《信號與系統(tǒng)》課件-第4章

第4章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯反變換4.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法4.5系統(tǒng)函數(shù)4.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特性(4-1)如果用一個(gè)實(shí)指數(shù)函數(shù)e－σt乘以f(t),只要σ的數(shù)值選擇得當(dāng),就可以克服這一障礙,例如對于信號

4.1拉普拉斯變換

4.1.1拉普拉斯變換的定義

信號f(t)之所以不滿足絕對可積的條件,是由于當(dāng)t→∞或t→－∞時(shí),f(t)不收斂,即式中,a、b都是正實(shí)數(shù),且a>b。只要選擇a>σ>b,就能保證當(dāng)t→∞或t→－∞時(shí)f(t)e－σt均趨于零。通常把e－σt稱為收斂因子。

f(t)乘以收斂因子e－σt后的信號f(t)e－σt成為絕對可積函數(shù),其傅立葉變換為(4-2)它是σ+jω的函數(shù),可以寫成(4-3)F(σ+jω)的傅立葉反變換為(4-4)將式(4-4)兩邊乘以eσt得到(4-5)可見式(4-3)和式(4-5)構(gòu)成一對積分變換。又令s=σ+jω為復(fù)頻率,從而ds=jdω,當(dāng)ω=±∞時(shí),s=σ±j∞,于是式(4-3)可改寫為(4-6)式(4-5)可改寫為(4-7)式(4-6)稱為f(t)的雙邊拉普拉斯變換。它是復(fù)頻域s的函數(shù),記為L

［f(t)］。式(4-7)稱為F(s)拉普拉斯反變換,它是時(shí)間t的函數(shù),記為L－1［F(s)］。從而由傅立葉變換推廣成為拉普拉斯變換,f(t)與F(s)構(gòu)成了拉普拉斯變換對(4-8)式中,F(s)=L［f(t)］,f(t)=L－1［F(s)］。4.1.2常用信號的拉普拉斯變換

下面給出一些常用信號的拉普拉斯變換(假定這些單邊信號均起始于t=0時(shí)刻)。

1.沖激信號即(4-10)(4-11)

2.階躍信號u(t)(4-12)3.指數(shù)函數(shù)信號e－αtu(t)(4-13)

4.t的正冪信號tnu(t)(n為正整數(shù))令x=tn,dx=ntn－1dt有則有所以

5.余弦信號cosω0tu(t)(4-15)

6.正弦信號sinω0tu(t)(以下過程略)(4-16)

7.衰減余弦信號e－αtcosω0tu(t)(4-17)

8.衰減正弦信號e－αtsinω0tu(t)(以下過程略)(4-18)表4-1給出了常用拉普拉斯變換對。

4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

1.線性特性

若【例4-1】

已知求f1(t)－f2(t)的拉普拉斯變換。

解

2.時(shí)移特性

若(4-20)

【例4-2】

求圖4-1所示時(shí)間函數(shù)u(t－1)的拉普拉斯變換。解因?yàn)橛蓵r(shí)移特性得圖4-1例4-2的u(t－1)圖

3.復(fù)頻移特性

若(4-21)

【例4-3】

試求f(t)=e－αtcosω0t·u(t)的拉普拉斯變換。解因?yàn)槔脧?fù)頻移特性得

4.尺度變換

若(4-22)

證明

【例4-4】

已知,若a>0,b>0,求f(at－b)u(at－b)(a>0,b≥0)的拉普拉斯變換。

解

(方法一)先由時(shí)移特性得再用展縮特性得

(方法二)先由展縮特性得再用時(shí)移特性得

5.卷積特性

若(4-23)【例4-5】

已知求f1(t)*f2(t)的拉普拉斯變換,此時(shí)f1(t)、f2(t)皆為正時(shí)域函數(shù)。解

所以

6.時(shí)域微分

若(4-24)即(4-25)

【例4-6】

已知分析如圖4-2(a)、(b)所示兩信號,試求的拉普拉斯變換。圖4-2例4-6中兩信號波形解因?yàn)樗远?/p>

7.時(shí)域積分

若(4-26)即(4-27)

