高考數(shù)學(xué)立體幾何中的截面問題（七大題型）（解析版）

特訓(xùn)10立體幾何中的截面問題（七大題型）用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集，叫做這個幾何體的截面.此平面與幾何體表面的交集(交線)叫做截線.1.作截線與截點的主要根據(jù)：(1)確定平面的條件.(2)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線.(3)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).(4)線面平行的性質(zhì)定理。(5)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.2.立體幾何圖形中有關(guān)截面的做法：①若已知兩點在同一平面內(nèi)，只要連接這兩點，就可以得到截面與多面體的一個面的截線。②若面上只有一個已知點，應(yīng)設(shè)法在同一平面上再找出第二個確定的點;③若兩個已知點分別在相鄰的面上，應(yīng)找出這兩個相鄰平面的交線與截面的交點。④面面平行的性質(zhì)定理。⑤若有一點在面上而不在棱上，則可通過作輔助平而找出棱上的交點;若已知點在體內(nèi)，則可通過輔助平面找出面上的交點，再找出棱上的交點.目錄：01：三棱柱02：四棱錐03：棱臺04：側(cè)棱垂直于底面05：正方體、長方體06：其他多面體07：三棱錐08：折疊問題01：棱柱（含正方體）1．（2023·遼寧撫順·模擬預(yù)測）在直四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，，，，過點B作平面截四棱柱所得截面為正方形，該平面交棱于點M，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先結(jié)合截面為正方形，借助中位線轉(zhuǎn)化得到的關(guān)系，再利用余弦定理分別求解底面對角線，然后由垂直關(guān)系及截面正方形，借助長度相等，利用勾股定理建立的方程組，求解轉(zhuǎn)化即得所求比值.【解析】如圖，設(shè)截面分別交，于點P，Q，連接PQ，BM，設(shè)交點，連接，設(shè)交點，由已知截面為正方形，則是，的中點，底面ABCD為平行四邊形，則是，的中點，又，，則，則是的中位線，也是四邊形的中位線.設(shè)，，故，由，得，化簡得（*），且，由直四棱柱知，平面，又平面，則則四邊形為直角梯形.由，得，在中，由余弦定理得，解得，同理可得，如圖，在直角梯形中，在CQ上取點S，使，則.由，得，即，化簡得，與（*）聯(lián)立，解得，，所以，則，驗證知，此時四邊形為為正方形，滿足題意.則．故選：B．2．（2023·江西贛州·模擬預(yù)測）在直四棱柱中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側(cè)棱，E是BC的中點，F(xiàn)是棱上的點，且，過作平面，使得平面平面AEF，則平面截直四棱柱，所得截面圖形的面積為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)四棱柱的幾何性質(zhì)以及面面平行的判定定理求解.【解析】

如圖，取的中點M，在上取一點H，使得，連接，如上圖，則，平面，平面AEF，平面平面；即過點平行于平面AEF的平面截四棱柱的圖形是三角形，其中，，故選：A.3．（2024·安徽安慶·三模）在正方體中，點分別為棱的中點，過點三點作該正方體的截面，則（

）A．該截面多邊形是四邊形B．該截面多邊形與棱的交點是棱的一個三等分點C．平面D．平面平面【答案】B【分析】將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，可判斷A；利用相似比可得，可判斷B；證明平面即可判斷C；通過證明平面，可判斷D.【解析】對于A，將線段向兩邊延長，分別與棱的延長線，棱的延長線交于，連分別與棱交于，得到截面多邊形是五邊形，A錯誤；對于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以，所以，即，點是棱的一個三等分點，B正確；對于C，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以，同理可證，因為平面，所以平面，因為平面與平面相交，所以與平面不垂直，C錯誤；對于D，易知，所以，又，所以平面，結(jié)合C結(jié)論，所以平面與平面不平行，D錯誤.故選：B．02：棱錐4．（2024·重慶渝中·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，且平面，過點作截面分別交于點，且二面角的平面角為，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由二面角的定義可得，從而，設(shè)，由三角形的面積相等和基本不等式得到，再由三角形的面積公式即可求解.【解析】過作，垂足為，連接，則由三垂線定理可得，∴即為二面角的平面角，∴，，所以，設(shè)，則，在三角形中，，又，所以，所以，時等號成立，所以三角形的面積為，故截面PEF面積的最小值為.故選：B.5．（2024·廣西·模擬預(yù)測）在三棱錐中，平面，，，，點為棱上一點，過點作三棱錐的截面，使截面平行于直線和，當(dāng)該截面面積取得最大值時，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過作平行線作出題中的截面，并結(jié)合線面平行以及線面垂直說明其為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)確定截面面積取得最大值時參數(shù)的值，解直角三角形即可求得答案.【解析】根據(jù)題意，在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點；在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接，如圖所示，

