湖南省永州市2025屆高三上學(xué)期高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁/共1頁永州市2025年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)本試卷共6頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試卷和答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合交集定義即可求解.【詳解】由題可知中的元素表示滿足的奇數(shù)，故.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)除法的幾何意義確定復(fù)數(shù)的模.【詳解】由.故選：D3.已知非零向量，滿足，且，則與的關(guān)系是（）A.垂直 B.共線 C.夾角為 D.夾角為【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合數(shù)量積定義直接計算得即可得解.【詳解】設(shè)已知兩個向量的夾角為θ，由題，，所以共線.故選：B.4.已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合題意列出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可得解.【詳解】因為函數(shù)是R上的增函數(shù)，所以.故選：A.5.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點，過點作x軸的垂線交C于A、B兩點，其中點A在第一象限，且.若P是C上的動點，則滿足是直角三角形的點P的個數(shù)為（）A.0 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】先由題設(shè)求得（t為參數(shù)），進(jìn)而求出取橢圓上頂點時的值，從而得不會為直角即可求解.【詳解】由題，又，.，即（t為參數(shù)），取上頂點時最大，此時.不會為直角，只有當(dāng)或是直角才符合題意，所以由對稱性可知滿足是直角三角形點P的個數(shù)為4.故選：C.6.正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球（與上、下底面和三個側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】【分析】由截面圖結(jié)合等面積法和勾股定理列出關(guān)于r的等量關(guān)系求出r即可求解.【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺的高為6.故選：D.7.已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（）A.若，則所有項恒大于等于 B.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列C.若是常數(shù)列，則 D.若，則是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】C【解析】【分析】由值不定即可判斷A；由題設(shè)求出和即可判斷B；由求出即可求出判斷C；由和即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，但值不定，所以若，則所有項不一定恒大于等于2，故A錯誤；對于B，若時，，，而，故B錯；對于C，若是常數(shù)列，則，即，所以，故C正確；對于D，由題，因為，所以由遞推關(guān)系可知，且，，所以，.故D錯誤.故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，，其中，，，則當(dāng)面積最小時，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，先由結(jié)合兩角和正切公式得且，接著計算得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)最小值即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，，，，所以由可得，，記，則，所以時，，解得（舍去）或，時，，解得，所以時可取最小值，而，所以.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由結(jié)合兩角和正切公式得且即把關(guān)聯(lián)起來.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點，且，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題意結(jié)合條件概率定義、獨立事件定義和獨立事件概率乘法公式逐項求出相應(yīng)所需的即可判斷得解.【詳解】對于A，由題意可得，所以，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，因為，，所以，故C錯誤；對于D，因為，所以.故D正確.故選：ABD10.斜率為2的直線l與雙曲線的兩條漸近線交于，兩點，與雙曲線交于C，D兩點，P是線段的中點，則下列說法正確的是（）A.是雙曲線兩條漸近線所構(gòu)成的“X”形圖象的方程B.P也是線段的中點C.若l過雙曲線的焦點，則直線的斜率是D.