2px(p>0)的兩條互相垂直的切線PA，PB交點(diǎn)P的軌跡是該拋物線的準(zhǔn)線：x＝－eq\f(p,2)(可以看作半徑無窮大的圓)．【例2】（23-24高三上·安徽·期末）法國數(shù)學(xué)家蒙日發(fā)現(xiàn)橢圓兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓及其蒙日圓，點(diǎn)均為蒙日圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，若與的面積比為，則的離心率為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由蒙日圓的方程求得的坐標(biāo)，可得直線的方程，聯(lián)立橢圓的方程，求出的橫坐標(biāo)，再結(jié)合條件，即可得到，從而求出結(jié)果.【詳解】由題知，蒙日圓為，設(shè)，則直線的方程為，由，消得到，顯然有，解得，又與的面積比為，所以，又，，所以，得到，所以，

故選：C.【變式1】（多選）（2024·山西呂梁·一模）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同中心的圓上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)在橢圓上，直線，則（

）A．直線與蒙日圓相切B．橢圓的蒙日圓方程為C．若點(diǎn)是橢圓的蒙日圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，分別交蒙日圓于兩點(diǎn)，則的長恒為4D．記點(diǎn)到直線的距離為，則的最小值為【答案】AC【分析】根據(jù)蒙日圓的概念求出蒙日圓的方程判斷AB，根據(jù)圓的性質(zhì)判斷C，根據(jù)橢圓的定義和點(diǎn)到直線的距離公式判斷D.【詳解】當(dāng)兩切線分別與兩坐標(biāo)軸垂直時，兩切線的方程分別為、，所以點(diǎn)在蒙日圓上，故蒙日圓的方程為，又由題意可得，，結(jié)合解得，，對于A選項，蒙日圓圓心到直線的距離為，所以，直線與蒙日圓相切，故A正確；對于B選項，的蒙日圓的方程為，故B錯誤；對于C選項，由題意可知，，所以為蒙日圓的直徑，，故C正確；對于D選項，由橢圓的定義可得，，所以，，直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D錯誤；故選：AC【變式2】（2024·河南南陽·一模）在橢圓(雙曲線)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上，該圓的圓心是橢圓(雙曲線)的中心，半徑等于橢圓(雙曲線)長半軸(實(shí)半軸)與短半軸(虛半軸)平方和(差)的算術(shù)平方根，則這個圓叫蒙日圓.已知橢圓的蒙日圓的面積為，該橢圓的上頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為，且，設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（不與兩點(diǎn)重合）且直線.(1)證明：，的交點(diǎn)在直線上;(2)求直線圍成的三角形面積的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題意求橢圓方程，設(shè)直線，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理分析證明；（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，可得，結(jié)合韋達(dá)定理求得的最小值為，即可得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，蒙日圓的半徑為，所以.因?yàn)?，可知，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可知直線的斜率存在，且直線與橢圓必相交，可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去可得，由根與系數(shù)的關(guān)系可得：因?yàn)?，可得直線，直線，所以即，解得，所以直線的交點(diǎn)在直線上.（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)分別為，則由（1）可知：直線，直線.聯(lián)立方程和，解得因?yàn)?，又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，可得，只需求的最小值.由弦長公式可得令，則.可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.即的最小值為，可得面積的最小值為.故直線圍成的三角形面積的最小值為.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法：（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．【變式3】(2023·合肥模擬)已知A是圓x2＋y2＝4上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)A作兩條直線l1，l2，它們與橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1都只有一個公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn)M，N.(1)若A(－2,0)，求直線l1，l2的方程；(2)①求證：對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立；②求△AMN面積的取值范圍．【解析】(1)解設(shè)直線的方程為y＝k(x＋2)，代入橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1，消去y，可得(1＋3k2)x2＋12k2x＋12k2－3＝0，由Δ＝0，可得k2－1＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1＝－1，k2＝1，∴直線l1，l2的方程分別為y＝－x－2，y＝x＋2.