《信號(hào)與系統(tǒng)》課件-第5章

第5章離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析5.1離散時(shí)間信號(hào)5.2離散時(shí)間系統(tǒng)5.3卷積和求零狀態(tài)響應(yīng)

5.1離散時(shí)間信號(hào)

5.1.1連續(xù)信號(hào)的取樣

1.離散時(shí)間信號(hào)

離散時(shí)間系統(tǒng)的激勵(lì)和響應(yīng)也都是離散時(shí)間信號(hào),表示這種信號(hào)的函數(shù)只在一系列互相分離的時(shí)間點(diǎn)上才有定義,而在其他點(diǎn)上則無(wú)定義,所以它們是離散變量tk的函數(shù)(或稱序列)。

離散的函數(shù)值通常畫成一條條的垂直線,如圖5-1(a)所示,其中每條直線的端點(diǎn)才是實(shí)際的函數(shù)值。在數(shù)字技術(shù)中,函數(shù)的取樣值并不是任意取值的,而必須將幅度加以量化,也就是幅度的數(shù)值只能在一組預(yù)定的數(shù)據(jù)中取值,如圖5-1(b)所示。x(n)中的()表示變量n取整數(shù)。圖5-1離散時(shí)間信號(hào)

2.信號(hào)的取樣

對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行數(shù)字處理,必須首先對(duì)信號(hào)進(jìn)行取樣。進(jìn)行取樣的取樣器一般由電子開關(guān)組成,其工作原理如圖5-2和圖5-3所示。圖5-2取樣原理圖圖5-3信號(hào)的取樣上面實(shí)際取樣所得出的取樣信號(hào)在τ趨于零的極限情況下,將成為一沖激函數(shù)序列。這些沖激函數(shù)準(zhǔn)確地出現(xiàn)在取樣瞬間,它們的強(qiáng)度等于在取樣瞬間的幅度,如圖5-4所示,這就是理想取樣信號(hào)。圖5-4理想沖激取樣信號(hào)波形理想取樣同樣可以看做是連續(xù)時(shí)間信號(hào)對(duì)脈沖載波的調(diào)幅過程,因而理想沖激取樣信號(hào)y*(t)可以表示為(5-1)δ(t－nT)只有在t=nT時(shí)非零,因此,式(5-1)中x(t)值只有當(dāng)t=nT時(shí)才有意義,故有(5-2)

3.取樣定理

是不是所有時(shí)間間隔的理想取樣都能反映原連續(xù)信號(hào)的基本特征呢？答案是否定的。例如,有一個(gè)連續(xù)信號(hào)y(t)=sint,如圖5-5(a)所示,當(dāng)取樣間隔T=π秒時(shí),所得的理想取樣序列為y(nT)=sinnπ=0,其信號(hào)圖如圖5-5(b)所示;當(dāng)取樣間隔T=π/2秒時(shí),所得的理想取樣序列y(nT)=

,其信號(hào)圖如圖

5-5(c)所示;當(dāng)取樣間隔T=π/6秒時(shí),所得的理想取樣序列y(nT)=

,其信號(hào)圖如圖5-5(d)所示。圖5-5y(t)=sint的信號(hào)圖把連續(xù)的模擬信號(hào)經(jīng)過取樣、量化、編碼、轉(zhuǎn)變成離散的數(shù)字信號(hào)的過程稱為模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換(A/D轉(zhuǎn)換);相反,把數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)變成模擬信號(hào)的過程稱為數(shù)字-模擬轉(zhuǎn)換(D/A轉(zhuǎn)換)。利用這樣的轉(zhuǎn)換,可以把模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào),如圖5-6所示。圖5-6模擬信號(hào)數(shù)據(jù)處理過程5.1.2離散時(shí)間信號(hào)的表示

序列x以x(n)表示第n個(gè)數(shù)值,n表示x(n)在序列x前后變量的序號(hào),則x可以用公式表示為

x={x(n)}n∈(－∞,∞)

(5-3)