【例4-7】

試通過階躍信號u(t)的積分求斜坡信號tu(t)及tnu(t)的拉普拉斯變換。

解因?yàn)槎娈愋盘栔g的微積分關(guān)系有所以則

8.s域微分

若(4-28)

【例4-8】

求f1(t)=te－αtu(t)的拉普拉斯變換。

解已知由式(4-28)得則

9.時(shí)域卷積

若(4-29)

10.初值定理若L

［f(t)］=F(s)且存在,則f(t)的初值為(4-30)

11.終值定理若存在,則f(t)的終值為(4-31)

【例4-9】

已知復(fù)頻域F(s)=(1/s+1),試求時(shí)域中f(t)的初值和終值。

解根據(jù)初值定理和終值定理得表4-2給出了拉普拉斯變換的性質(zhì)。

4.3拉普拉斯反變換

1.F(s)有單極點(diǎn)(特征根為單根)

如果方程A(s)=0的根都是單根,其n個(gè)根s1、s2、…、sn都互不相等,那么根據(jù)代數(shù)理論,F(s)可展開為如下的部分分式:(4-33)待定系數(shù)Ki可用如下方法求得。將式(4-33)等號兩端同乘以

s－si,得當(dāng)s→si時(shí),由于各根均不相等,故等號右端除Ki一項(xiàng)外均趨近于零,于是得(4-34)由,并利用線性特性,可得式(4-33)的原函數(shù)為(4-35)式(4-35)中系數(shù)可由式(4-34)求得。

【例4-10】

求F(s)=(s+4)/(s3+3s2+2s)的原函數(shù)f(t)。

解函數(shù)F(s)的分母多項(xiàng)式A(s)=s3+3s2+2s=s(s+1)(s+2),

方程A(s)=0有三個(gè)單實(shí)根s1=0、s2=－1、s3=－2,用式(4-34)可求得各系數(shù)為所以取其反變換,得

f(t)=2－3e－t+e－2t,t≥0

或

f(t)=(2－3e－t+e－2t)u(t)

2.F(s)有共軛單極點(diǎn)(特征根為共軛單根)

方程A(s)=0若有復(fù)數(shù)根(或虛根),它們必共軛成對,否則,多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)中必有一部分是復(fù)數(shù)或虛數(shù),而不可能全為實(shí)數(shù)。

【例4-11】

求F(s)=(s+2)/(s2+2s+2)的原函數(shù)f(t)。

解部分分式法

函數(shù)F(s)的分母多項(xiàng)式

A(s)=s2+2s+2=(s+1－j)(s+1+j)

方程A(s)=0有三個(gè)單實(shí)根s1,2=－1±j,用式(4-34)可求得各系數(shù)為系數(shù)K1、K2也為互共軛復(fù)數(shù)。F(s)可展開為取反變換得配方法

【例4-12】

求F(s)=(s+3)/(s3+3s2+6s+4)的原函數(shù)f(t)。解因?yàn)?/p>

A(s)=s3+3s2+6s+4=(s+1)(s2+2s+4)所以解之得又左右兩邊分子常數(shù)項(xiàng)相等,得3=4A+C解之得C=1/3同理1=B+2A+C得B=－2/3所以又

3.F(s)有重極點(diǎn)(特征根為重根)

如果A(s)=0在s=si處有r重根,即s1=s2=…=sr,而其余(n－r)個(gè)根sr+1、…、sn都不等于s1。則象函數(shù)F(s)的展開式可寫為式中,F2(s)=是除重根以外的項(xiàng),且當(dāng)s=s1時(shí),A2(s1)≠0。各系數(shù)K1i(i=1,2,…,r)可這樣求得,將式(4-36)等號兩端同乘以(s－s1)r,得

(4-37)令s=s1,得(4-38)將式(4-37)對s求導(dǎo),得令s=s1,得(4-39)依次類推,可得(式中i=1,2,…,r)(4-40)