(2)①證明當(dāng)直線l1，l2的斜率有一條不存在時，不妨設(shè)l1的斜率不存在，∵l1與橢圓只有一個公共點(diǎn)，∴其方程為x＝±eq\r(3)，當(dāng)l1的方程為x＝eq\r(3)時，此時l1與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，±1))，∴l(xiāng)2的方程為y＝1(或y＝－1)，l1⊥l2成立，同理可證，當(dāng)l1的方程為x＝－eq\r(3)時，結(jié)論成立；當(dāng)直線l1，l2的斜率都存在時，設(shè)點(diǎn)A(m，n)且m2＋n2＝4，設(shè)方程為y＝k(x－m)＋n，代入橢圓方程，可得(1＋3k2)x2＋6k(n－km)x＋3(n－km)2－3＝0，由Δ＝0化簡整理得(3－m2)k2＋2mnk＋1－n2＝0，∵m2＋n2＝4，∴(3－m2)k2＋2mnk＋m2－3＝0，設(shè)l1，l2的斜率分別為k1，k2，∴k1k2＝－1，∴l(xiāng)1⊥l2成立，綜上，對于圓上的任意點(diǎn)A，都有l(wèi)1⊥l2成立．②解記原點(diǎn)到直線l1，l2的距離分別為d1，d2，∵M(jìn)A⊥NA，∴MN是圓的直徑，∴|MA|＝2d2，|NA|＝2d1，deq\o\al(2,1)＋deq\o\al(2,2)＝|OA|2＝4，△AMN面積為S＝eq\f(1,2)|MA|×|NA|＝2d1d2，S2＝4deq\o\al(2,1)deq\o\al(2,2)＝4deq\o\al(2,1)(4－deq\o\al(2,1))＝－4(deq\o\al(2,1)－2)2＋16，∵deq\o\al(2,1)∈[1,3]，∴S2∈[12,16]，∴S∈[2eq\r(3)，4]．【變式4】定義橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的“蒙日圓”的方程為x2＋y2＝a2＋b2，已知橢圓C的長軸長為4，離心率為e＝eq\f(1,2).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程和它的“蒙日圓”E的方程；(2)過“蒙日圓”E上的任意一點(diǎn)M作橢圓C的一條切線MA，A為切點(diǎn)，延長MA與“蒙日圓”E交于點(diǎn)D，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM，OD的斜率存在，且分別設(shè)為k1，k2，證明：k1·k2為定值．【解析】(1)解由題意知2a＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴c＝1，∴b2＝3，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，∴“蒙日圓”E的方程為x2＋y2＝4＋3＝7，即x2＋y2＝7.(2)證明當(dāng)切線MA的斜率存在且不為零時，設(shè)切線MA的方程為y＝kx＋m，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))消去y得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4m2－12＝0，∴Δ＝64m2k2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，∴m2＝3＋4k2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,x2＋y2＝7，))消去y得(1＋k2)x2＋2mkx＋m2－7＝0，∴Δ＝4m2k2－4(1＋k2)(m2－7)＝16＋12k2>0，設(shè)M(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－2mk,1＋k2)，x1x2＝eq\f(m2－7,1＋k2)，∴k1k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f(kx1＋mkx2＋m,x1x2)＝eq\f(k2x1x2＋kmx1＋x2＋m2,x1x2)＝eq\f(k2·\f(m2－7,1＋k2)＋km·\f(－2mk,1＋k2)＋m2,\f(m2－7,1＋k2))＝eq\f(m2－7k2,m2－7)，∵m2＝3＋4k2，∴k1k2＝eq\f(m2－7k2,m2－7)＝eq\f(3＋4k2－7k2,3＋4k2－7)＝－eq\f(3,4)，當(dāng)切線MA的斜率不存在且為零時，k1k2＝－eq\f(3,4)成立，∴k1·k2為定值．考點(diǎn)三阿基米德三角形拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．性質(zhì)1阿基米德三角形底邊上的中線MQ平行于拋物線的軸．性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線．性質(zhì)3拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于Q點(diǎn)的軌跡．性質(zhì)4若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過定點(diǎn)(若直線l方程為：ax＋by＋c＝0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)，－\f(bp,a))).性質(zhì)5底邊為a的阿基米德三角形的面積最大值為eq\f(a3,8p).性質(zhì)6若阿基米德三角形的底邊過焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小值為p2.規(guī)律方法(1)橢圓和雙曲線也具有多數(shù)上述拋物線阿基米德三角形類似性質(zhì)；(2)當(dāng)阿基米德三角形的頂角為直角時，阿基米德三角形頂點(diǎn)的軌跡為蒙日圓．【例3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）為拋物線的弦，，分別過作的拋物線的切線交于點(diǎn)，稱為阿基米德三角形，弦為阿基米德三角形的底邊.若弦過焦點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．B．底邊的直線方程為；C．是直角三角形；D．面積的最小值為.【答案】D【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線的方程為和，得到，進(jìn)而可判定A正確；點(diǎn)在直線上，進(jìn)而得到底邊的直線方程，可判定B正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，根據(jù)，可判定C正確；取的中點(diǎn)，化簡得到的面積為，可判定D不正確.【詳解】如圖：