因為，則，設(shè)其相似比為，即，則；又因為，，，由余弦定理得，，則，即.又平面，，平面，所以，.又，則，.因為，則，則，因為，所以，即，同理可得，即，因為，，則，故四邊形為平行四邊形；而平面，平面，故平面，同理平面，即四邊形為截面圖形；又平面，平面，則，又，所以.故平行四邊形為矩形，則，所以當(dāng)時，有最大值，則，在中，.故選：C.【點睛】思路點睛：先作平行線作出題中的截面，再證明四邊形為符合題意的截面圖形，結(jié)合線面平行以及線面垂直說明四邊形為矩形，利用三角形相似表示出矩形的兩邊長，并求得其面積表達式，利用二次函數(shù)求出最值得解.6．（2023·陜西西安·模擬預(yù)測）在三棱錐中，側(cè)面PAC是等邊三角形，底面ABC是等腰直角三角形，，，點M，N，E分別是棱PA，PC，AB的中點，過M，N，E三點的平面截三棱錐所得截面為，給出下列結(jié)論：①截面的形狀為正方形；②截面的面積等于；③異面直線PA與BC所成角的余弦值為；④三棱錐外接球的表面積等于．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征，取的中點為，利用線面垂直的判定定理即可證明截面的形狀為正方形，且其面積等于，即①正確，②錯誤；利用平面向量數(shù)量積以及余弦定理可求出異面直線PA與BC所成角的余弦值為，可知③正確；利用垂直關(guān)系找出外接球球心位置，計算出半徑即可得④正確.【解析】取的中點為，連接，因為點分別是棱的中點，所以，，可得；又，，即；所以四點共面，且四邊形為平行四邊形，取的中點為，連接，如下圖所示：

易知，又是等腰直角三角形，且，所以，可得；又，平面，所以平面；易知平面，可得；又，，所以，且，所以四邊形為正方形，即截面的形狀為正方形，所以①正確；由正方形面積公式可知，四邊形的面積為，即②錯誤；設(shè)，可得，所以，易知，，在中，，所以，可得；所以，所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為，即③正確；易知，，所以可得；又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；所以可得外接球球心在上，設(shè)，半徑為，則，解得，；所以三棱錐外接球的表面積等于，即④正確；所有正確結(jié)論的序號是①③④.故選：C【點睛】方法點睛：關(guān)于球外接幾何體的問題，首先根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用線面垂直判定定理等確定球心位置，再利用半徑相等列出等量關(guān)系即可計算出半徑的大小.03：棱臺7．（23-24高三上·河北廊坊·期末）如圖所示，正四棱臺中，上底面邊長為3，下底面邊長為6，體積為，點在上且滿足，過點的平面與平面平行，且與正四棱臺各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點作于點，結(jié)合已知得，由棱臺體積公式得，由勾股定理得，再求出的長，最終根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得解.【解析】如圖所示，過點作于點，因為，所以，則四棱臺的高為，則四棱臺的體積為，解得，所以側(cè)棱長為.如圖所示：過于點，于點，連接，由對稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點，使得，易得，所以截面多邊形的周長為.故選：D.8．（22-23高三下·浙江紹興·開學(xué)考試）在正棱臺中，為棱中點.當(dāng)四棱臺的體積最大時，平面截該四棱臺的截面面積是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正四棱臺的體積公式、結(jié)合基本不等式、線面平行的判定定理、梯形的面積公式進行求解即可.【解析】設(shè)，上底面和下底面的中心分別為，該四棱臺的高，.在上下底面由勾股定理可知，.在梯形中，，所以該四棱臺的體積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，.取的中點，連接、，顯然有，平面，平面，所以平面，因此平面就是截面.顯然，在直角梯形中，，因此在等腰梯形中，，同理在等腰梯形中，，在等腰梯形中，設(shè)，則，，所以梯形的面積為，故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)基本不等式求出體積最大值，結(jié)合線面平行判定定理判斷截面的形狀是解題的關(guān)鍵.9．（22-23高二上·湖北荊州·階段練習(xí)）用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截得的棱臺上、下底面積之比為，已知截去的棱錐的頂點到其底面的距離為3，則棱臺的上、下底面的距離為（