【例4-13】求F(s)=(s+3)/[(s+1)3(s+2)]的原函數(shù)f(t)。解方程A(s)=0有三重根s1=s2=s3=－1和單根s4=－2。故F(s)的展開式為用式(4-40)和式(4-34)可求得各系數(shù)K1i(i=1,2,3)和K4。

所以取反變換得

4.4連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的復(fù)頻域分析法

4.4.1微分方程s域解法

給定一個(gè)電路以及輸入信號求輸出響應(yīng),這是最基本的電路分析問題。求解步驟是:首先列出輸入、系統(tǒng)及響應(yīng)之間的微分方程,如果系統(tǒng)是LTI系統(tǒng),則列出的是常系數(shù)線性微分方程,然后解此方程。方法是第2章介紹的經(jīng)典解法或零輸入與零狀態(tài)的解法,用拉普拉斯變換法解決此問題就是把所列的微分方程雙邊進(jìn)行拉普拉斯變換,用代數(shù)方法求得響應(yīng)函數(shù)的象函數(shù);最后運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟮幂敵龅捻憫?yīng)。

【例4-14】

描述某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為

y″(t)+3y′(t)+2y(t)=2f′(t)+6f(t)

已知輸入f(t)=u(t),初始狀態(tài)y(0－)=2、y′(0－)=1。求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。

解對微分方程取拉普拉斯變換,有s2Y(s)－sy(0－)－y′(0－)+3sY(s)－3y(0－)+2Y(s)=2sF(s)+6F(s)即(s2+3s+2)Y(s)－[sy(0－)+y′(0－)+3y(0－)]=2(s+3)F(s)可解得將F(s)=L［u(t)］=1/s和各初始值代入上式得對以上二式取反變換,得零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為系統(tǒng)的全響應(yīng)由y(t)=yx(t)+yf(t)=(3+e－t－2e－2t)u(t)整理后得

【例4-15】

已知電路如圖4-3(a)所示。電路的起始狀態(tài)為零,當(dāng)開關(guān)閉合后,直流電源E接入電路,求電流i(t)。

解首先列出電路的微分方程即因?yàn)?/p>

,兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換得于是當(dāng)R=2Ω,L=1mH,C=1000μF,E=10V時(shí)其中所以i(t)=104te－1000tu(t)i(t)的圖形如圖4-3(b)所示。圖4-3例4-15電路圖和波形此時(shí)電路處于臨界阻尼狀態(tài),電路不能振蕩。由此例可以看出,可以對電路列寫微分方程,但不用微分方程的一般解法,而是通過對列出的微分方程兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換,把微分方程變換為代數(shù)方程,這樣求解就容易了許多。另一特點(diǎn)就是,如果系統(tǒng)具有初始條件,如初始電感電流或初始電容電壓,在進(jìn)行拉普拉斯變換時(shí)已經(jīng)自動(dòng)包含在拉普拉斯變換式中,免去了求零輸入、零狀態(tài)計(jì)算的麻煩。但從例4-15可以看到,當(dāng)電路復(fù)雜、網(wǎng)孔和節(jié)點(diǎn)多時(shí),此方程的列寫就十分麻煩,是否有更方便的方法呢？下面介紹一種復(fù)頻域模型法。4.4.2電路的s域模型解法

對于具體電路,可以不必先列出微分方程再取拉普拉斯變換,而是通過導(dǎo)出的復(fù)頻域電路模型,直接列寫求解響應(yīng)的變換式。下面從電路結(jié)構(gòu)約束和元件約束兩方面討論它們在s域的形式。

時(shí)域的KCL方程描述了在任意時(shí)刻流出(或流入)任一節(jié)點(diǎn)(或割集)電流的方程,它是各電流的一次函數(shù),若各電流ik(t)的象函數(shù)為Ik(s)(稱其為象電流),則由線性特性有(4-41)式(4-41)表明,對任一點(diǎn)(或割集),流出(或流入)該節(jié)點(diǎn)的象電流的代數(shù)和恒等于零。雖然它是象函數(shù)表達(dá)式,習(xí)慣上仍稱其為KCL。同理,時(shí)域的KVL方程也是回路中各支路電壓的一次函數(shù),若各支路電壓uk(t)的象函數(shù)為Uk(s)(稱其為象電壓),則由線性特性有(4-42)