依題意設(shè)，，由方程，可得，則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為，同理直線的斜率為，可得A處的切線方程為：，即，化簡可得，所以直線的方程為，同理可得：直線BM的方程為，所以，則，因?yàn)?，解得，即，所以A正確；因點(diǎn)在直線上，可得，，即在上，在上，所以底邊的直線方程為，所以B正確；設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，則且，，因?yàn)椋?，所以是直角三角形，所以C正確；取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)拋物線的定義，可得平行軸，所以因?yàn)椋?，所以，，代入可得，?dāng)時，，所以D不正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法：（1）數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解；（2）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．【變式1】（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱圓錐曲線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，斜率為的直線過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，若為阿基米德三角形，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直線的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出過點(diǎn)的切線方程，聯(lián)立后得到，得到答案.【詳解】依題意，，設(shè)直線，聯(lián)立，則，解得或，不妨設(shè)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立得，，，，解得，故直線的斜率，故直線，同理可得直線的斜率，故直線，聯(lián)立，解得，即，則.故選：C.【變式2】（多選）（23-24高三下·湖南長沙·階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無窮的魅力.設(shè)是拋物線上兩個不同的點(diǎn)，以為切點(diǎn)的切線交于點(diǎn).若弦過點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．B．若，則點(diǎn)處的切線方程為C．存在點(diǎn)，使得D．面積的最小值為4【答案】ABD【分析】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得，得到切點(diǎn)坐標(biāo)，得出切線方程，進(jìn)而可判定B正確；由直線的斜率為，直線的斜率為，得到，可判定C錯誤；由過點(diǎn)的切線方程為，結(jié)合弦長公式，得到，可D正確.【詳解】對于A中，設(shè)直線，聯(lián)立方程組，整理得，再設(shè)，則，所以A正確；對于B中，由拋物線.可得，則，則過點(diǎn)的切線斜率為，且，即，則切線方程為：，即，若時，則過點(diǎn)的切線方程為：，所以B正確；對于C中，由選項可得：直線的斜率為，直線的斜率為，因?yàn)?，所以，即，所以C錯誤；對于D中，由選項B可知，過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立直線的方程可得，所以，，，則，當(dāng)時，有最小值為，所以D正確.故選：ABD.【變式3】(多選)(2023·南平模擬)過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P.下面關(guān)于△PAB的描述正確的是()A．點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上B．AP⊥PBC．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則△PAB的面積S的最小值為eq\f(p2,2)D．PF⊥AB【答案】ABD【解析】先證明出拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.證明如下：由于點(diǎn)(x0，y0)在拋物線y2＝2px上，則yeq\o\al(2,0)＝2px0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,y0y＝px＋px0，))可得2y0y＝y(tǒng)2＋2px0，即y2－2y0y＋yeq\o\al(2,0)＝0，Δ＝0，所以拋物線y2＝2px(p>0)在其上一點(diǎn)(x0，y0)處的切線方程為y0y＝px＋px0.如圖所示．