廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省湛江市2025屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可得，則.故選：C.2.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，則．故選：B.3.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當(dāng)直線相交且垂直時(shí)，平面可以相互平行，當(dāng)時(shí)，直線可以平行，則“”是“”的既不充分也不必要條件，故選：D.4.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，且，則雙曲線的離心率是（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】依題意，，由，得，因此，而雙曲線漸近線方程為，則，所以雙曲線的離心率是.故選：B.5.在中，角的對(duì)邊分別是，若，且，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋烧叶ɡ?，得．因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所以，則．由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故選：B.6.已知函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，若，則（）A.-6 B.-3 C.3 D.6【答案】C【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以．因?yàn)椋?，所以，即是周期?的周期函數(shù)，則．故選：C.7.《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著之一，其中記載了關(guān)于粟米分配的問(wèn)題．現(xiàn)將14斗粟米分給4個(gè)人，每人分到的粟米斗數(shù)均為整數(shù)，每人至少分到1斗粟米，則不同的分配方法有（）A.715種 B.572種 C.312種 D.286種【答案】D【解析】本題可轉(zhuǎn)化為將14個(gè)大小相同，質(zhì)地均勻的小球分給甲，乙，丙，丁4個(gè)人，每人至少分1個(gè)，利用隔板法在中間13個(gè)空隙（兩端除外）當(dāng)中插入3個(gè)隔板，可得分配的方案數(shù)為，所以不同的分配方法有286種．故選：D.8.在三棱錐中，，其他棱長(zhǎng)都是，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，取棱的中點(diǎn)，連接，則，且，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，作，垂足為．由題意得．因?yàn)?，所以，所以．又，平面，所以平面，則．設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是．故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)甲，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.某教育行政部門(mén)為了解某校教師“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的得分情況，隨機(jī)調(diào)查了該校的50位教師，這50位教師12月份的日均得分單位：分統(tǒng)計(jì)情況如下表：得分頻數(shù)5152010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（）A.這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25B.這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例超過(guò)C.這50位教師12月份的日均得分的極差介于20至40之間D.這50位教師12月份的日均得分的平均值介于30至35之間同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表【答案】ABC【解析】對(duì)于A，這50位教師12月份的日均得分在的人數(shù)為，日均得分在的人數(shù)為，因此這50位教師12月份的日均得分的中位數(shù)不低于25，A正確；對(duì)于B，這50位教師12月份的日均得分不低于15分的比例為：，B正確；對(duì)于C，這50位教師12月份日均得分的極差屬于，C正確；對(duì)于D，這50位教師12月份的日均得分的平均值為：，D錯(cuò)誤．故選：ABC.10.已知函數(shù)，則（）A.最小正周期為 B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.在上單調(diào)遞減 D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BD【解析】因?yàn)?，且?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的最小正周期為，則A正確.因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則B正確.當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則函數(shù)，所以.由，得或；由，得.故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，即.因?yàn)椋栽谏喜粏握{(diào)，則C錯(cuò)誤.因?yàn)樗栽谏系闹涤驗(yàn)?因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以的值域?yàn)?，則D正確.故選：ABD.11.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美的曲線，曲線就是其中之一?則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)B.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2C.曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于到直線的距離D.若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，若點(diǎn)在曲線上，則都滿足曲線的方程，所以曲線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)在曲線上，根據(jù)選項(xiàng)A，同理可得曲線關(guān)于軸，坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由曲線的對(duì)稱(chēng)性可令，則，所以，則，所以曲線上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)2，故B正確；對(duì)于C，易知是上一點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不等于到直線的距離，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)點(diǎn)位于第二象限時(shí)，取得最大值，所以，令，將代入，可得，解得，即的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知單位向量滿足，則向量夾角的弦值是______．【答案】【解析】因?yàn)?，平方可得：，所以，則．故答案為：.13.若圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，由于圓上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即，解得或．因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知函數(shù)，且，則______．【答案】2【解析】由題意得的定義域?yàn)?，則．由，得，即．設(shè)函數(shù)，易得在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即．故．故答案為?.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15.蛇年來(lái)臨之際，某商場(chǎng)計(jì)劃安排新春抽獎(jiǎng)活動(dòng)，方案如下：1號(hào)不透明的盒子中裝有標(biāo)有“吉”“安”“和”字樣的小球，2號(hào)不透明的盒子中裝有標(biāo)有“祥”“康”“順”字樣的小球，顧客先從1號(hào)不透明的盒子中取出1個(gè)小球，再?gòu)?號(hào)不透明的盒子取出1個(gè)小球，若這2個(gè)球上的字組成“吉祥”“安康”“和順”中的一個(gè)詞語(yǔ)，則這位顧客中獎(jiǎng)，反之沒(méi)有中獎(jiǎng)，每位顧客只能進(jìn)行一輪抽獎(jiǎng)．已知顧客從不透明的盒子取出標(biāo)有“吉”“安”“和”“祥”“康”“順”字樣小球的概率均為，且顧客取出小球的結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）若小明一家三口參加這個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求小明全家中獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：（1）顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“吉祥”的概率為，顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“安康”的概率為，顧客取出的2個(gè)小球的字樣組成“和順”的概率為，綜上，顧客中獎(jiǎng)的概率為；（2）設(shè)小明全家中獎(jiǎng)的次數(shù)為，則，，，，，則的分布列為0123所以．16.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，，．（1）證明：平面．（2）求平面與平面夾角的正弦值．（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，且，所以．因?yàn)?，所以，所以因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫?，且，所以平面因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)樗倪呅问橇庑危裕驗(yàn)槠矫?，且，所以平面．?）解：記，以為原點(diǎn)，方向分別為軸的正方向，平行向上為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令，得．設(shè)平面的一個(gè)法向量為則令，得．設(shè)平面與平面的夾角為，則，故．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，從而，故所求切線方程為，即（或）.（2）由題意可得的定義域?yàn)?當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時(shí)，由，得或，由，得，則在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.18.已知和為橢圓上兩點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在橢圓上，是橢圓的兩焦點(diǎn)，且，求的面積；（3）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的方程為．（2）由題可知在中，由余弦定理得則即所以，故的面積是．（3）當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，．當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，此時(shí)．，故為定值．19.若數(shù)列的首項(xiàng)，對(duì)任意的，都有（為常數(shù)，且），則稱(chēng)為有界變差數(shù)列，其中為數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)差值的上界．已知數(shù)列是有界變差數(shù)列，的前項(xiàng)和為．（1）當(dāng)時(shí)，證明：．（2）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求的最大值；（3）當(dāng)中各項(xiàng)都取最大值時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都有，求的取值范圍．（1）證明：當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，