廣東省陽江市高新區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期2月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期高一2月測(cè)試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型填涂在答題卡相應(yīng)位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，,則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由集合運(yùn)算的定義可以得到集合不含的元素，從而知道不含的元素，即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，，因?yàn)?，所以，，所以，，，因?yàn)?，所?故選：D.2.設(shè)為實(shí)數(shù)，則是的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】求出兩方程在R內(nèi)的解，根據(jù)包含關(guān)系得到答案.【詳解】，故解集為，而在R內(nèi)無解，解集為，由于是任何非空集合的真子集，故是的必要不充分條件.故選：C.3.已知實(shí)數(shù)滿足，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)得到，得到答案.【詳解】，又，故，即.故選：D4.已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A.64 B.25 C.13 D.12【答案】B【解析】【分析】將不等式變形為，利用基本不等式即可得出答案．【詳解】，，則，不等式恒成立，即恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，即實(shí)數(shù)m的最大值為.故選：B.5.不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】移項(xiàng)通分后轉(zhuǎn)化一元二次不等式即可求解.【詳解】原不等式即為即，故，故，故選：D.6.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合，結(jié)合交集的定義求結(jié)論.【詳解】集合，故.故選：C.7.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)寫成分段函數(shù)，作出圖象，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合圖象得，求解即可．【詳解】因?yàn)?，作出函?shù)的圖象，如圖所示：關(guān)于x的方程至少有兩個(gè)不等的實(shí)根，即關(guān)于x的方程至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，令，解得，所以，解得．故選：A8.已知函數(shù)，的最小正周期，若函數(shù)在上單調(diào)，且關(guān)于直線對(duì)稱，則符合要求的的所有值的和是（

）A B.2 C.5 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)最小正周期求法及得，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間單調(diào)性及對(duì)稱軸有值為和和，再驗(yàn)證是否符合題設(shè)，即可得答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期且，得，由于在上單調(diào)，該區(qū)間長(zhǎng)度小于等于半個(gè)周期，即，得，綜上，，又關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，，在的范圍內(nèi)，滿足條件的值為和和，驗(yàn)證可知，這兩個(gè)值均滿足函數(shù)在上單調(diào)，因此，符合要求的所有值的和為故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且，當(dāng)時(shí)，．下列結(jié)論正確的有（）A. B.C.為上的減函數(shù) D.為奇函數(shù)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用賦值法計(jì)算判斷AB；賦值結(jié)合單調(diào)性判斷C；令，利用奇函數(shù)定義推理判斷D.【詳解】定義在上的函數(shù)，，，且，對(duì)于A，令，得，則，A正確；對(duì)于B，令，得，則，令，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得不為上的減函數(shù)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，因此，函數(shù)為奇函數(shù)，D正確，故選：AD10.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.是奇函數(shù)B.若在定義域上是增函數(shù)，則C.若的值域?yàn)?則D.當(dāng)時(shí)，若，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域，將分段函數(shù)分情況討論，逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于A，由題函數(shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，則函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，若在定義域上是增函數(shù)，則，即，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)值域?yàn)?要使的值域?yàn)椋瑒t，即，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由于，則函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，又函數(shù)是奇函數(shù)，故由，得，則，且，且，解得，故D不正確.故選：AB11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.在上有2個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A利用誘導(dǎo)公式結(jié)合函數(shù)周期性的定義判斷，對(duì)于B將給定函數(shù)化簡(jiǎn)后結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷，對(duì)于C利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再求解二次函數(shù)的最值判斷，對(duì)于D舉反例判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以是的一個(gè)周期，故A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以令，解得或，?dāng)時(shí)，，故舍去，當(dāng)時(shí)，而，，，，由余弦函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，我們分為不同區(qū)間進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，得到，所以此時(shí)在上存在一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，得到，所以此時(shí)在上存在一個(gè)根，綜上可得在上有2個(gè)零點(diǎn)，故B正確，對(duì)于C，令，故可化為，由二次函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以最小值為，且，，故最大值為，即的最大值為，故C正確，對(duì)于D，由題意得，，所以在上不可能是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若正數(shù)滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】正數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：13.已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則______．【答案】【解析】【分析】由已知可得為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)列方程求，由此可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故，所以，所以，所以，，所以.故答案為：.14.已知，則______.【答案】【解析】【分析】將化為，再利用兩角和的正切公式求解即可.【詳解】由題意得，則，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，且，，，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得到，分類討論列出不等式，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，所以，綜上可得，不等式的解集為.【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，可得；所以，所以，則，又由，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為．16.隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物得到了很好的發(fā)展.雙十一期間，某服裝公司在各大網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)銷售運(yùn)動(dòng)衣，經(jīng)調(diào)研，每件衣服的售價(jià)(單位：元)與銷量(單位：萬件)之間滿足關(guān)系式已知公司每年固定成本為萬元，每生產(chǎn)萬件衣服需要再投入萬元設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)的衣服全部銷售完.當(dāng)公司銷售萬件衣服時(shí)，年利潤(rùn)為萬元；當(dāng)公司銷售萬件衣服時(shí)，年利潤(rùn)為萬元．（1）寫出年利潤(rùn)(萬元)關(guān)于年銷量萬件函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬件時(shí)，公司利潤(rùn)最大并求出最大利潤(rùn)．【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值為1150萬元.【解析】【分析】（1）依題意可求得參數(shù)的值，再根據(jù)利潤(rùn)與年銷量間的關(guān)系即可求得解析式；（2）根據(jù)相應(yīng)解析式利用基本不等式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)楫?dāng)銷售8萬件衣服時(shí)，年利潤(rùn)為990萬元，所以，解得.當(dāng)銷售20萬件衣服時(shí)，年利潤(rùn)為1145萬元，所以，解得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以；當(dāng)時(shí)，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)的最大值為1150，綜上可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值為1150萬元.17.已知函數(shù)是奇函數(shù)，（1）求的值；（2）若是區(qū)間上的減函數(shù)且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）由求得，由區(qū)間關(guān)于0對(duì)稱求得；（2）由奇偶性變形不等式，再由單調(diào)性化簡(jiǎn)后求解．【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，，且，即.【小問2詳解】，.是奇函數(shù)，，是區(qū)間上的減函數(shù)，，即有，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)的最小正周期為.（1）求的遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可求得函數(shù)的遞增區(qū)間；（2）分析函數(shù)在上的單調(diào)性，求出其最大值和最小值，即可得出該函數(shù)在上的值域.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，則，則，由，得，所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)上單調(diào)遞增，所以，，，因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?19.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞增區(qū)間（只需判定單調(diào)區(qū)間，不需要證明）；（2）設(shè)在區(qū)間上最大值為，求的解析式.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)時(shí)，將函數(shù)寫為分段函數(shù)的形式，結(jié)合的單調(diào)性，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）對(duì)分成三種情況，結(jié)合函數(shù)的解析式，討論函數(shù)的最大值，由此求得的解析式.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，易得