）A．12 B．9 C．6 D．3【答案】D【分析】根據(jù)棱錐的性質(zhì)，用平行于棱錐底面的平面截該棱錐，截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，以此可得棱錐的高，進而得到棱臺的高．【解析】∵截去小棱錐的高為3，設(shè)大棱錐的高為h，根據(jù)截面與底面為相似多邊形，面積比為相似比的平方，則，∴，∴棱臺的高是，即棱臺的上、下底面的距離為3.故選：D．04：圓柱10．（2022·河南新鄉(xiāng)·三模）已知一個圓柱與一個圓錐的軸截面分別為正方形與正三角形，且正方形與正三角形的邊長相等，則該圓柱的體積與圓錐的體積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正方形與正三角形的邊長為2，則可求出圓柱和圓錐的體積，從而可求得答案【解析】設(shè)正方形與正三角形的邊長為2，則圓柱的體積為，圓錐的體積為，所以圓柱的體積與圓錐的體積的比值為.故選：C11．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，某圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，P，Q分別為線段BC，AC上的兩個動點，E為上一點，且，則的最小值為（

）

A．3 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓柱的結(jié)構(gòu)特征采用將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到某個位置的方法，將線段和轉(zhuǎn)化為一條線段的長度問題，結(jié)合求解線段長度即得答案.【解析】如圖，連接EC，將沿直線BC旋轉(zhuǎn)到的位置，

且在AB的延長線上．則，由于圓柱的軸截面ABCD是邊長為2的正方形，故，，則，當(dāng)三點共線時取等號，當(dāng)時，最小，最小值為，即的最小值為，故選：C12．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知某圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，在該圓柱的底面內(nèi)任取一點E，則當(dāng)四棱錐的體積最大時，該四棱錐的側(cè)面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)棱錐體積公式以及正方形的面積為定值確定E點在底面上的位置，求出相關(guān)線段長，根據(jù)棱錐側(cè)面積公式即可求得答案.【解析】如圖，設(shè)圓柱的底面圓心為O，E為該底面上一點，底面半徑為1，

四棱錐體積，其中d為E到的距離，因為正方形的面積為定值，所以當(dāng)E為的中點時，連接,此時為四棱錐的高，高最大，此時四棱錐體積最大，則，，，設(shè)圓柱的另一底面圓心為，連接，則，且,此時四棱錐側(cè)面積為，故選：B05：圓錐13．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐的體積與球O的體積的比值是.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，由題意可得，結(jié)合體積公式運算求解.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球O的半徑為R，因為圓錐的軸截面為正三角形，可知圓錐的高，則，即，可得圓錐的體積，球O的體積，所以.故答案為：．14．（22-23高二上·上海浦東新·期中）如圖，圓錐O的軸截面是一個面積為1的等腰直角三角形，C為弧上的一點，，E為線段上的動點，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】將空間圖形進行翻折變化到同一平面，根據(jù)兩點之間線段最短即可求解.【解析】將翻折到平面內(nèi)，得到如圖所示平面四邊形，因為所以,所以,所以,又因為，所以翻折后的圖形中,根據(jù)兩點之間線段最短可知，的最小值為,故選:B.15．（23-24高二上·北京·期中）已知圓錐的底面半徑為，高為2，S為頂點，A，B為底面圓周上的兩個動點，則下列說法正確的是.①圓錐的體積為；②圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為；③圓錐截面SAB面積的最大值為；④若圓錐的頂點和底面上的所有點都在一個球面上，則此球的體積為.【答案】①②④【分析】根據(jù)題意求出圓錐的母線長，體積，側(cè)面展開圖的弧長，軸截面的面積，外接球體積，即可得出結(jié)論.【解析】圓錐的底面半徑，高為，圓錐的母線長，圓錐的體積，①正確；設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則，②正確；當(dāng)圓錐截面為圓錐的軸截面時，此時，則，又，，則當(dāng)時，圓錐截面SAB面積的最大，此時，故③錯誤；圓錐的頂點和底面上的所有點都在同一個球面上，即為圓錐的外接球，設(shè)圓錐的外接球半徑為，由球的性質(zhì)可知，即，解得，所以外接球體積，④正確.故答案為：①②④.06：球16．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）對球面上的三個點，每兩個點之間用大圓劣弧相連接，所得三弧圍成的球面部分稱為“球面三角形”，這三個弧叫做球面三角形的邊.若半徑為2的球的球面上有一個各邊長均為的球面三角形，則該球面三角形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】確定球面三角形與球表面積的關(guān)系，可求球面三角形的面積.【解析】設(shè)球面三角形.因為球的半徑為2，所以大圓周長為，求的表面積為.因為球面三角形的各邊長均為，所以.以為球心，建立如圖空間直角坐標系：則球面三角形的面積就是球面在第一卦限內(nèi)的部分，根據(jù)對稱性，球面三角形的面積為球面面積的，為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：確定后，關(guān)鍵是弄清楚球面三角形的面積和整個球的表面積之間的數(shù)量關(guān)系.17．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）在正六棱柱中，，為棱的中點，則以為球心，2為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，作圖，分別求出球面與正六棱柱各個面所交的弧線的長度之和，可計算得到答案.【解析】因為球的半徑為2，所以球不與側(cè)而及側(cè)面相交，連接．由題得，．所以，所以球與側(cè)面交于點，，與側(cè)面交于點，．在正六邊形中，易得，因為平面，平面．所以，又，平面，所以平面，即平面，且，又，．所以球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓，同理可得球與側(cè)面的交線為以為直徑的半圓．由題易得，則球與上底面及下底面的交線均為個半徑為的圓．所以球面與該正六棱柱各面的交線總長為．故選：D．

