高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十四講 立體幾何綜合五大考向（原卷版）

第十四講立體幾何綜合（五大考向)一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計(jì)1.高考對(duì)立體幾何綜合的考查，重點(diǎn)是（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直。（3）用幾何法進(jìn)行平行、垂直關(guān)系的證明，以及能用向量法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理。（4）能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會(huì)向量法在研究空間角問題中的作用。平行關(guān)系2023·新高考Ⅰ卷，18（1）2024·新高考Ⅰ卷，17（1）2022·新高考Ⅱ卷，20（1）垂直關(guān)系2023·新高考Ⅱ卷，20（1）2024·新高考Ⅱ卷，17（1）點(diǎn)到面的距離2022·新高考Ⅰ卷，19（1）求二面角2022·新高考Ⅰ卷，19（2）2022·新高考Ⅱ卷，20（2）2023·新高考Ⅱ卷，20（2）2024·新高考Ⅱ卷，17（2）已知二面角求其他量2023·新高考Ⅰ卷，18（2）2024·新高考Ⅰ卷，17（2）二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查了線面平行關(guān)系的證明和已知二面角求長(zhǎng)度問題。Ⅱ卷考查了線線垂直關(guān)系的證明和二面角正弦值的求解。難度適中，不過解題的證明方法還是比較少見的，大家要注意。例如Ⅰ卷是利用垂直關(guān)系的性質(zhì)來考查平行，二面角既可以用定義法也可以建系解決。預(yù)計(jì)2025年高考第（1）問還是主要考查平行與垂直的判定與性質(zhì)，第（2）問主要考查利用空間向量的相關(guān)知識(shí)解決空間角的問題。三：試題精講一、解答題1．（2024新高考Ⅰ卷·17）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．2．（2024新高考Ⅱ卷·17）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF對(duì)折至，使得．(1)證明：；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．高考真題練一、解答題1．（2022新高考Ⅰ卷·19）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．2．（2023新高考Ⅰ卷·18）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．3．（2022新高考Ⅱ卷·20）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．4．（2023新高考Ⅱ卷·20）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、直線的方向向量1、直線的方向向量如圖8-153所示，為經(jīng)過已知點(diǎn)且平行于已知非零向量的直線．對(duì)空間任意一點(diǎn)，點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點(diǎn)是線段的中點(diǎn)時(shí)，，此式叫做線段的中點(diǎn)公式．2、共面向量如圖8-154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．3、共面向量定理如果兩個(gè)向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．推論：①空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使；或?qū)臻g任意一點(diǎn)，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點(diǎn)與點(diǎn)，，共面；反之也成立．二、空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1、兩向量夾角已知兩個(gè)非零向量，，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．2、數(shù)量積定義已知兩個(gè)非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．3、空間向量的數(shù)量積滿足的運(yùn)算律：，（交換律）；（分配律）．三、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用1、設(shè)，，則；；；；；．2、設(shè)，，則．這就是說，一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示該向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的坐標(biāo)．3、兩個(gè)向量的夾角及兩點(diǎn)間的距離公式．①已知，，則；；；；②已知，，則，或者．其中表示與兩點(diǎn)間的距離，這就是空間兩點(diǎn)的距離公式．4、向量在向量上的投影為．四、法向量的求解與簡(jiǎn)單應(yīng)用1、平面的法向量：如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作，如果，那么向量叫做平面的法向量．幾點(diǎn)注意：=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量是平面的法向量，向量是與平面平行或在平面內(nèi)，則有．第一步：寫出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向；第二步：那么平面法向量，滿足．2、判定直線、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線與直線的位置關(guān)系：不重合的兩條直線，的方向向量分別為，．若∥，即，則；若，即，則．=2\*GB3②直線與平面的位置關(guān)系：直線的方向向量為，平面的法向量為，且．若∥，即，則；若，即，則．3、平面與平面的位置關(guān)系平面的法向量為，平面的法向量為．若∥，即，則；若⊥，即，則⊥．五、空間角公式1、異面直線所成角公式：設(shè)，分別為異面直線，上的方向向量，為異面直線所成角的大小，則．