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋eq\f(p,2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋\f(p,2)，,y2＝2px，))消去x得y2－2mpy－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2＝－p2，y1＋y2＝2mp，對于A，拋物線y2＝2px在點(diǎn)A處的切線方程為y1y＝px＋px1，即y1y＝px＋eq\f(y\o\al(2,1),2)，同理可知，拋物線y2＝2px在點(diǎn)B處的切線方程為y2y＝px＋eq\f(y\o\al(2,2),2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1y＝px＋\f(y\o\al(2,1),2)，,y2y＝px＋\f(y\o\al(2,2),2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(y1y2,2p)＝－\f(p,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)＝mp，))所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為－eq\f(p,2)，即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，A正確；對于B，直線l1的斜率為k1＝eq\f(p,y1)，直線l2的斜率為k2＝eq\f(p,y2)，所以k1k2＝eq\f(p2,y1y2)＝－1，所以AP⊥PB，B正確；對于D，當(dāng)AB垂直于x軸時，由拋物線的對稱性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時PF⊥AB；當(dāng)AB不與x軸垂直時，直線AB的斜率為kAB＝eq\f(1,m)，直線PF的斜率為kPF＝eq\f(mp,－p)＝－m，所以kAB·kPF＝－1，則PF⊥AB.綜上，PF⊥AB，D正確；對于C，|AB|＝eq\r(1＋m2)·|y1－y2|，|PF|＝eq\r(p2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))2)＝eq\r(p2＋m2p2)＝peq\r(1＋m2)，所以，S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·|PF|＝eq\f(1,2)eq\r(1＋m2)·|y1－y2|·peq\r(1＋m2)＝eq\f(p,2)(m2＋1)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y1＋\f(p2,y1)))＝eq\f(p,2)·(m2＋1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|y1|＋\f(p2,|y1|)))≥eq\f(p,2)·2eq\r(|y1|·\f(p2,|y1|))＝p2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0，,y1＝±p))時，等號成立，C錯誤．【變式4】已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上的點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在圓M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．【解析】(1)易得圓的圓心M(0，－4)，拋物線C的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，|FM|＝eq\f(p,2)＋4，∴F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上的點(diǎn)的距離的最小值為eq\f(p,2)＋4－1＝4，解得p＝2.(2)拋物線C的方程為x2＝4y，即y＝eq\f(x2,4)，對該函數(shù)求導(dǎo)得y′＝eq\f(x,2)，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，直線PA的方程為y－y1＝eq\f(x1,2)(x－x1)，即y＝eq\f(x1x,2)－y1，即x1x－2y1－2y＝0，同理可知，直線PB的方程為x2x－2y2－2y＝0，由于點(diǎn)P為這兩條直線的公共點(diǎn)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1x0－2y1－2y0＝0，,x2x0－2y2－2y0＝0，))∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程x0x－2y－2y0＝0，∴直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0x－2y－2y0＝0，,y＝\f(x2,4)，))可得x2－2x0x＋4y0＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，∴|AB|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0,2)))2)·eq\r(4x\o\al(2,0)－16y0)＝eq\r(x\o\al(2,0)＋4x\o\al(2,0)－4y0)，點(diǎn)P到直線AB的距離為d＝eq\f(|x\o\al(2,0)－4y0|,\r(x\o\al(2,0)＋4))，∴S△PAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(x\o\al(2,0)＋4x\o\al(2,0)－4y0)·eq\f(|x\o\al(2,0)－4y0|,\r(x\o\al(2,0)＋4))＝，∵xeq\o\al(2,0)－4y0＝1－(y0＋4)2－4y0＝－yeq\o\al(2,0)－12y0－15＝－(y0＋6)2＋21，由已知可得－5≤y0≤－3，∴當(dāng)y0＝－5時，△PAB的面積取最大值eq\f(1,2)×＝20eq\r(5).強(qiáng)化訓(xùn)練一、單選題1．（2023·四川·三模）19世紀(jì)法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，橢圓的蒙日圓方程為.