【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)球的半徑為2，判斷球只與側(cè)而及側(cè)面，上底面及下底面相交.18．（23-24高二上·四川德陽·階段練習(xí)）已知正三棱錐的外接球是球，正三棱錐底邊，側(cè)棱，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)的中心為，球O的半徑為R，在中，利用勾股定理求出，余弦定理求出，再由勾股定理求出，過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大.【解析】如下圖，設(shè)的中心為，球O的半徑為R，連接，OD，，OE，則，在中，，解得R＝2，所以，因為BE＝DE，所以，在中，，所以，過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，此時截面的半徑為，則截面面積為，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大，最大面積為4π.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是過點E作球O的截面，當(dāng)截面與OE垂直時，截面的面積最小，當(dāng)截面過球心時，截面面積最大.07：組合體19．（21-22高二上·湖南·期中）從一個底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，下底面圓心為頂點）而得到的幾何體如圖所示，今用一個平行于底面且距底面為1的平面去截這個幾何體，則截面圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出截面截圓柱所得的圓面的面積，再求出截面截正四棱錐所得的正方形的面積，從而得出答案.【解析】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去一個正方形，且圓的半徑是2，則截面圓的面積為：設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長為，則，所以正四棱錐的底面正方形的面積為由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個正方形與正四棱錐的底面正方形相似設(shè)圓面中挖去一個正方形的面積為，正四棱錐的底面正方形為則,從而所以截面圖形的面積為．故選：C．20．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測）“牟和方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個相同的圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體（如圖1）.如圖2所示的“四腳帳篷”為“牟和方蓋”的上半部分，點為四邊形的中心，點為“四腳帳篷”的“上頂點”，.用平行于平面的平面去截“四腳帳篷”，當(dāng)平面經(jīng)過的中點時，截面圖形的面積為.【答案】3【分析】根據(jù)對稱性，可得截面的形狀為正方形，利用勾股定理得正方形的邊長即可求得面積.【解析】根據(jù)對稱性，可得截面的形狀為正方形.取中點中點，可知截面為半圓.截面與弧交于點，與交于點為中點，所以，由勾股定理可得，所以截面正方形的邊長為，故其面積為.故答案為：321．（2021·全國·模擬預(yù)測）如圖，正八面體的棱長為2，點，，分別是，，的中點，則過，，三點的平面截該正八面體所得截面的面積等于.【答案】【分析】由得平面，同理平面，進而得到平面平面平面，結(jié)合正八面體的對稱性可知截面是邊長為1的正六邊形，求出面積即可.【解析】∵，，分別是，，的中點，∴，又平面，平面，∴平面.同理得平面.又平面平面，，∴平面平面平面.設(shè)平面與相交于點，則，故為的中點.同理得平面也過，的中點，結(jié)合正八面體的對稱性，得截面是邊長為1的正六邊形，其面積.故答案為：【點睛】確定多面體截面的關(guān)鍵在于確定截點，有了位于多面體同一表面上的兩個截點即可連接成截線，從而求得截面.而截線與截點的主要依據(jù)主要有：(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們相交于過此點的一條直線.(2)如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi).(3)如果一條直線平行于一個平面，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和交線平行.(4)如果兩個平面平行，第三個平面和它們相交，那么兩條交線平行.22．（23-24高三上·云南昆明·階段練習(xí)）正方體的棱長為2，是棱上的一個動點（含端點），則的最小值為（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】將繞翻折至與共平面，當(dāng)，，共線時，最小.【解析】由正方體的性質(zhì)可得為等邊三角形，邊長為，為等腰直角三角形，其直角邊長為，將下圖中繞翻折至與共平面，因為，，所以，，共線時，最小，此時為中點，則最小值為．故選：C23．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，是正三棱錐且側(cè)棱長為，兩側(cè)棱的夾角為分別是上的動點，則三角形的周長的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】通過展開平面以及勾股定理求得正確答案.【解析】把正三棱錐沿剪開并展開，形成三個全等的等腰三角形：、、，則，，連接，交于，交于，則線段就是的最小周長，又，根據(jù)勾股定理，，∴.故選：A

