遼寧省省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作校2025屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省省重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作校2025屆高三上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所屬象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由題意得，所以，即z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于第一象限，故選：A.2.已知集合和集合，則（）A.或 B.或C. D.【答案】C【解析】由得，故，故，，故，故選：C.3.甲，乙，丙三人玩踢毽子游戲，每個人接到毽子都等可能地把毽子傳給另外兩個人中的一個人，從甲開始踢，則毽子第三次傳遞給甲的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：經(jīng)過三次踢毽子的所有情況有：，，，，，，，，其中毽子第三次傳遞給甲的情況有：，，故所求概率為.故選：A.4.學(xué)校運(yùn)動會十名護(hù)旗手身高（單位：cm）分別為175，178，177，174，176，175，179，180，178，176，176，則十名護(hù)旗手身高的分位數(shù)為（）A.177.5 B.178 C.178.5 D.179【答案】C【解析】將這10個數(shù)從小到大排列為174，175，175，176，176，177，178，178，179，180，則,故第分位數(shù)為，故選：C.5.若，則的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，則，①，則，故①式整理可得，，解得或（舍去），故，所以.故選：.6.函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】令得或，解得或.函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根.或.當(dāng)時，由可得或；由可得或（舍去）.當(dāng)時，由可得；由可得.綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)為5個.故選：C.7.橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓.則斜率為2的橢圓的切線被它的蒙日圓截得的弦長大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得橢圓的蒙日圓為，設(shè)斜率為2的橢圓的切線方程為，代入橢圓方程，整理得：，由，解得，則切線方程為，即，因蒙日圓圓心到切線的距離為，則切線被蒙日圓截得的弦長為.故選：D.8.直三棱柱中，，側(cè)棱長為2，該三棱柱的體積為，則三棱柱外接球的表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三棱柱的體積為，可得,所以，所以，由余弦定理可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)底面的外接圓半徑為，由正弦定理得，所以.所以外接球半徑為，所以求得表面積為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知平面向量滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則在上的投影數(shù)量為B.當(dāng)時，則C.若的范圍為D.當(dāng)時，的最大值為3【答案】AC【解析】對于A，在上的投影數(shù)量為，故A正確；對于B，當(dāng)時，則，故，因此，由于，則，故B錯誤；對于C，若，故，故C正確；對于D，若，故，取不到3，故D錯誤.故選：AC.10.已知焦點(diǎn)為的拋物線.過焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時，.則下列結(jié)論正確的有（）A.拋物線的方程是B.若直線的傾斜角為，則的面積是C.的最小值為D.若，則直線的傾斜角的余弦值為【答案】ABC【解析】當(dāng)軸時，可知，所以，，A正確；此時焦點(diǎn)坐標(biāo)為：，由題意直線斜率不為0，故設(shè)直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程，消去可得：，設(shè)，不妨設(shè)在第一象限，則，所以，，所以，當(dāng)直線的傾斜角為時，，，由得：，由在第一象限，故在的切線斜率為，所以:，化簡可得：，同理可得所以方程：，兩方程相減可得：，此時代入第一個方程可得：，由直線：，可得，所以,此時到的距離為：，所以的面積為，B正確；，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，C正確；若，則，結(jié)合，可得：，由，得，所以，即，所以直線的斜率，即，當(dāng)時，為銳角，即，結(jié)合，可得；當(dāng)時，為鈍角，即，結(jié)合，可得，D錯；故選：ABC.11.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的有（）A.若，則B.C.數(shù)列的前40項和為840D.若，則數(shù)列的前項和為【答案】ABD【解析】對于A，當(dāng)為奇數(shù)時，，，兩式相減得；因?yàn)?，又，所以，故A正確；對于B，，兩式相加得，所以，兩式相減得，由等差數(shù)列可知，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確；對于C，當(dāng)為偶數(shù)時，，，兩式相加得.所以，故C錯誤；對于D，因，所以，又因?yàn)椋?，所以，由B選項可知，當(dāng)時，，所以，所以，即是一個以首項為2，公差為8的等差數(shù)列，前n項和為，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項式的展開式中，項的系數(shù)為______.【答案】【解析】二項式的展開式的通項公式為，令，解得，故項的系數(shù)是.故答案為：.13.直線的法向量，點(diǎn)在直線的第一象限內(nèi)的部分上運(yùn)動，則的最小值為______.【答案】【解析】因?yàn)橹本€l：的法向量，所以，所以點(diǎn)滿足，即，且滿足，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故答案為：.14.已知定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.且時，恒成立，且，則時，不等式的解集為______.【答案】【解析】已知當(dāng)時，，將其變形為，進(jìn)一步整理得.