或表示為

x(n)n∈(－∞,∞)

離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形描述,如圖5-7所示,用有限長(zhǎng)線段表示數(shù)值大小。雖然橫坐標(biāo)畫成一條連續(xù)的直線,但x(n)僅對(duì)于整數(shù)值n才有定義,而對(duì)于非整數(shù)值n沒有定義,此時(shí)認(rèn)為x(n)為零是不正確的。圖5-7離散信號(hào)圖形5.1.3序列間的運(yùn)算

1.序列運(yùn)算定義

1)相加

z(n)=x(n)+y(n)

(5-4)

式(5-4)中,z(n)是兩個(gè)序列x(n)、y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加形成的新的序列。

2)相乘

z(n)=x(n)·y(n)

(5-5)

式(5-5)中,z(n)是兩個(gè)序列x(n)、y(n)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘形成的新的序列。

3)標(biāo)量相乘

z(n)=ax(n)

(5-6)

式(5-6)中,z(n)是x(n)每項(xiàng)乘以常數(shù)a形成的新的序列。

4)時(shí)移(時(shí)延、移序、移位、位移)

z(n)=x(n－m)m>0

(5-7)

式(5-7)中,z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)右移m位形成的新的序列。

z(n)=x(n+m)m>0

(5-8)

式(5-8)中,z(n)是原序列x(n)每項(xiàng)左移m位形成的新的序列。

序列x(n－1)如圖5-8所示。圖5-8序列的右移序序列x(n+1)如圖5-9所示。圖5-9序列的左移序

5)折疊序列

z(n)=x(－n)

(5-9)

式(5-9)中,z(n)是原序列x(n)以縱軸為對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn)180°形成的新的序列。

折疊位移序列

z(n)=x(－n±m(xù))

(5-10)

式(5-10)中,z(n)是由x(－n)向右或向左移m位形成的新的序列。

折疊序列與折疊位移序列如圖5-10所示。圖5-10序列的折疊位移

6)尺度變換

y(n)=x(mn)

(5-11)

式(5-11)是x(n)序列每隔m點(diǎn)取一點(diǎn)形成的,即時(shí)間軸n壓縮至原來(lái)的1/m。例如當(dāng)m=2時(shí),序列如圖5-11所示。圖5-11序列的壓縮圖5-12序列的擴(kuò)展(5-12)式(5-12)是x(n)序列每一點(diǎn)加m－1個(gè)零值點(diǎn)形成的,即時(shí)間軸n擴(kuò)展了原來(lái)的m倍。例如當(dāng)m=2時(shí),序列如圖5-12所示。

2.序列運(yùn)算符號(hào)表示

1)序列相乘

w(n)=x(n)·y(n)

表示兩序列同一時(shí)刻的取值逐個(gè)對(duì)應(yīng)相乘所形成的新序列,其運(yùn)算符號(hào)如圖5-13(a)所示。

2)序列相加減

w(n)=x(n)±y(n)

表示兩序列對(duì)應(yīng)的同一時(shí)刻取值逐一相加(或相減)所形成的新序列,其運(yùn)算符號(hào)如圖5-13(b)所示。

3)序列標(biāo)乘

w(n)=ax(n)=y(n)

表示序列x的每個(gè)取樣值同乘以常數(shù)a所形成的新序列,其運(yùn)算符號(hào)如圖5-13(c)所示。

4)序列延時(shí)

若序列y(n)滿足取值y(n)=x(n－n0),則稱序列y(n)是序列x(n)延時(shí)n0個(gè)取樣間隔的結(jié)果,式中n0為整數(shù)。當(dāng)n0=1時(shí),稱為單位延時(shí)。其運(yùn)算符號(hào)如圖5-13(d)所示。

5)序列分支

一個(gè)序列加到系統(tǒng)中兩點(diǎn)或更多點(diǎn)的過程稱為分支運(yùn)算,其運(yùn)算表示符號(hào)如圖5-13(e)所示。圖5-13離散時(shí)間序列的運(yùn)算5.1.4常用的典型序列