若l過雙曲線的焦點，點P的坐標(biāo)為，則【答案】ABD【解析】【分析】由雙曲線漸近線求法即可判斷A；分別聯(lián)立直線l與雙曲線和漸近線方程結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷B；由點差法即可求解判斷CD.【詳解】對于A.，或，這恰為雙曲線兩條漸近線，故A正確；對于B.設(shè)直線方程為，分別聯(lián)立與，得和，這兩式的兩根之和都是，所以，中點為同一個，故B正確；對于C.因為，，所以，所以直線的斜率是，故C錯誤；對于D.由C選項可知，即，故D正確.故選：ABD.11.已知的定義域為非零有理數(shù)集，且滿足下面三個性質(zhì)：①；②；③當(dāng)時，，其中下列說法正確的是（）A.若，，則B.恰有兩個整數(shù)解C.若，，則，，中至少有兩個相等D.若，則【答案】AC【解析】【分析】應(yīng)用特殊值法及奇偶性定義判斷奇偶性，進(jìn)而有，即可判斷A；應(yīng)用反證法，對于任意除1和以外的整數(shù)有，根據(jù)已知推出矛盾判斷B；根據(jù)已知得，討論、判斷上述結(jié)論是否成立判斷C；由函數(shù)性質(zhì)得、求值判斷D.【詳解】A：令，有，即；令，有，即；令，有，即是偶函數(shù)；因為，，所以，A正確；B：假設(shè)選項正確，對于任意除1和以外的整數(shù)，有，即，，而，且，所以，，矛盾，故B錯誤.C：，所以，若，結(jié)論顯然成立；若，則，即或，結(jié)論依然成立，C正確；D：，，，D錯誤.故選：AC【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)已知函數(shù)性質(zhì)，奇偶性定義、賦值法、反證思想的應(yīng)用為關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則_________.【答案】【解析】【分析】先由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式得，再由倍角公式和常數(shù)“1”的代換結(jié)合分式齊次式弦化切即可求解.【詳解】由題得，所以.故答案為：.13.用紅、橙、黃、綠四種顏色給一些大小相同的正四面體模具上色，要求每個正四面體四個面顏色各不相同.我們規(guī)定：如果兩個已上色的四面體，可以通過旋轉(zhuǎn)將其中一個變得與另一個完全相同，則認(rèn)為它們用了同一種上色模式.那么不同的上色模式共有________種.【答案】2【解析】【分析】以不同頂點作為底面頂點作旋轉(zhuǎn)確定不同朝向情況，再應(yīng)用排列數(shù)求不同上色情況數(shù)，即可確定上色模式數(shù).【詳解】假設(shè)一個正四面體四個頂點為、、、，則作底面頂點時，通過旋轉(zhuǎn)，除底面外三個面的朝向有三種，如圖所示：同理，，作底面頂點時也分別有3種，一共有12種，即一個正四面體可以通過旋轉(zhuǎn)得到12種朝向.因為四種顏色的排列數(shù)有種，所以一共有種不同的上色模式.故答案為：214.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線，，半圓C：.現(xiàn)從點向上方區(qū)域的某方向發(fā)射一束光線，光線沿直線傳播，但遇到射線、時會發(fā)生鏡面反射.設(shè)光線在發(fā)生反射前所在直線的斜率為k，若光線始終與半圓C沒有交點，則k的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】求出光線與、、相切時的斜率，樹形結(jié)合即可得解.【詳解】將半圓依次沿著，，作對稱，如圖所示：光線在鏡面發(fā)生反射可以等效處理為：光線進(jìn)入了鏡子后的空間，因此問題就轉(zhuǎn)化為光線如何與鏡子內(nèi)外的圓沒有交點，光線變化的范圍如圖所示.當(dāng)光線與相切時，光線所在直線斜率為，由對稱性可知當(dāng)光線遇射線時反射光線若與相切，則入射光線所在直線x=1與圓相切，當(dāng)光線與圓相切但遇射線時反射光線不與相切時，此時，所以光線斜率為，當(dāng)光線與相切時，光線斜率，所以由圖可知k的取值范圍是.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合簡化問題的難度.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，.（1）求的外接圓半徑；（2）若為銳角三角形，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化可得，即可由余弦定理求解，（2）根據(jù)正弦定理以及三角恒等變換可得，即可利用三角形的邊角關(guān)系求解.【小問1詳解】由可得，故，由于，故由余弦定理得由于，所以，，根據(jù)解得，所以的外接圓半徑為.【小問2詳解】由（1）知，，，，由正弦定理有，所以，因為為銳角三角形，所以，解得，所以，則，所以，則.所以周長的取值范圍為.16.如圖，正方體的棱長為1，點M，N分別在線段，上，且，.（1）若，證明：；（2）若，點P，Q分別在直線，上，且，，求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)當(dāng)時分別找到點和點的位置，利用線面垂直，可證線線垂直；(2)根據(jù)題中垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，把表示為的函數(shù)，求函數(shù)值域即可.