1.電阻R

因?yàn)闀r(shí)域的電壓與電流關(guān)系為u(t)=R·i(t),取拉普拉斯變換有(4-43)或

2.自感L對于含有初始值iL(0－)的自感L,因?yàn)闀r(shí)域的電壓電流關(guān)系有微分形式和積分形式兩種,對應(yīng)的s域模型也有兩種形式(4-44)(4-45)

3.電容C

對于含有初始值uC(0－)的電容C,用與分析自感s域模型類似的方法,同理可得電容C的s域模型為(4-46)

【例4-16】

試求圖4-4(a)所示的電流i(t)。已知R=6Ω,L=1H,C=0.04F，us(t)=12sin5t

V,初始狀態(tài)iL(0－)=5A,

UC(0－)=1V。

解本題s域模型如圖4-4(b)所示,其中圖4-4例4-16圖由KVL可得由此可得其中為零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù),是由輸入引起的。為零輸入響應(yīng)的象函數(shù),是由初始條件引起的。先計(jì)算If(s),將R、L、C的數(shù)值代入得應(yīng)用部分分式展開式,可寫成式中求拉普拉斯變換再計(jì)算Ix(s)。將R、L、C及iL(0－),U(0－)值代入得且

K3=(s+3－j4)Ix(s)|s=－3+j4=2.5+j2=3.2∠38.6°

求拉普拉斯反變換

ix(t)=L－1[Ix(s)]=[6.4e－3tcos(4t+38.6°)]

=5e－3tcos4t－4e－3tsin4t

t≥0

于是完全響應(yīng)

i(t)=if(t)+ix(t)=5e－3tcos4t－6.5e－3tsin4t+2sin5t

=8.2e－3tcos(4t+52.43°)+2sin5t

A,t>0

【例4-17】已知電路如圖4-5所示,us(t)=12V,L=1H,C=1F,R1=3Ω,R2=2Ω,R3=1Ω,原電路已處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí),開關(guān)S閉合,求S閉合后R3兩端電壓的零輸入響應(yīng)y1(t)和零狀態(tài)響應(yīng)y2(t)。圖4-5例4-17圖解首先求出電容電壓和電感電流的初始值iL(0－)和

uC(0－),在t=0－時(shí),開關(guān)未閉合,可求得畫出電路的s域模型圖,如圖4-5(b)所示,列節(jié)點(diǎn)電流方程為將L、C、R1、R2的參數(shù)代入上式得

解上式可得上式中第一項(xiàng)僅與初始條件有關(guān),因此是響應(yīng)的零輸入響應(yīng);第二項(xiàng)僅與輸入U(xiǎn)s有關(guān),因此是響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)。將初始條件iL(0－)和uC(0－)代入上式第一部分得零輸入響應(yīng)所以u1(t)=(8t－6)e－2tu(t)V將Us(s)=12/s代入上式第二部分,則取其反變換為

【例4-18】

求圖4-6(a)所示電路的u2(t)。已知初始條件u1(0－)=10V;u2(0－)=25V;電壓源us(t)=50cos2t·u(t)V。圖4-6例4-18圖解作s域模型如圖4-6(b)所示。注意,初始條件以內(nèi)部象電流形式表示便于使用節(jié)點(diǎn)分析法。

列出象函數(shù)節(jié)點(diǎn)方程簡化后得(s+2)U1(s)－2U2(s)=10

(4-48)(4-49)由式(4-48)得代入式(4-49)解得部分分式展開得取拉普拉斯反變換

4.5系統(tǒng)函數(shù)

4.5.1系統(tǒng)函數(shù)的概念

系統(tǒng)函數(shù)定義為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比,它是該系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的拉普拉斯變換。

【例4-19】

描述LTI系統(tǒng)的微分方程為y″(t)+2y′(t)+2y(t)=f′(t)+3f(t),求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。