1.單位序列的表達(dá)式

單位序列的表達(dá)式為(5-13)

2.單位階躍序列的表達(dá)式單位階躍序列的表達(dá)式為(5-14)當(dāng)n<0時(shí),其序列的值為0,而當(dāng)n≥0時(shí),序列的值都為1,其波形圖如圖5-14(a)所示,而u(－n)的波形圖如圖5-14(b)所示。圖5-14u(n)、u(－n)波形圖

【例5-1】

試用單位階躍序列表示單位序列。

解由可知

【例5-2】

試用單位序列表示單位階躍序列。

解因?yàn)轱@然可以把u(n)看作是由無(wú)窮多個(gè)單位取樣序列疊加而成的,故(5-16)

【例5-3】

試用單位序列表示矩形序列解由圖5-15所示的矩形序列圖,明顯可見圖5-15矩形序列圖一般情況下,序列x(n)可表示為(5-17)

5.2離散時(shí)間系統(tǒng)

5.2.1離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程

離散時(shí)間系統(tǒng)的基本運(yùn)算有延時(shí)、乘法和加法,基本運(yùn)算可以由基本運(yùn)算單元實(shí)現(xiàn)。

1.離散時(shí)間系統(tǒng)基本運(yùn)算單元的表示方法

離散時(shí)間系統(tǒng)基本運(yùn)算單元可以用框圖及流圖表示。

(1)延時(shí)器框圖及流圖如圖5-16所示。圖5-16延時(shí)器框圖及流圖

(2)加法器框圖及流圖如圖5-17所示。圖5-17延時(shí)器框圖及流圖

(3)乘法器框圖及流圖如圖5-18所示。圖5-18乘法器框圖及流圖

2.離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程

線性時(shí)不變連續(xù)系統(tǒng)是由常系數(shù)微分方程描述的,而線性時(shí)不變離散系統(tǒng)是由常系數(shù)差分方程描述的。在差分方程中,包含有未知離散變量的y(n)、y(n+1)、

y(n+2)…y(n－1)、y(n－2)、…下面舉例說(shuō)明系統(tǒng)差分方程的建立方法。

【例5-4】

系統(tǒng)框圖如圖5-19所示,寫出其差分方程。

解其差分方程為

(yn)=ay(n－1)+x(n)

或

y(n)－ay(n－1)=x(n)

(5-18)圖5-19離散時(shí)間系統(tǒng)

【例5-5】

系統(tǒng)框圖如圖5-20所示,寫出其差分方程。圖5-20離散時(shí)間系統(tǒng)解差分方程為

y(n+1)=ay(n)+x(n)

或(5-19)這是一階前向差分方程,與后向差分方程形式相比較,僅是輸出信號(hào)的輸出端不同。前者是從延時(shí)器的輸入端取出,后者是從延時(shí)器的輸出端取出。當(dāng)系統(tǒng)的階數(shù)不高,并且激勵(lì)不復(fù)雜時(shí),用迭代(遞推)法可以求解差分方程。

【例5-6】

已知y(n)=ay(n－1)+x(n),且y(n)=0,n<0,x(n)=δ(n),求y(n)。

解

y(0)=ay(－1)+x(0)=δ(n)=1

y(1)=ay(0)+x(1)=a

y(2)=ay(1)+x(2)=a2

y(n)=anu(n)5.2.2零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

在離散系統(tǒng)分析中,完全響應(yīng)通常是零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)之和,即

y(n)=yzi(n)+yzs(n)

(5-20)

其中,零輸入響應(yīng)yzi(n)是由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的;零狀態(tài)響應(yīng)yzs(n)是當(dāng)初始狀態(tài)為零時(shí),僅由系統(tǒng)的外加輸入f(n)引起的。

1.一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

一階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的齊次差分方程的一般形式為將差分方程改寫為

y(n)－ay(n－1)=0

(5-21)