【小問1詳解】連接，，當(dāng)，則是的中點，是的中點，所以，因為面，面，所以，所以.【小問2詳解】以點為原點，，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0，，，，，，，所以，，所以，，所以，又，設(shè)直線的方向向量為，則由得，取，又，所以由得，易知在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以，所以.17.箱子里有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從箱子中隨機(jī)抽取一張卡片，各卡片被抽到的概率均為，記錄卡片上的數(shù)字，然后將卡片放回箱子.重復(fù)這個操作，直到滿足下列條件之一結(jié)束：（a）第一次抽取的卡片上寫的數(shù)字是4；（b）設(shè)n為大于等于2的整數(shù)，第n次抽取的卡片上寫的數(shù)字大于第次抽取的卡片上寫的數(shù)字.例如，當(dāng)記錄的數(shù)字依次為3，2，2，4時，這個操作在第4次結(jié)束.（1）若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，求前四次抽取的情況總數(shù)；（2）求操作在第n次結(jié)束的概率.【答案】（1）15；（2）操作在第n次結(jié)束的概率為.【解析】【分析】（1）由操作的的條件直接寫出所有可能情況即可得解.（2）設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為，由題設(shè)表示和，利用隔板法討論操作進(jìn)行了次，但是并沒有結(jié)束的情形，從而求出，進(jìn)而得解.【小問1詳解】由題意可得若操作進(jìn)行了4次仍未結(jié)束，則前四次抽取的卡片數(shù)字可能為：1111，2111，3111，2211，3211，3311，2221，3221，3321，3331，2222，3222，3322，3332，3333，共有15種情況.【小問2詳解】設(shè)操作在第次結(jié)束的概率為，操作在第次未結(jié)束的概率為.則當(dāng)時，，；當(dāng)時，.接下來我們討論操作進(jìn)行了次，但是并沒有結(jié)束的情形，抽取的數(shù)字結(jié)構(gòu)如下所示：分別設(shè)序列中的3，2，1的個數(shù)為，，，可知.利用隔板法，可以知道對應(yīng)情形的數(shù)量，操作如下：令，，，即，一共有種情形，各情形概率均為，所以有，當(dāng)時，.經(jīng)檢驗，其對依然成立，所以.18.已知函數(shù)，.（1）設(shè)直線與曲線交于點P，求P點縱坐標(biāo)的最小值；（2）a取遍全體正實數(shù)時，曲線在坐標(biāo)平面上掃過一片區(qū)域，該區(qū)域的下邊界為函數(shù)，求的解析式；（3）證明：當(dāng)時，對任意正實數(shù)a，.（附：）【答案】（1）點縱坐標(biāo)的最小值為；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）由時的結(jié)合基本不等式即可求解；（2）構(gòu)造函數(shù)并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分和兩種情況研究函數(shù)單調(diào)性求出其最小值即可得解；（3）由第（2）問恒成立，將問題轉(zhuǎn)化成證明，再利用導(dǎo)數(shù)分段求證成立即可得證.【小問1詳解】時，.令，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以點縱坐標(biāo)的最小值為.【小問2詳解】，定義域為0,+∞，令，則，①當(dāng)，即時，，在0,+∞上單調(diào)遞增，；②當(dāng)，即時，由，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，.綜上所述，.【小問3詳解】由第（2）問可知恒成立，所以只需證明即可.①若，構(gòu)造因為，所以在上恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立；②若，，因為，所以構(gòu)造，則.令，則，所以φx在單調(diào)遞增，而，所以恒成立，在單調(diào)遞增，.因為，即，，所以，而，即證在上恒成立.19.在直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓經(jīng)過點，短半軸長為.過點作直線l交C于A，B兩點，直線PA交y軸于點M，直線PB交y軸于點N，記直線PA，PB的斜率分別為和.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明是定值，并求出該定值；（3）設(shè)點，證明C上存在異于其上下頂點的點Q，使得恒成立，并求出所有滿足條件的Q點坐標(biāo).【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）證明見解析，或.【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓所過的點及短半軸長、橢圓參數(shù)關(guān)系求橢圓方程；（2）將橢圓中心作平移為，齊次化法設(shè)對應(yīng)平移后直線方程為，進(jìn)而有，結(jié)合“1”的處理得到和是的兩個根，應(yīng)用韋達(dá)定理即可證明結(jié)論；（3）由題意，設(shè)，并得到、，代入等量