.24．（23-24高三下·全國·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，點是棱上一動點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把平面展開，判斷出當(dāng)M與C重合時，最大；的最小值為，利用余弦定理即可求解.【解析】如圖所示，把平面展開，使A、B、C、P四點共面.當(dāng)M與B重合時，；當(dāng)M與C重合時，最大；連結(jié)交于，由兩點之間直線最短可知，當(dāng)位于時，最小.此時，，所以.由余弦定理得：.所以的取值范圍為.故選：A.25．（2024·福建漳州·一模）如圖，石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機械，通常由兩個圓石做成．磨是平面的兩層，兩層的接合處都有紋理，糧食從上方的孔進入兩層中間，沿著紋理向外運移，在滾動過兩層面時被磨碎，形成粉末．如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成，每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍，若石磨的側(cè)面積為，則圓柱底面圓的半徑為（

）A．4 B．2 C．8 D．6【答案】A【分析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，結(jié)合圓柱的側(cè)面積公式運算求解.【解析】設(shè)圓柱底面圓的半徑為，則圓柱的高為，則石磨的側(cè)面積為，解得.故選：A.26．（21-22高二下·湖南株洲·階段練習(xí)）《九章算術(shù)》卷第五《商功》中描述幾何體“陽馬”為“底面為矩形，一側(cè)棱垂真于底面的四棱錐”.現(xiàn)有陽馬，平面，，，，上有一點E，使截面的周長最短，則與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過底面展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，容易找到最小值點，然后利用平移法作出異面直線所成的角，即可得解；【解析】解：將平面沿折至，使與共面，連接交于，連接，此時周長最短，作交于，則（或其補角）即為所求角，在中，，由，即，可得，在中，，在中，，故與所成角的余弦值等于．故選：D．27．（21-22高一下·山西·期中）“莫言下嶺便無難，賺得行人空喜歡．”出自南宋詩人楊萬里的作品《過松源晨炊漆公店》．如圖是一座山的示意圖，山大致呈圓錐形．山腳呈圓形，半徑為40km．山高為km，B是山坡SA上一點，且km．為了發(fā)展旅游業(yè)，要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，這條公路從A出發(fā)后先上坡，后下坡，當(dāng)公路長度最短時，下坡路段長為（

）A．60km B．km C．72km D．km【答案】C【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖去求公路長度最短時，下坡路段長度.【解析】該圓錐的母線長為，所以，則圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，如圖，展開圓錐的側(cè)面，連接，過點S作的垂線，垂足為H，由兩點之間線段最短，知觀光公路為圖中的，，記點P為上任一點，連接PS，上坡即P到山頂S的距離PS越來越小，下坡即P到山頂S的距離PS越來越大，則下坡段的公路，即圖中的HB，由，得（km）．故選：C28．（23-24高二上·河北保定·開學(xué)考試）折扇是我國古老文化的延續(xù)，在我國已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”?它常以字畫的形式體現(xiàn)我國的傳統(tǒng)文化，也是運籌帷幄?決勝千里?大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個圓臺的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個圓弧，所在圓的半徑分別是6和12，且，則關(guān)于該圓臺下列說法錯誤的是（