用遞推迭代法,y(n)僅與前一時(shí)刻y(n－1)有關(guān),以y(0)為起點(diǎn)

y(1)=ay(0)

y(2)=ay(1)=a2y(0)

y(3)=ay(2)=a3y(0)

…

當(dāng)n≥0時(shí),齊次方程解為

y(n)=y(0)an=Can

(5-22)

利用遞推迭代法的結(jié)果,可以直接寫出一階差分方程解的一般形式,因?yàn)橐浑A差分方程的特征方程為

α－a=0

(5-23)由特征方程解出其特征根

α=a

與齊次微分方程相似,得到特征根a后,就得到一階差分方程齊次解的一般模式為Can,其中C由初始條件y(0)決定。

2.N階線性時(shí)不變離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)

有了一階齊次差分方程解的一般方法,將其推廣至N階齊次差分方程,有(5-24)N階齊次差分方程的特征方程為(5-25)(1)當(dāng)特征根均為單根時(shí),特征方程可以分解為利用一階齊次差分方程解的一般形式,可類推得N階線性齊次差分方程的解是這N個(gè)線性無(wú)關(guān)解的線性組合,即(5-26)式中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N個(gè)邊界條件確定。(5-27)矩陣形式為(5-28)即

[Y]=[V][C]

(5-29)其系數(shù)解為

[C]=[V]－1[Y]

(5-30)

(2)當(dāng)特征方程中α1是m階重根時(shí),其特征方程為

(α－α1)m(α－αm+1)…(α－αN)=0

(5-31)

式(5-31)中,(α－α1)m對(duì)應(yīng)的解為(C1+C2n+…Cmnm－1)αn1,此時(shí)零輸入解的模式為

y(n)=(C1+C2n+…+Cmnm－1)αn1+Cm+1αnm+1+…+CNαnN(5-32)

式(5-32)中,C1、C2、…、CN由y(0)、y(1)、…、y(N－1)等N個(gè)邊界條件確定。5.2.3離散信號(hào)卷積和

1.卷積和定義

已知定義在區(qū)間(－∞,∞)上的兩個(gè)函數(shù)f1(n)和f2(n),則定義(5-33)為f1(n)與f2(n)的卷積和,簡(jiǎn)稱卷積和,記為(5-34)

2.卷積和求解

(5-35)求卷積和的過程可分解為4步:

(1)換元:n換為k→f1(k),f2(k);

(2)翻轉(zhuǎn)平移:由f2(k)翻轉(zhuǎn)→f2(－k),右移n→f2(n－k);

(3)乘積:f1(k)·f2(n－k);

(4)求和:k從－∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意:n為參變量。

3.卷積和性質(zhì)

(1)滿足乘法的三大定律:交換律、分配律和結(jié)合律;

(2)f(n)*δ(n)=f(n),f(n)*δ(n－k0)=f(n－k0);

(3)f(n)*ε(n)=

;

(4)f1(n－k1)*f2(n－k2)=f1(n－k1－k2)*f2(n);

(5)

[f1(n)*f2(n)]=

f1(n)*f2(n)=f1(n)*

f2(n)。

4.求卷積和舉例

【例5-7】

如圖5-21復(fù)合系統(tǒng)由三個(gè)子系統(tǒng)組成,其中

h1(k)=ε(k),h2(k)=ε(k－5),求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h(k)。圖5-21復(fù)合系統(tǒng)組成解根據(jù)h(k)的定義,有h(k)=[δ(k)*h1(k)－δ(k)*h2(k)]*h1(k)

=[h1(k)－h(huán)2(k)]*h1(k)

=h1(k)*h1(k)－h(huán)2(k)*h1(k)

=ε(k)*ε(k)－ε(k－5)*ε(k)

=(k+1)ε(k)－(k+1－5)ε(k－5)

=(k+1)ε(k)－(k－4)ε(k－5)5.2.4單位響應(yīng)

由單位序列δ(n)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位響應(yīng),記為h(n)。

【例5-8】

已知某系統(tǒng)的差分方程為y