若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，則b的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到蒙日圓的方程為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意得，橢圓的蒙日圓的半徑，所以橢圓的蒙日圓的方程為：，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點(diǎn)，可得兩圓外切，所以，解得.故選：B.2．（2023·青海西寧·二模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”．他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．若橢圓：（）的蒙日圓為，則橢圓Γ的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】找過右頂點(diǎn)的切線和過上頂點(diǎn)的切線，得到這兩條切線的交點(diǎn)在蒙日圓上，再建立關(guān)于的方程，即可求解.【詳解】如圖，分別與橢圓相切，顯然.所以點(diǎn)在蒙日圓上，所以，所以，即，所以橢圓的離心率.故選：D3．（2023·河北·三模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線，過焦點(diǎn)的弦的兩個端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)B．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)C．點(diǎn)必在直線上，但以為直徑的圓不過點(diǎn)D．點(diǎn)必在直線上，且以為直徑的圓過點(diǎn)【答案】D【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可證得過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為，由此可確定在處的切線方程，進(jìn)而結(jié)合點(diǎn)坐標(biāo)得到直線方程，代入可知點(diǎn)必過直線；結(jié)合韋達(dá)定理可得，知，由此可得結(jié)論.【詳解】設(shè)為拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)時，由得：，在處的切線方程為：，即，；同理可得：當(dāng)時，在處的切線方程切線方程為；經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)，時，切線方程為，滿足，過拋物線上一點(diǎn)的切線方程為：；設(shè)，則拋物線在處的切線方程為和，，點(diǎn)滿足直線方程：，又直線過焦點(diǎn)，，解得：，點(diǎn)必在直線上；AC錯誤；由題意知：，，，，；設(shè)直線方程為：，由得：，，，即，以為直徑的圓過點(diǎn)；B錯誤，D正確.故選：D.4．（2023·海南·模擬預(yù)測）畫法幾何的創(chuàng)始人——法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：過橢圓外一點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的切線，那么這一點(diǎn)的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓為圓，若圓不透明，則一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)軸反射到圓上的最大路程是（

）A．2 B．4 C．5 D．8【答案】B【分析】由特殊切線求得蒙日圓方程，求出點(diǎn)關(guān)于軸對稱點(diǎn)坐標(biāo)，求出過點(diǎn)的圓的切線長即可得．【詳解】由題意直線和是橢圓的兩條相互垂直的切線，因此它們的交點(diǎn)在蒙日圓上，從而，即蒙日圓方程為，設(shè)從點(diǎn)出發(fā)的光線在軸上反向點(diǎn)為，如圖，反射光線是圓的切線（在蒙日圓上此時為切點(diǎn)）時，路程為最大，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，由對稱性知在直線上，因此是圓的切線，，．故選：B．

5．（23-24高三上·安徽六安·階段練習(xí)）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓．在圓上總存在點(diǎn)，使得過點(diǎn)能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)蒙日圓的定義結(jié)合兩圓的位置關(guān)系計算即可.【詳解】根據(jù)題意可知橢圓的蒙日圓方程為，圓心為原點(diǎn)，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓與必有交點(diǎn)才符合題意，即兩圓圓心距，則.故選：C6．（2023·廣西·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)（且），那么點(diǎn)的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)到，的距離比為，則點(diǎn)到直線：的距離的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由題意求出點(diǎn)的軌跡方程，再由直線和圓的位置關(guān)系求解即可.【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，則，∴，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑的圓.圓心到直線：的距離，∴點(diǎn)到直線最大距離為.故選：A.7．