令，對求導(dǎo)，.當(dāng)時，，，可得，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，即.那么，所以是奇函數(shù).所以在上也是單調(diào)遞減.已知，則.當(dāng)時，，則，∴不等式可化為，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則.當(dāng)時，；，得，則，∴不等式可化為，即，則.綜上，不等式的解集為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.將兩個完全相同的三角板按（圖①）的方式進(jìn)行拼接，將三角板沿折起，使到達(dá)點(diǎn)的位置（如圖②），使二面角的平面角為，為中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）折起后，點(diǎn)是上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，求直線與平面所成角的正切值.（1）證明：∵三角板和為兩個完全相同的三角板，拼接前有和，折后不變，即和.又，面，面，面.（2）解：由①可知和，二面角的平面角為，即.又，為等邊三角形，面，面，面面，面面，在平面中，過作，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，以為軸正方向，以為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.令，則，則.因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的四等分點(diǎn)且靠近點(diǎn)，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，則.設(shè)直線與平面所成角為，則.因?yàn)榍覟殇J角，所以，又因?yàn)椋?所以，直線與平面所成角的正切值為.16.的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若是的重心，求的面積.解：（1）因?yàn)?，則，可得，又因?yàn)?，則，可得由正弦定理可得，即，可得，整理可得，且，所以.（2）方法一：在中，，則.可得，.又因?yàn)闉榈闹匦?，到邊的距離為到的距離的倍，所以；方法二：因?yàn)?，則，且，可得，延長，交于，在中，由余弦定理可得，即，可得，由正弦定理得：，則所以.17.已知函數(shù)滿足.（1）求與的值；（2）判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)并證明；（3）當(dāng)時，證明：.（1）解：令，有.求得.令，有.求得.（2）解：有.令所以在上單調(diào)遞增.故使時，單調(diào)遞減；時，單調(diào)遞增.所以又當(dāng)時，所以，，故恒成立.在上無零點(diǎn).（3）證明：令時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故有…………①令時，在上單調(diào)遞增，故有……②由①，②可得.又時，恒成立所以即.18.為培養(yǎng)青少年航天科學(xué)素養(yǎng)，某航天科技館組織中學(xué)生航天科技大賽，每個地區(qū)選派5名學(xué)生組隊參賽，比賽分為二人組筆試航天知識問答和三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實(shí)操測試比賽兩場.在筆試知識問答中每隊有兩名同學(xué)，只需抽一名選手參加，該選手答一道程序邏輯推理題目，若答對可以進(jìn)入第二環(huán)節(jié)，在三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實(shí)操測試比賽中，規(guī)則是每組三個選手，先選派一人進(jìn)行一次編程設(shè)計試驗(yàn)，若能運(yùn)行成功記為通過.第一位選手通過，第二位選手則有三次上場機(jī)會，否則該組結(jié)束比賽.如果第二位選手通過一次及以上測試，則每次通過后得4分，并為第三位選手爭取到兩次上場機(jī)會，否則第二位選手不加分并結(jié)束該組比賽.第三位選手每次通過試驗(yàn)均加10分，不通過不加分.兩位選手得分之和計為本場比賽總得分.（1）已知在二人組筆試航天知識問答中，某地區(qū)A、B兩人組隊，A、B第一環(huán)節(jié)答對問題的概率分別是、，第二環(huán)節(jié)中共有6個題目，選手抽出三道題作答，答對一題得4分.已知6個題目中有4個題目A同學(xué)熟悉并能答對，有3個題目B同學(xué)熟悉并能答對.設(shè)選派A同學(xué)和B同學(xué)參賽得分分別為X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望；（2）現(xiàn)某組決定選派甲、乙、丙三位選手參加“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實(shí)操測試比賽，先后進(jìn)入三個環(huán)節(jié)，甲選手在第一個環(huán)節(jié)中通過測試的概率為，乙選手在第二個環(huán)節(jié)中通過每一次測試的概率均為，丙選手在第三個環(huán)節(jié)中通過每一次測試的概率均為.①在甲選手通過測試的條件下，求該組乙選手得分的分布列；②求該隊在三人組“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實(shí)操測試比賽中的總得分期望.解：（1）同學(xué)參賽得分所有取值為0，4，8，12，，，，，所以的分布列為04812.（2）①設(shè)乙選手在三次測試中得分為，則所有取值為0，4，8，12，，，，，所以分布列為04812②設(shè)該隊在“編程調(diào)試與仿真設(shè)計”實(shí)操測試比賽中總得分為，則所有取值為0，4，8，12，14，18，22，24，28，32，在甲選手已通過測試的條件下概率如下：，，，，，，，，，，所以的分布列為04812141822242832由于甲選手通過測試概率為，所以總得分的期望為.19.已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且點(diǎn)在雙曲線上.過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線、，直線交漸近線于兩點(diǎn)，直線交漸近線于兩點(diǎn)，分別是線段和的中點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線交軸于點(diǎn)，設(shè).（ⅰ）求；（ⅱ）記，求數(shù)列的前項和.解：（1）因?yàn)闄E圓，所以橢圓的左右兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)也是，所以雙曲線中，設(shè)雙曲線的方程是：將點(diǎn)代