廣東省大灣區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省大灣區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，，則.故選：C.2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】由全稱命題的否定為特稱命題，故原命題的否定為，.故選：D3.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)，則.故選：B4.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由可得或，又或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選:5.已知偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A B.C. D.【答案】D【解析】當(dāng)，則，，又為偶函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，．故選：D.6.若多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，則（）A.3 B. C.5 D.【答案】A【解析】由題意可得，則，解得.故選：A.7.若，都是正數(shù)，且，則的最小值為（）A.4 B.6 C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椋郑际钦龜?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故選：C．8.已知二次函數(shù)．甲同學(xué)：的解集為；乙同學(xué)：的解集為，丙同學(xué)：的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)．在這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】若的解集為，則；若的解集為，則；若對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則；又這三個(gè)同學(xué)的論述中，只有一個(gè)假命題，故乙同學(xué)為假，綜上，.故選：C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】BC【解析】A項(xiàng)，=所以A選項(xiàng)是錯(cuò)誤的；B項(xiàng)，若，可得：，故，故B正確；C項(xiàng)，若可得，由可得：，故C正確；D項(xiàng)，舉當(dāng)時(shí)，則不成立，故D不正確；故選：BC．10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，在上單調(diào)遞減，，且是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.不等式的解集是D.不等式的解集是【答案】BCD【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是由函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的，而是奇函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，且，故B正確；所以，故A錯(cuò)誤；又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，則不等式，即為，所以，所以不等式的解集是，故C正確；又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋曰颍獾没?，所以不等式解集是，故D正確.故選：BCD.11.設(shè)，，為實(shí)數(shù)，，記集合，，若、分別表示集合、的元素的個(gè)數(shù)，則下列結(jié)論能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】ACD【解析】A：當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，所以，或；當(dāng)時(shí)，，由得，此時(shí)；當(dāng)，時(shí)，，由得，此時(shí)；故存在A成立；B：當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根，所以，，，設(shè)為的一個(gè)根，即，則，且，故為方程的根，故有三個(gè)根，即時(shí)，必有，故不可能是，；故B錯(cuò)；C：當(dāng)時(shí)，由得或；由得或；只需，即可滿足，；故存在C成立；D：當(dāng)時(shí)，由得，即；由得；即；故存在D成立；故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求__________.【答案】【解析】設(shè)，為常數(shù)，因?yàn)?，所以，即，所?故答案為：.13.已知，則的值是_____【答案】32【解析】因?yàn)椋?故答案為：32.14.已知函數(shù).記，則（1）_______；（2）若函數(shù)（t為常數(shù)）在上有8個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，；假設(shè)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可得，在上恒成立.，由題意可得（），則可得（）為函數(shù)的圖象與直線在上交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如下圖：由圖可得，當(dāng)時(shí)，顯然當(dāng)時(shí)，可得，，結(jié)合圖象，函數(shù)的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，由題意同理可得，函數(shù)的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖象在上關(guān)于直線對(duì)稱，不妨設(shè)，則，，，，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意，都有，且當(dāng)時(shí)，恒成立.（1）證明函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）若，求的取值范圍.（1）證明：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，則，，即函數(shù)是上的減函數(shù)．（2）解：易知，則．，所以，解得或故x的取值范圍是.16.已知定義在上的奇函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的值域；（2）解不等式：.解：（1）為定義在上的奇函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，符合題意，，，，，的值域?yàn)椋唬?）由（1）有，原不等式可化為，令，則，，即，，，不等式的解集為.17.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵、研究鮭魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速（單位：）滿足方程，其中表示鮭魚耗氧量的單位數(shù)，表示測(cè)量過(guò)程中鮭魚的耗氧量偏差.（1）當(dāng)一條鮭魚的耗氧量為2700個(gè)單位時(shí)，它的游速為，求此時(shí)的值；（2）當(dāng)甲、乙兩條鮭魚游速相同時(shí)，甲鮭魚耗氧量偏差是乙鮭魚耗氧量偏差的10倍，試問(wèn)甲鮭魚的耗氧量是乙鮭魚耗氧量的多少倍？解：（1）由題意可得：，解得，所以.（2）設(shè)乙鮭魚耗氧量偏差為，乙鮭魚的耗氧量為，則甲鮭魚耗氧量偏差為，甲鮭魚的耗氧量為，因?yàn)榧?、乙兩條鮭魚游速相同，則，化簡(jiǎn)得，則，即，可得，所以甲鮭魚的耗氧量是乙鮭魚耗氧量的9倍.18.已知函數(shù)，其中.（1）判斷的奇偶性（直接寫出結(jié)論，不必說(shuō)明理由）；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.（1）解：當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為偶函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，可得且，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù).（2）證明：由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以；?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上可得，當(dāng)時(shí)，.（3）解：設(shè)，因?yàn)槭顷P(guān)于的單調(diào)增函數(shù)，問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)大于0的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，所以只有一個(gè)零點(diǎn)為0，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榈膱D象的對(duì)稱軸為，所以在上遞增，所以在上至多有1個(gè)零點(diǎn)；又因?yàn)榈膱D象對(duì)稱軸為，所以在上至多有2個(gè)零點(diǎn)，問(wèn)題等價(jià)于在有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.19.對(duì)于函數(shù)，記所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合；所有滿足，都有的函數(shù)構(gòu)成集合.（1）分別判斷下列函數(shù)是否為集合中的元素，并說(shuō)明理由，①；②；（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；（3）若，求證：是的充分不必要條件.解：（1）①不是.當(dāng)時(shí)，，，所以不是集合中的元素；②是.，，所以是集合中的元素.（2