北京市延慶區(qū)2024-2025學年高一上學期期末考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1北京市延慶區(qū)2024-2025學年高一上學期期末數(shù)學試題一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.1.已知全集且，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，故，，故，故選：D.2.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】原不等式即為即，故，故，故選：D.3.某科研院所共有科員人員800人，其中具有高級職稱的160人，具有中級職稱的320人，具有初級職稱的240人，無職稱的80人，欲了解該科研院所科研人員的創(chuàng)新能力，決定采取分層抽樣的方法抽取樣本，其中含無職稱的8人，則共抽取（）A.20人 B.40人 C.60人 D.80人【答案】D【解析】無職稱的占比為：，所以共抽取人，故選：D4.以下莖葉圖中甲組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的方差分別是（）A.168.5，65.7 B.168.5，41.7 C.170，41.7 D.170，65.7【答案】C【解析】甲組數(shù)據(jù)從小到大排列為：，因為，所以甲組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是第五個數(shù)據(jù)，為；乙組數(shù)據(jù)為：，其平均數(shù)為：，其方差為：故選：C.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞減的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于A，的定義域為R，是偶函數(shù)，且在上單調遞減，A是；對于B，當時，在上單調遞增，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為R，圖象關于不對稱，不是偶函數(shù)，C不是；對于D，當時，在上單調遞增，D不是.故選：A6.已知冪函數(shù)，則“”是“在其定義域上是增函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】當時，，定義域為，但在定義域上不是增函數(shù)；若冪函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，由其性質可以推出，故“”是“在其定義域上是增函數(shù)”的必要不充分條件，故選：B.7.已知甲、乙兩組數(shù)可分別用圖（1）、（2）表示，記甲、乙兩組數(shù)平均數(shù)和方差分別為、、、，則它們的大小關系是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】，故，，，故，故選：B.8.人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因（記為），另一種是隱性基因（記為）；基因總是成對出現(xiàn)（如），而成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮；有一對夫妻，父親的基因為，母親的基因是，不考慮基因突變，則他們的孩子是單眼皮的概率為（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】用連著寫的兩個字母來表示孩子的成對的基因，其中第一個字母表示父親提供的基因，第二個字母表示母親提供的基因.則所有的基本事件有：，共4個基本事件，孩子要是單眼皮，成對的基因只能是，因此所求概率為.故選：C9.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在同一坐標系內作出函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，當且僅當時，函數(shù)的圖象不在直線的下方，所以不等式的解集是.故選：A10.方程的實數(shù)解個數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】原方程等價于即，設，因為均為上的減函數(shù)，所以為上的減函數(shù)，而，，所以為上僅有一個零點即原方程只有一個實數(shù)解.故選：B二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知，，則的最大值為______，最小值為______.【答案】62【解析】設的夾角為，則，因為，，所以，因為，所以，所以，即，所以的最大值為6，最小值為2.故答案為：6；2.12.已知在平行四邊形ABCD中，E是BD邊上中點，，，用，分別表示向量______，______.【答案】【解析】，而為的中點，故，即，所以，故答案為：；.13.已知，則的值為______.【答案】【解析】因為，所以，所以，故.故答案為：.14.已知，則的最大值為______，當且僅當______時，等號成立.【答案】【解析】，當且僅當即時等號成立，故的最大值為，此時，故答案為：；.15.人們通常以分貝（符號是dB）為單位來表示聲音強度的等級，其中0dB是人能聽到的等級最低的聲音，一般地，如果強度為x的聲音對應的等級為，則有，給出下列四個結論：①等級為0dB的聲音的強度為；②函數(shù)在定義域上是增函數(shù)；③等級為80dB的聲音與70dB的聲音強度之比是10；④等級為60dB的聲音與90dB的聲音強度之比是1000.其中所有正確結論的序號是______.【答案】①②③【解析】對于①，由即，可得，因此等級為0dB的聲音強度為，故①正確；對于②，令，則，易知和在上單調遞增，由復合函數(shù)的單調性可知在定義域上是增函數(shù)，故②正確；對于③，設，則，解得．設，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故③正確；對于④，設，則，解得．設，同理可得．因此所求兩種等級聲音的強度之比為，故④錯誤.故答案為：①②③.三、解答題：本大題共6小題，共85分.16.（1）求方程的解集；（2）求不等式的解集；（3）求方程組的解集；（4）已知一元二次方程的兩根為與，利用一元二次方程根與系數(shù)關系求的值.解：（1）即為，所以即，故方程的解集為；（2）即為，故不等式的解集為，（3）由可得，整理得到，所以或，故方程組的解為或，故方程組的解集為.（4）由韋達定理可得，故.17.計算下列各式的值或簡化下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）.（2）.（3）.（4）.18.已知A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復時間（單位：天），記錄如下：A組11121314151617B組131416171815a假設所有病人的康復時間相互獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙.（1）求甲的康復時間不少于14天的概率；（2）如果，求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率；（3）寫出a為何值時，A，B兩組病人康復時間方差相等.（結論不要求證明）解：（1）設事件為＂甲是組的第i個人＂，事件為＂乙是B組的第i個人＂，.由題意，得由題意可知，事件＂甲的康復時間不少于14天＂等價于＂甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人＂，所以甲的康復時間不少于14天的概率是．（2）設事件C為＂甲的康復時間比乙的康復時間長＂，由題意，得因此．（3）A組病人康復時間平均數(shù)為：，其方差為：.B兩組病人康復時間平均數(shù)為：其方差為：依題意：，解得或19.（1）比較下列各題中兩個值的大小，并說明理由：①與；②與；③與0；④已知實數(shù)a，b滿足，與的大小.（2）設，其中且，比較與的大小，并證明.解：（1）①函數(shù)在R上單調遞減，，所以；②函數(shù)在上單調遞減，，所以；③函數(shù)在上單調遞增，，所以；④函數(shù)在上單調遞增，由，得，函數(shù)在上單調遞減，所以.（2）函數(shù)，，，由，得，當時，，因此；當時，，因此.20.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域、值域；（2）判斷的反函數(shù)是否存在，如果不存在，說明理由；如果存在，求出反函數(shù)的解析式；（3）如果，求m的取值范圍；（4）令，已知是偶函數(shù)，求a的值.解：（1）函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，值域為.（2）函數(shù)存在反函數(shù)，函數(shù)在上單調遞增，對每個函數(shù)值，都有唯一自變量與之對應，因此存在反函數(shù)，由，得，，所以的反函數(shù)為.（3）函數(shù)在上單調遞增，由，得，解得，所以m的取值范圍是.（4）依題意，，其定義域為R，由是偶函數(shù)，得，則，整理得，而不恒為0，所以，即.21.設集合.如果對于的每一個含有個元素的子集P，P中必有3個元素的和等于，稱正整數(shù)m為集合的一個“相關數(shù)”.（1）當時，判斷6和4是否為集合的“相關數(shù)”，說明理由；（2）若m為集合的“相關數(shù)”，判斷是否為集合的“相關數(shù)”，請說明理由，并證明.解：（1）當時，，.的含有個元素的子集為，其中，，，滿足對于的含有個元素的子集，必有個元素的和等于10，所以是集合的“相關數(shù)”.的含有個元素的子集，其中任意個元素的和都不等于10，不滿足對于的含有個元素的子