）

A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的半徑為【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面展開圖，求得圓臺上下底面半徑、母線長，然后可求得圓臺的高、體積、表面積和內(nèi)切球的半徑，從而確定正確答案.【解析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺的母線長，所以圓臺的高，A正確；圓臺的體積，B錯誤；圓臺的表面積，C正確；由于圓臺的母線長等于上下底面半徑和（），所以圓臺的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，D正確.故選：B

29．（23-24高二上·四川·期中）半正多面體亦稱“阿基米德體”“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個正三角形和4個正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長為1，點M，N分別在線段，上，則的最小值為.

【答案】【分析】將幾何體展開為平面，且在線段兩側(cè)（兩線段在兩點之間），利用兩點之間線段最短求的最小值.【解析】由題設(shè)，該半正多面體的展開圖如下圖示，

根據(jù)已知及幾何體結(jié)構(gòu)知：，，且，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)在展開圖中共線時等號成立.故答案為：30．（22-23高一下·黑龍江哈爾濱·期中）已知矩形ABCD中，，，分別為中點，為對角線交點，如圖1所示．現(xiàn)將和剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿將，折疊，并使與重合，與重合，連接，得到由平面，，，圍成的無蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：平面；(2)若為棱上動點，求的最小值；(3)求此多面體體積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）在圖2中，取的中點，連，，，通過證明，，可證平面；（2）將側(cè)面與展開在一個平面內(nèi)，根據(jù)兩點間線段最短可求出結(jié)果；（3）根據(jù)對稱性得，因為的面積為定值，所以當(dāng)平面平面時，三棱錐體積最大，由此計算可得結(jié)果.【解析】（1）在圖2中，取的中點，連，，，因為，為的中點，所以，同理得，，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面.

（2）將側(cè)面與展開在一個平面內(nèi)，如圖：當(dāng)點是與的交點時，最小，在圖1中，，，所以因為，，，，，，所以，所以，所以.所以的最小值為.

（3）根據(jù)圖形的對稱性可知，，因為的面積為，為定值，所以當(dāng)點到平面的距離最大值時，三棱錐體積最大，此時平面平面，點到平面的距離等于點到的距離，等于，所以此多面體體積的最大值為.一、單選題1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）圓錐的高為2，底面半徑為1，則以圓錐的高為直徑的球表面與該圓錐側(cè)面交線長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作圓錐的軸截面，設(shè)軸截面與球交點為為中點，則球表面與該圓錐側(cè)面交線即為以為半徑的圓，利用相似和勾股定理求出長即可.【解析】根據(jù)題意，以圓錐的高為直徑的球半徑為，且與圓錐底面相切于底面圓心，作圓錐的軸截面，設(shè)軸截面與球交點為為中點，則球表面與該圓錐側(cè)面交線即為以為半徑的圓，因為在圓上，所以，所以，又因為，所以由解得，所以，所以由等面積可得，解得，所以交線長為，故選：D2．（2024·四川自貢·三模）已知球O半徑為4，圓與圓為球體的兩個截面圓，它們的公共弦長為4，若，，則兩截面圓的圓心距（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)球心與截面圓心連線垂直圓面，求得兩個圓面所成二面角，再根據(jù)直角三角形以及勾股定理求解即可.【解析】設(shè)圓與圓公共弦為，其中點為，則，，所以，，所以在中，，所以，在中，，所以，所以在中，，所以.故選：D.3．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）如圖，已知為圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，若，四棱錐的體積為，則圓錐的軸截面面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，利用體積可求得底面圓半徑，根據(jù)軸截面是等腰三角形可求其面積.【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，因為為圓錐底面圓的兩條互相垂直的直徑，易知四邊形為正方形，且邊長為，則四棱錐的體積為，解得或（舍去），所以圓錐的軸截面面積為.故選：A.4．（2024·浙江溫州·模擬預(yù)測）邊長為2的立方體被一個平面所截，截得的截面圖形面積最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】當(dāng)截面過立方體中心且過兩條側(cè)棱時，截面面積最大，得出截面后計算即可得.【解析】當(dāng)截面過立方體中心且過兩條側(cè)棱時，其截面面積最大，如圖所示矩形符合要求，此時截面面積為.故選：A.5．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知正方體的邊長為1，現(xiàn)有一個動平面，且平面，當(dāng)平面截此正方體所得截面邊數(shù)最多時，記此時的截面的面積為，周長為，則（