2、線面角公式：設(shè)為平面的斜線，為的方向向量，為平面的法向量，為與所成角的大小，則．3、二面角公式：設(shè)，分別為平面，的法向量，二面角的大小為，則或（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中．六、空間中的距離求解空間中的距離1、異面直線間的距離：兩條異面直線間的距離也不必尋找公垂線段，只需利用向量的正射影性質(zhì)直接計(jì)算．如圖，設(shè)兩條異面直線的公垂線的方向向量為，這時(shí)分別在上任取兩點(diǎn)，則向量在上的正射影長(zhǎng)就是兩條異面直線的距離．則即兩異面直線間的距離，等于兩異面直線上分別任取兩點(diǎn)的向量和公垂線方向向量的數(shù)量積的絕對(duì)值與公垂線的方向向量模的比值．2、點(diǎn)到平面的距離為平面外一點(diǎn)（如圖），為平面的法向量，過作平面的斜線及垂線．名校模擬練一、解答題1．（2024·江西九江·三模）如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，為等邊三角形.(1)證明：；(2)若二面角的大小為，求二面角的正弦值.2．（2024·安徽蕪湖·三模）如圖，三棱錐中，平面平面，平面平面，平面平面，(1)求證：兩兩垂直；(2)若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值．3．（2024·四川成都·三模）如圖，三棱柱所有棱長(zhǎng)都為2，，D為與交點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若，求二面角的余弦值．4．（2024·江西南昌·三模）如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點(diǎn)，如圖2．將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面，連接.(1)求證：，，，四點(diǎn)共面：(2)求平面與平面所成角的余弦值.5．（2024·北京順義·三模）如圖在幾何體ABCDFE中，底面ABCD為菱形，，，，.(1)判斷AD是否平行于平面CEF，并證明；(2)若面面；求：（?。┢矫媾c平面CEF所成角的大??；（ⅱ）求點(diǎn)A到平面CEF的距離.6．（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角中且，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形使得，沿三邊折疊，使得，重合于，如圖二(1)求證：．(2)求直線與平面所成角的正弦值．7．（2024·河北秦皇島·三模）如圖，在三棱柱中，，四邊形為菱形，，.(1)證明：.(2)已知平面平面，求二面角的正弦值.8．（2024·河南·三模）如圖，在直三棱柱中，是棱BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)不重合），且，過作平面的垂線．(1)證明：；(2)若，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求AC與平面所成角的正弦值．9．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．10．（2024·廣東汕頭·三模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，是中點(diǎn)，是中點(diǎn).(1)證明：直線平面；(2)若，求平面與平面的夾角的余弦值.11．（2024·浙江紹興·三模）如圖，在直三棱柱中，，，、分別為、的中點(diǎn)，設(shè)平面交棱于點(diǎn)．(1)求；(2)求二面角的平面角的正切值．12．（2024·湖南長(zhǎng)沙·三模）如圖，在四棱臺(tái)中，，，.(1)證明：平面平面；(2)若，四棱臺(tái)的體積為，求平面與平面夾角的余弦值.13．（2024·山東煙臺(tái)·三模）如圖，在直三棱柱中，，M，N分別為，中點(diǎn)，且．(1)證明：；(2)若D為棱上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時(shí)，求二面角的余弦值.14．（2024·四川成都·三模）中國(guó)是風(fēng)箏的故鄉(xiāng)，南方稱“鷂”，北方稱“鳶”.如圖，某種風(fēng)箏的骨架模型是四棱錐，其中，，交于點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若，且二面角為，求直線與平面所成角的正弦值.15．（2024·山東青島·三模）如圖所示，多面體，底面是正方形，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，側(cè)面與是全等的等腰梯形，，其余棱長(zhǎng)均為2.(1)證明:平面；(2)若點(diǎn)在棱上，直線與平面所成角的正弦值為，求.16．（2024·新疆喀什·三模）如圖，在正四棱臺(tái)中，，，是的中點(diǎn)．(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值17．（2024·浙江·三模）如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面底面，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P到平面的距離；(2)當(dāng)平面與平面的夾角的余弦值為時(shí)，求．18．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）如圖所示，四棱錐中，平面，，，，為棱上的動(dòng)點(diǎn).(1)求證：；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（2024·江西新余·二模）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，且，.

(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面平面；(2)若，，線段上的點(diǎn)滿足，且平面與平面夾角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值.20．（2024·貴州六盤水·三模）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為和的正方形，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且