解令零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為Y(s),對方程進(jìn)行拉普拉斯變換(注意到初始狀態(tài)為零)得

s2Y(s)+2sY(s)+2Y(s)=sF(s)+3F(s)

于是得系統(tǒng)函數(shù)由正、余弦函數(shù)的變換對,并應(yīng)用復(fù)頻域特性可得所以系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

【例4-20】

已知當(dāng)輸入f(t)=e－tu(t)時(shí),某LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為

y(t)=(3e－t－4e－2t+e－3t)u(t)

求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和描述該系統(tǒng)的微分方程。

解為求得沖激響應(yīng)h(t)及系統(tǒng)的方程,應(yīng)首先求得系統(tǒng)函數(shù)H(s)。由給定的f(t)和y(t)可得所以取上式反變換,得系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為

【例4-21】

設(shè)某LTI系統(tǒng)的初始狀態(tài)已定。已知當(dāng)輸入f(t)=f1(t)=δ(t)時(shí),系統(tǒng)的全響應(yīng)y1(t)=3e－tu(t);當(dāng)f(t)=f2(t)=u(t)時(shí),系統(tǒng)的全響應(yīng)y2(t)=(1+e－t)u(t);當(dāng)輸入f(t)=tu(t)時(shí),求系統(tǒng)的全響應(yīng)。

解設(shè)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yx(t)和零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的象函數(shù)分別為Yx(s)和Yf(s),系統(tǒng)全響應(yīng)y(t)的象函數(shù)可寫為Y(s)=Yx(s)+Yf(s)=Yx(s)+H(s)F(s)由已知條件,當(dāng)輸入f1(t)=δ(t)時(shí),F1(s)=1,故有當(dāng)輸入f2(t)=u(t)時(shí),F2(s)=(1/s),故有由以上方程可解得所以得零輸入響應(yīng)為當(dāng)輸入f(t)=tu(t)時(shí),F(s)=(1/s2),故這時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)的象函數(shù)故得零狀態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)的全響應(yīng)為4.5.2系統(tǒng)函數(shù)與s域分析法

【例4-22】

圖4-7(a)所示是常用的分壓電路,若以u1(t)為輸入,u2(t)為輸出,試分析為使輸出不失真,電路各元件應(yīng)滿足的條件。圖4-7例4-22圖解如果電路中各初始值[uC(0－),iC(0－)]等均為零,則其時(shí)域電路圖與其s域電路模型具有相同的形式,只是各電流、電壓變換為相應(yīng)的象函數(shù),各元件變換為相應(yīng)的s域模型(零狀態(tài)),如圖4-7(b)所示。

在圖4-7(b)中,令R1與(1/sC1)并聯(lián)的阻抗為Z1(s),導(dǎo)納為

Y1(s);R2與(1/sC2)并聯(lián)的阻抗為Z2(s),導(dǎo)納為Y2(s),則有可求得系統(tǒng)函數(shù)(或稱網(wǎng)絡(luò)函數(shù))為

【例4-23】

圖4-8所示電路是最平幅度型(也稱為巴特沃斯型)三階低通濾波器,它接于電源(含內(nèi)阻R)與負(fù)載R之間。已知L=1H,C=2F,R=1Ω,求系統(tǒng)函數(shù)H(s)=U2(s)/U1(s)(電壓比函數(shù))及其階躍響應(yīng)。

解若用等效電源定理求解,可將負(fù)載R斷開,其相應(yīng)的s域電路模型如圖4-8(b)所示。不難求得,其開路電壓象函數(shù)(將R、L、C的值代入)為圖4-8例4-23圖等效阻抗為于是可求得輸出電壓u2(t)的象函數(shù)為該濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為求該電路的階躍響應(yīng)。按階躍響應(yīng)的定義,當(dāng)輸入u1(t)=u(t)V時(shí),其象函數(shù)U1(s)=1/s,故其零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為取上式的反變換,得圖4-8(a)濾波器的階躍響應(yīng)為

4.6連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的特性

4.6.1系統(tǒng)的零極點(diǎn)與系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性

1.系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)