）A．不為定值，為定值 B．為定值，不為定值C．與均為定值 D．與均不為定值【答案】A【分析】利用正方體棱的關(guān)系，判斷平面所成的角都相等的位置，可知截面邊數(shù)最多時為六邊形.如圖所示，可計算出周長為定值，計算正三角形的面積和截而為正六邊形時的截面面積通過比較即可得答案.【解析】正方體的所有棱中，實際上是3組平行的棱，與面平行的面且截面是六邊形時滿足條件，如圖所示，正方體邊長為1，即設(shè)，則，，同理可得六邊形其他相鄰兩邊的和均為，六邊形的周長為定值，正三角形的面積為.當(dāng)均為中點時，六邊形的邊長相等即截面為正六邊形時截面面積最大，此時,截面面積為，截面從平移到的過程中，截面面積的變化過程是由小到大，再由大到小，故可得周長為定值，面積不為定值.故選：A6．（2023·安徽安慶·二模）一底面半徑為1的圓柱，被一個與底面成45°角的平面所截（如圖），為底面圓的中心，為截面的中心，為截面上距離底面最小的點，到圓柱底面的距離為1，為截面圖形弧上的一點，且，則點到底面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得截面橢圓是以為中心，為長軸端點的橢圓，其長軸長為，短軸長為2，作于，因為，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程可求得，可得出，過作，即可求出和，即可得出答案.【解析】圓柱半徑為1，截面與底邊所成角為，作于，則，.截面橢圓是以為中心，為長軸端點的橢圓，其長軸長為，短軸長為2，所以橢圓的方程為，作于，因為，直線的方程為，所以設(shè)，又因為在橢圓上，解得：，所以，，過作，則，，由于均平行于底面，故點到底面的距離是.故選：C.7．（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓面叫做球冠的底，垂直于圓面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．球冠也可看作圓弧繞過它的一個端點的直徑旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面．假設(shè)球面對應(yīng)球的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積公式為．據(jù)中國載人航天工程辦公室消息，北京時間2023年12月21日21時35分，經(jīng)過約7.5小時的出艙活動，航天員湯洪波、唐勝杰已安全返回天和核心艙，神舟十七號航天員乘組第一次出艙活動取得圓滿成功．若航天員湯洪波出倉后站在機械臂上，以背后的地球為背景，如圖所示，面向鏡頭招手致意，此時湯洪波距離地球表面約為400km（圖中的點A處），設(shè)地球半徑約為Rkm，則此時湯洪波回望地球時所能看到的地球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，結(jié)合公式計算即可求解.【解析】如圖，km，由，得，又，則，得，所以（）.即此時湯洪波回望地球時所能看到的地球的表面積為（）.故選：D8．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）已知分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則正確的選項是（

）①截面多邊形可能是三角形或四邊形.②截面多邊形周長的取值范圍是.③截面多邊形面積的取值范圍是.④當(dāng)截面多邊形是一個面積為的四邊形時，四邊形的對角線互相垂直.A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)，結(jié)合對稱性可判斷①；設(shè)，利用余弦定理表示出，利用幾何意義求最小值，利用二次函數(shù)單調(diào)性求最大值可判斷②；先判斷，然后利用向量方法求出，可得截面面積的范圍，可判斷③；由③可判斷④.【解析】對于①，當(dāng)平面過或時，截面為三角形.易知正四面體關(guān)于平面對稱，將平面從平面開始旋轉(zhuǎn)與交于點時，由對稱性可知，此時平面與交于點，且，此時截面為四邊形，①正確；對于②，設(shè)，由余弦定理得，，由兩點間距離公式知，表示動點到定點和的距離之和，當(dāng)三點共線時取得最小值，由二次函數(shù)單調(diào)性可知，當(dāng)或時，取得最大值，所以截面多邊形周長的取值范圍是，所以②錯誤；對于③，記與的交點為，由對稱性，，所以，，因為，所以，所以，記，則，因為，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，，即，所以，③正確；對于④，由③知，當(dāng)截面為四邊形時，對角線，垂直，所以④正確．故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵是找到正四面體的對稱性，根據(jù)對稱性判斷截面形狀，利用余弦定理求周長，利用空間向量求距離，然后可得面積，題目綜合性強，對學(xué)生的直觀想象能力有較高的要求.二、多選題9．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）正方體的棱長為6，，分別是棱，的中點，過，，作正方體的截面，則（

