高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六講 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式(原卷版)

第六講導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、基本不等式一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查，重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次）以及借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要和充分條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值。2.高考對(duì)基本不等式的考查，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題。導(dǎo)數(shù)與切線2022·新高考Ⅰ卷，102022·新高考Ⅰ卷，152022·新高考Ⅱ卷，142024·新高考Ⅰ卷，132024·新高考Ⅱ卷，16（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值及恒成立問題2022·新高考Ⅰ卷，22（1）2023·新高考Ⅰ卷，192024·新高考Ⅰ卷，18（1）2022·新高考Ⅱ卷，142022·新高考Ⅱ卷，22（1）2023·新高考Ⅱ卷，22（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值、極值點(diǎn)2023·新高考Ⅱ卷，112024·新高考Ⅱ卷，16（2）導(dǎo)數(shù)與比較大小、基本不等式2022·新高考Ⅰ卷，72022·新高考Ⅱ卷，12二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了導(dǎo)數(shù)與切線和函數(shù)最值的知識(shí)點(diǎn)，Ⅱ卷也考查到了切線，但是是體現(xiàn)在大題16題的第一問中，同時(shí)也考查到了恒成立問題。切線問題備考時(shí)注意含參數(shù)和公切線的問題即可，難度一般都是較易和適中。導(dǎo)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、不等式證明等問題。導(dǎo)數(shù)常結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)、最值等問題綜合考查，比如含函數(shù)單調(diào)性問題、恒成立問題等，理解劃歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想的應(yīng)用。預(yù)計(jì)2025年高考還是主要考查導(dǎo)數(shù)與切線及單調(diào)性問題。三：試題精講一、填空題1．（2024新高考Ⅰ卷·13）若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則.二、解答題2．（2024新高考Ⅰ卷·18）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；3．（2024新高考Ⅱ卷·16）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅰ卷·7）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．（2023新高考Ⅱ卷·6）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．二、多選題3．（2022新高考Ⅱ卷·12）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．4．（2023新高考Ⅱ卷·11）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．三、填空題5．（2022新高考Ⅰ卷·15）若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．6．（2022新高考Ⅱ卷·14）曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為，．四、解答題7．（2022新高考Ⅰ卷·22）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；8．（2023新高考Ⅰ卷·19）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．9．（2022新高考Ⅱ卷·22）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；10．（2023新高考Ⅱ卷·22）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：4、切線問題（1）在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．（2）過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．二、單調(diào)性基礎(chǔ)問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減．三、討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）求根作圖得結(jié)論（如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論）；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)（若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù)）；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)（若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)）；（6）一階復(fù)雜求二階（找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo)）；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù)，對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間（通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段）；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域（化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間）；（2）變號(hào)保留定號(hào)去（變號(hào)部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號(hào)部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分）；（3）恒正恒負(fù)先討論（變號(hào)部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù)）；然后再求有效根；（4）根的分布來定參（此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系）；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；四、極值與最值1、函數(shù)的極值函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作．如果對(duì)附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作．極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，稱為極值點(diǎn)．求可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟（1）先確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)；（3）求方程的根；（4）檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個(gè)根處取得極小值．注：①可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值的充要條件是：是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，即，且在左側(cè)與右側(cè)，的符號(hào)導(dǎo)號(hào)．②是為極值點(diǎn)的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點(diǎn)．另外，極值點(diǎn)也可以是不可導(dǎo)的，如函數(shù)，在極小值點(diǎn)是不可導(dǎo)的，于是有如下結(jié)論：為可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)；但為的極值點(diǎn)．2、函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時(shí)，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值．【導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用常用結(jié)論】1、恒成立和有解問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担抑涤?yàn)?，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（小）值，如值域?yàn)椋瑒t對(duì)不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對(duì)于任意的，總存在，使得；（6）對(duì)于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對(duì)于任意的，使得；（8）若存在，對(duì)于任意的，使得；（9）對(duì)于任意的，使得；（10）對(duì)于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．名校模擬練一、單選題1．（2024·河北保定·三模）曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．2．（2024·陜西西安·三模）已知函數(shù)則在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．3．（2024·河北保定·三模）已知二次函數(shù)（且）的圖象與曲線交于點(diǎn)P，與x軸交于點(diǎn)A（異于點(diǎn)O），若曲線在點(diǎn)P處的切線為l，且l與AP垂直，則a的值為（

）A． B． C． D．4．（2024·貴州六盤水·三模）已知曲線的一條切線方程為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C．1 D．25．（2024·湖南長沙·二模）已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．4 B．3 C．2 D．16．（2024·貴州黔東南·二模）已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A．0 B． C．1 D．7．（2024·福建泉州·二模）在等比數(shù)列中，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則t的值為（

）A． B． C．4 D．58．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)（，且），，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)極大值點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．． C． D．9．（2024·遼寧·二模）已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（

）A． B．2 C．1 D．10．（2024·新疆喀什·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．11．（2024·安徽合肥·三模）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，若滿足：，，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題12．（2024·河北衡水·三模）已知函數(shù)，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C．過點(diǎn)能作兩條不同直線與相切 D．函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)13．（2024·重慶·三模）若函數(shù)既有極小值又有極大值，則（）A． B． C． D．14．（2024·山西太原·三模）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的對(duì)稱中心為 B．C． D．15．（2024·河北·三模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．C． D．三、填空題16．（2024·上?！と＃┰O(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為.17．（2024·上?！と＃┤艉瘮?shù)在上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．18．（2024·上海閔行·三模）早在西元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)以及調(diào)和中項(xiàng)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派哲學(xué)家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項(xiàng)，其中算術(shù)中項(xiàng)，幾何中項(xiàng)的定義與今天大致相同.若，則的最小值為.19．（2024·廣東·三模）設(shè)實(shí)數(shù)x、y、z、t滿足不等式，則的最小值為.20．（2024·浙江紹興·三模）若，且，則的最小值是．21