（2023·湖北襄陽·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，動點(diǎn)滿足，得到動點(diǎn)的軌跡是阿氏圓.若對任意實(shí)數(shù)，直線與圓恒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)，求出動點(diǎn)的軌跡圓的方程，再求出直線過定點(diǎn)坐標(biāo)，依題意點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可.【詳解】設(shè)點(diǎn)，，，所以動點(diǎn)的軌跡為阿氏圓：，又直線恒過點(diǎn)，若對任意實(shí)數(shù)直線與圓恒有公共點(diǎn)，在圓的內(nèi)部或圓上，所以，所以，解得，即的取值范圍為.故選：C8．（2023·青海西寧·二模）拋物線的弦與過弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點(diǎn)，則過弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線，弦AB過焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，設(shè)直線為，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得，設(shè)過的切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式得，則過點(diǎn)A的切線為，同理得過的切線斜率為，過點(diǎn)B的切線為，可得，可證得，則的面積，結(jié)合圖形特征，可得面積的最小值．【詳解】設(shè)且，直線，聯(lián)立，整理得，則．設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，整理得，由，可得，則過A的切線為：，即，即，即，同理可得過點(diǎn)的切線斜率為，過點(diǎn)B的切線方程為：，聯(lián)立兩切線，則，所以兩條切線的交點(diǎn)在準(zhǔn)線上，則，兩式相減得，，可得，，又因?yàn)橹本€的斜率為，（也成立），如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，的面積，當(dāng)軸時，最短（最短為），也最短（最短為），此時的面積取最小值．故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)且，，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理有，求過的切線，進(jìn)而確定在準(zhǔn)線上且，利用面積公式討論最小值情況.二、多選題1．（22-23高三下·江蘇南京·開學(xué)考試）加斯帕爾?蒙日（圖1）是18～19世紀(jì)法國著名的幾何學(xué)家,他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn):橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個圓上,其圓心是橢圓的中心,這個圓被稱為“蒙日圓”（圖2）．已知長方形R的四邊均與橢圓相切,則下列說法正確的是（

）A．橢圓C的離心率為 B．橢圓C的蒙日圓方程為C．橢圓C的蒙日圓方程為 D．長方形R的面積最大值為18【答案】ACD【分析】根據(jù)橢圓方程,求出離心率即可得選項A正誤;根據(jù)蒙日圓的定義可判斷,該圓過點(diǎn),根據(jù)圓心坐標(biāo),即可求得半徑的值,進(jìn)而求得圓的方程;設(shè)出長方形的長和寬,根據(jù)長方形是蒙日圓的內(nèi)接四邊形,可得對角線為直徑,求得長和寬的等量關(guān)系,再利用基本不等式即可判斷選項D正誤.【詳解】解:由題知橢圓方程為:,所以,故選項A正確;因?yàn)殚L方形R的四邊均與橢圓相切,所以點(diǎn),即在蒙日圓上,故半徑為,可得橢圓C的蒙日圓方程為;故選項B錯誤,選項C正確;設(shè)長方形R的邊長為m,n,則有,所以長方形R的面積等于,當(dāng)且僅當(dāng)時取等,故選項D正確.故選:ACD2．（22-23高三上·云南保山·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得?阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值且的點(diǎn)的軌跡是一個圓，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，下列結(jié)論正確的是（

）A．曲線的方程為B．曲線與圓外切C．曲線被直線截得的弦長為D．曲線上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ACD【分析】對于A，設(shè)點(diǎn)，由兩點(diǎn)間距離公式代入化簡判斷；對于B，根據(jù)圓心距與兩半徑和的關(guān)系進(jìn)行判斷；對于C，先求出點(diǎn)到直線的距離，再結(jié)合勾股定理求出弦長；對于D，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離以及圓C的半徑分析判斷.【詳解】對于A，設(shè)，由定義，得，化簡整理得，故A正確；對于B，的圓心為，半徑；的圓心為，半徑；圓心距，故B錯誤；對于C，圓心到直線的距離，所以弦長為，故C正確；對于D，圓心到直線的距離，半徑，所以圓上恰有三個點(diǎn)到直線的距離為1,故D正確.故選：ACD.3．（2024高三下·江蘇·專題練習(xí)）（多選）如圖，為阿基米德三角形.拋物線上有兩個不同的點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)的拋物線的切線相交于點(diǎn)P.給出如下結(jié)論，其中正確的為（

）