線性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),是以多項(xiàng)式之比的形式出現(xiàn)的,即式中系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n),bj(j=0,1,2,…,m)都是實(shí)常數(shù),其中an=1。系統(tǒng)函數(shù)分母多項(xiàng)式A(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn),而系統(tǒng)函數(shù)分子多項(xiàng)式B(s)=0的根稱為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)。極點(diǎn)使系統(tǒng)函數(shù)取值為無窮大,而零點(diǎn)使系統(tǒng)函數(shù)取值為零。

B(s)和A(s)都可以分解成線性因子的乘積,即(4-51)

2.系統(tǒng)的因果性

因果系統(tǒng)指的是,系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)不出現(xiàn)于激勵(lì)f(t)之前。也就是說,對于t=0接入的任意激勵(lì)f(t),有

f(t)=0,t<0

(4-52)

如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)有

y(t)=0,t<0

(4-53)

就稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng),否則稱為非因果系統(tǒng)。

連續(xù)因果系統(tǒng)的充分和必要條件是,沖激響應(yīng)

h(t)=0,t<0

(4-54a)

或者,系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)?/p>

Re{s}>σ0

(4-54b)即其收斂域?yàn)槭諗孔鴺?biāo)σ0以右的半平面,換言之,H(s)的極點(diǎn)都在收斂軸Re[s]=σ0的左邊。

現(xiàn)在證明連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件。

設(shè)系統(tǒng)的輸入f(t)=δ(t),顯然,在t<0時(shí)f(t)=0。這時(shí)的零狀態(tài)響應(yīng)為h(t),所以,若系統(tǒng)是因果的,則必有h(t)=0,t<0。因此,式(4-54a)是必要的。但式(4-54a)的條件能否保證對所有滿足式(4-52)的激勵(lì)f(t),都能滿足(4-53)還待證明,即其充分性還有待證明。

對任意激勵(lì)f(t),系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)等于h(t)和f(t)的卷積,考慮到t<0時(shí)f(t)=0,有

3.系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性在信號通過系統(tǒng)的分析中是至關(guān)重要的,如果系統(tǒng)存在不穩(wěn)定因素,很容易使系統(tǒng)自身振蕩起來,無法正常工作,下面將討論穩(wěn)定性的基本概念及判斷穩(wěn)定性的方法。

系統(tǒng)穩(wěn)定性的定義有多種不同的形式。首先系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一,系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵(lì)信號的情況無關(guān)。對于一個(gè)線性系統(tǒng),可以分為穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定和不穩(wěn)定三種情況。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)受到激勵(lì)以后,便會產(chǎn)生響應(yīng),當(dāng)激勵(lì)去除以后,如果響應(yīng)隨時(shí)間的增長而增長,則此系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng);如激勵(lì)去除以后,響應(yīng)保持在一定的界限之內(nèi),可能是等幅振蕩狀態(tài),也可能是非振蕩的常數(shù)狀態(tài),則此系統(tǒng)為臨界穩(wěn)定系統(tǒng);如果響應(yīng)隨時(shí)間的增長最終衰減為零,則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。一般前兩種都稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。有界輸入、有界輸出系統(tǒng)即為穩(wěn)定系統(tǒng),穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是(4-55)式中M為有界的正值,或者說系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)絕對可積,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。4.6.2系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)

1.H(s)的零極點(diǎn)與系統(tǒng)的因果性、穩(wěn)定性

常用信號的拉普拉斯變換是s的有理函數(shù),即s的多項(xiàng)式之比,即(4-58)式中,A=bm/an,zi和pi分別為系統(tǒng)函數(shù)H(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。設(shè)A(s)=0的根都是互異的,則式(4-58)可用部分分式法展成以下的形式再經(jīng)過反變換后得因此從H(s)進(jìn)行拉普拉斯反變換很容易求得h(t)。對于一個(gè)因果的LTI系統(tǒng),單位沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)該是右邊的,即h(t)=0,t<0,因此H(s)的收斂域應(yīng)該是在最右邊極點(diǎn)以右;如果系統(tǒng)是非因果的,則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)應(yīng)該是左邊的,則系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域應(yīng)在最左邊極點(diǎn)以左。以上收斂域很容易在s平面畫出其范圍。