）A．該截面是五邊形B．四面體外接球的球心在該截面上C．該截面與底面夾角的正切值為D．該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75【答案】ACD【分析】對于A，過三點作正方體的截面即可；對于B，計算四面體外接球半徑，以及外接圓半徑，比較球心與圓心是否重合即可；對于C，建立空間直角坐標系，計算平面和平面的法向量即可；對于D，將被截正方體較小部分體積分為5個三棱錐計算即可.【解析】對于A，如圖①所示，延長交的延長線于，延長交的延長線于，連接交于，連接交于，連接，，則五邊形為平面截正方體所得的截面，故A正確；對于B，如圖②所示，設(shè)三棱錐底面外心為，三棱錐外接球球心為，且,在中，,，所以外接圓半徑為,所以在中，三棱錐外接球半徑,所以三棱錐外接球球心到三點的距離都為.在中，，所以外接圓半徑,所以四面體外接球的球心不在該截面上，故B錯誤；對于C，如圖③所示，以分別為軸建立如圖空間直角坐標系，且正方體邊長為6，即，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，所以，又因為平面，故為平面的法向量，則，，故C正確；對于D，如圖④所示，取中點，連接,因為，所以，即，又因為，所以，即，同理，由得，由得，所以，，，，,所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積為，故D正確.故選：ACD.10．（2023·湖南郴州·二模）在正四棱臺中，，，為棱的中點，當(dāng)正四棱臺的體積最大時，下列說法正確的有（

）A．該正四棱臺的高為2B．該正四棱臺的體積為224C．平面截該正四棱臺的截面面積是D．該正四棱臺的內(nèi)切球半徑為1【答案】AC【分析】令，應(yīng)用棱臺體積公式及導(dǎo)數(shù)求正四棱臺的體積最大時對應(yīng)參數(shù)，進而求棱臺的高、體積、內(nèi)切球半徑，根據(jù)平面基本性質(zhì)畫出截面并求面積即可.【解析】將正棱臺補為如下圖的棱錐，令，

由，為棱的中點，所以，棱錐高，則小棱錐高，棱臺的體積，令，則，所以且，則，，，即遞增，，，即遞減，所以，即時棱臺體積最大，此時棱臺的高，A對；棱臺體積為，B錯；棱臺斜高為，則其平行于且垂直于底面的截面如下：

若存在內(nèi)切球，則上圖等腰梯形存在內(nèi)切圓且上下底的切點為對應(yīng)中點，根據(jù)內(nèi)切圓O與梯形各邊都相切，結(jié)合切線長定理知：腰長等于上下底之和的一半，而，故不存在內(nèi)切圓，即棱臺不存在內(nèi)切球，D錯；過作交于，又為棱的中點，則為中點，所以，，而，即，則，，所以截面為等腰梯形，且高為，則面積為，C對.故選：AC11．（2021·山東濰坊·模擬預(yù)測）四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上，，點E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點，則下列說法正確的是（

）A．過點E，F(xiàn)，G作四面體ABCD的截面，則該截面的面積為2B．四面體ABCD的體積為C．AC與BD的公垂線段的長為D．過E作球O的截面，則截面面積的最大值與最小值的比為5：4【答案】ACD【分析】A選項，找到過點E，F(xiàn)，G的四面體ABCD的截面，證明出是正方形，求出邊長和面積；B選項，分割法求解四面體體積；C選項，找到AC與BD的公垂線，求出長度；D選項，先找到球心的位置，然后再得到過點E作面積最小的截面是以E為圓心，BE=2為半徑的圓，面積最大的截面是過點O，E的大圓，求出兩圓面積之比.【解析】A選項，取AB中點H，連接EH，GH，因為點E，F(xiàn)，G分別為棱BC，CD，AD的中點，所以EF∥BD，GH∥BD，F(xiàn)G∥AC，EH∥AC，所以四邊形EFGH是平行四邊形，故平行四邊形EFGH即為過點E，F(xiàn)，G做四面體ABCD的截面，取AC中點Q，連接QB，QD，因為，由三線合一得：DQ⊥AC，BQ⊥AC，又，所以AC⊥平