A．若弦過焦點(diǎn)，則為直角三角形且B．點(diǎn)P的坐標(biāo)是C．的邊所在的直線方程為D．的邊上的中線與y軸平行（或重合）【答案】ACD【分析】設(shè)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線斜率，利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得，A正確；寫出切線方程，聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，得B錯誤；用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出，寫出直線方程，并化簡可得C正確；設(shè)為拋物線弦的中點(diǎn)，立即得D正確.【詳解】由題意設(shè)，由，得，則，所以，若弦過焦點(diǎn)，顯然直線斜率存在，設(shè)所在直線為，聯(lián)立，得，則，所以，所以，故A正確；以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為，以點(diǎn)B為切點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立消去y得，將代入，得，所以，故B錯誤；設(shè)N為拋物線弦的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為，因此直線平行于y軸(或與y軸重合)，即平行于拋物線的對稱軸(或與對稱軸重合)，故D正確；設(shè)直線的斜率為，故直線的方程為，化簡得，故C正確.故選：ACD.三、填空題1．（23-24高三上·廣東湛江·期末）法國數(shù)學(xué)家加斯帕·蒙日被稱為“畫法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓的中心為圓心的圓，這個圓被稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，則的離心率為.【答案】/0.5【分析】根據(jù)蒙日圓的定義得出點(diǎn)一定在其蒙日圓上，從而可得離心率.【詳解】由題意可知點(diǎn)一定在其蒙日圓上，所以，所以，故橢圓的離心率為.故答案為：2．（23-24高三上·河北滄州·期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)了平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”.已知，Q為直線上的動點(diǎn)，為圓上的動點(diǎn)，則的最小值為.【答案】【分析】先利用“阿波羅尼斯圓”定義設(shè)出點(diǎn)，由，得到，再由，即可求出最小值.【詳解】由阿波羅尼斯圓的定義，設(shè)，定點(diǎn)，令，則，平方化簡得，因?yàn)榇朔匠膛c為同一方程，所以，解得，所以點(diǎn)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，等號成立，即最小值為點(diǎn)到直線的距離：，故答案為：.3．（2023高三·全國·專題練習(xí)）拋物線的弦與過弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱為阿基米德三角形．設(shè)拋物線為，弦AB過焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為．【答案】4【分析】根據(jù)拋物線在點(diǎn)處的切線方程為結(jié)合點(diǎn)到直線的距離解決面積問題即可．【詳解】先證拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，不妨設(shè)切線方程為：，且有，切線方程與拋物線聯(lián)立可得：，所以，易知該切線只有一條，所以，得證.先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由于弦AB過拋物線的焦點(diǎn)，于是可反設(shè)直線AB的方程為．因此點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足進(jìn)而得到，再使用韋達(dá)定理就有，由于在處拋物線的切線方程為，在處拋物線的切線方程為，因此阿基米德三角形的頂點(diǎn)滿足，進(jìn)而，從而，將代入得．因此點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，于是點(diǎn)Q到直線AB的距離，根據(jù)弦長公式得，于是的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，因此的面積的最小值為4．故答案為：4.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）拋物線在點(diǎn)處的切線方程為;（2）阿基米德三角形的底邊過拋物線的焦點(diǎn)，則阿基米德三角形的另一個頂點(diǎn)在準(zhǔn)線上，且阿基米德三角形的面積最小值為.四、解答題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）在圓上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線段，垂足為．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，線段的中點(diǎn)的軌跡是橢圓．(1)求該橢圓的方程．(2)法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日（1746—1818）發(fā)現(xiàn)：橢圓上任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)，必在一個與橢圓同心的圓上，稱此圓為該橢圓的“蒙日圓”．若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為為橢圓上一動點(diǎn)，直線與橢圓的蒙日圓相交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)代換法求出橢圓的方程．（2）求出橢圓的蒙日圓方程，利用余弦定理結(jié)