H(s)的極點(diǎn)分布及收斂域與系統(tǒng)的穩(wěn)定性也是相關(guān)的,在第2章系統(tǒng)的時(shí)域分析中已經(jīng)指出,穩(wěn)定系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)是絕對可積的,即(4-59)這亦是h(t)的傅立葉變換H(jω)存在的條件之一,因此如果系統(tǒng)穩(wěn)定,則必須要求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)的傅立葉變換H(jω)存在,而H(jω)就是H(s)當(dāng)s=jω時(shí)的情況,所以H(s)的收斂域必須包含虛軸,當(dāng)系統(tǒng)既因果又穩(wěn)定時(shí),則要求H(s)的極點(diǎn)在s域的左半平面,即H(s)的收斂域在最右一個(gè)極點(diǎn)以右,其收斂域必須包含虛軸。

【例4-24】

已知一個(gè)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)=e－tu(t),問此系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解上式的收斂域位于最右極點(diǎn)以右,并且包含虛軸,因此該系統(tǒng)既是因果的,又是穩(wěn)定的。

【例4-25】

已知系統(tǒng)函數(shù)為H(s)=es/(s+1),Re{s}>－1,問該系統(tǒng)是否為因果系統(tǒng)。

解

H(s)的極點(diǎn)為p1=－1,其收斂域Re{s}>－1,它是在最右邊的極點(diǎn)以右,因此h(t)一定是非因果穩(wěn)定系統(tǒng)。

已知根據(jù)時(shí)移特性有所以

h(t)=e－(t+1)u(t+1)

該沖激響應(yīng)在t<－1時(shí)為0,而不是在t<0時(shí)為0,所以該系統(tǒng)并非因果系統(tǒng)。此例說明,因果系統(tǒng)的沖激響應(yīng)一定是右邊的,即收斂域位于最右邊極點(diǎn)的右邊;但沖激響應(yīng)h(t)為右邊信號時(shí),系統(tǒng)不一定是因果系統(tǒng),亦可能是非因果的。

2.H(s)的零極點(diǎn)與h(t)波形的對應(yīng)關(guān)系

前面已經(jīng)談到H(s)的零極點(diǎn)分別是是H(s)的分子、分母多項(xiàng)式為零的點(diǎn)。如果分子、分母展開的多項(xiàng)式為多重根,還可以是多階的零點(diǎn)和極點(diǎn)。例如,系統(tǒng)函數(shù)含有的零極點(diǎn)為零點(diǎn):

極點(diǎn):將以上結(jié)果畫于s平面內(nèi),用“○”表示零點(diǎn),用“×”表示極點(diǎn),如圖4-9所示。圖4-9H(s)的零極點(diǎn)圖從拉普拉斯反變換可知,H(s)的拉普拉斯反變換即為h(t),而h(t)的形式主要取決于H(s)的極點(diǎn)。H(s)的零點(diǎn)不影響h(t)的形式,只影響h(t)的大小和初相位。下面以列表的方式寫出H(s)與h(t)的對照,如表4-3所示;并畫出相應(yīng)的圖,如圖4-10所示。圖4-10H(s)的極點(diǎn)所對應(yīng)h(t)的波形4.6.3系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)

頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)在正弦信號激勵(lì)之下的穩(wěn)定響應(yīng)隨信號頻率的變化情況,它包括幅度響應(yīng)及相位響應(yīng)兩個(gè)方面。在電路分析中已經(jīng)研究了用向量法進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)計(jì)算,而這里將用H(s)及其零極點(diǎn)的分析來研究頻率響應(yīng),它用H(s)的零極點(diǎn)圖經(jīng)幾何求的值得到H(jω)。當(dāng)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)時(shí),H(s)的收斂域必然包含虛軸,此時(shí)H(s)的s就可以用jω來代替,所以此種方法的前提是系統(tǒng)必須穩(wěn)定。

前面已經(jīng)介紹過,系統(tǒng)函數(shù)H(s