四川省內(nèi)江市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)內(nèi)江市2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期高一期末檢測(cè)題數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)，班級(jí)用簽字筆填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置．2．選擇題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案．不能答在試題卷上．3．非選擇題用簽字筆將答案直接答在答題卡相應(yīng)位置上．4．考試結(jié)束后，監(jiān)考人員將答題卡收回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別確定集合，再求.【詳解】由，所以.由，所以.所以.故選：A2.下列命題是真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對(duì)于ABC：舉反例說(shuō)明即可；對(duì)于D：利用作差法分析判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：例如，滿(mǎn)足，但，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，滿(mǎn)足，但，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，若，則，可得，即，故D正確；故選：D.3.設(shè)命題三角形的內(nèi)角和為，則p的否定為（）A.所有三角形的內(nèi)角和都不為 B.有的三角形的內(nèi)角和為C.存在三角形的內(nèi)角和不為 D.三角形的內(nèi)角和不為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題可判斷正確選項(xiàng).【詳解】命題：所有三角形的內(nèi)角和都是，所以命題的否定為：存在三角形的內(nèi)角和不為.故選：C4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成“齊次式”求解.【詳解】由.所以.故選：B5.中國(guó)扇子歷史悠久，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，在長(zhǎng)達(dá)數(shù)千年的發(fā)展過(guò)程中，被賦予了極其深厚的文化內(nèi)涵和鮮明的民族特色．自古中國(guó)就有“制扇王國(guó)”的美譽(yù)，數(shù)量之大品種之多，皆居世界首位．如圖，現(xiàn)從一圓面中剪下一個(gè)扇形制作一把扇形扇子，為了使扇子形狀更為美觀，要求剪下的扇形和圓面剩余部分的面積比值為黃金分割比，則扇子的圓心角應(yīng)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合扇形面積公式運(yùn)算求解即可.【詳解】設(shè)圓的半徑為，剪下的扇形的圓心角為，則圓面剩余部分的圓心角為，由題意可得：，解得.故選：A.6.在下列區(qū)間中，方程的解所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞增，可知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，可知函?shù)的唯一零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，所以方程的解所在的區(qū)間為.故選：B.7.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時(shí)間t（單位：h）間的關(guān)系為（其中，k是正常數(shù)），如果在前5h消除了10%的污染物，則污染物減少50%需要花費(fèi)的時(shí)間約為（）（本題參考數(shù)據(jù)：）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】代入數(shù)據(jù)先得到然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知,當(dāng)為最開(kāi)始的污染物含量.當(dāng)時(shí),廢氣的污染物含量為所以所以當(dāng)污染物減少時(shí)可設(shè)所以所以則所以故選：D.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足．若，則（）A.0 B.2 C.2024 D.2025【答案】B【解析】【分析】探索函數(shù)的周期性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求出，，，的值，可得問(wèn)題答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，且，所以，即，所以.所以函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).又，，，，所以，.所以.故選：B二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知集合，，，，下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)集合中元素的特點(diǎn)可排除AC；分析兩直線(xiàn)的位置關(guān)系可判斷B的真假；根據(jù)集合元素的關(guān)系可判斷D的真假.【詳解】因?yàn)榧现械脑囟际怯行驅(qū)崝?shù)對(duì)（點(diǎn)），所以，的運(yùn)算結(jié)果均為點(diǎn)的集合，所以，都是錯(cuò)誤的，即AC錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)榉匠探M無(wú)解，所以正確，即B正確；對(duì)D：因?yàn)?，又，所以，故正確，即D正確.故選：BD10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則（）A.在區(qū)間單調(diào)遞增 B.在區(qū)間內(nèi)有4個(gè)零點(diǎn)C.點(diǎn)是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心 D.在區(qū)間上的最大值為【答案】AD【解析】【分析】先求的值，確定函數(shù)的解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定A的真假；求出函數(shù)在的零點(diǎn)，判斷B的真假；求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心，判斷C的真假；求函數(shù)在的最大值，確定D的真假.【詳解】由（），又，所以，，所以.對(duì)A：由，得，，的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋院瘮?shù)在上單調(diào)遞增.故A正確；對(duì)B：由，，所以且，所以的值可以為：，，，即函數(shù)在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)椋渣c(diǎn)不是曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，.所以函數(shù)在上的最大值為.故D正確.故選：AD11.設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，．已知函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的有（）A.B.C.當(dāng)時(shí)，D.方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有9個(gè)不同的實(shí)數(shù)根【答案】BCD【解析】【分析】將表示為分段函數(shù)形式，畫(huà)出函數(shù)圖像，由此判斷函數(shù)的奇偶性，周期性，求出函數(shù)值，結(jié)合數(shù)形結(jié)合判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】由于，所以，由此畫(huà)出函數(shù)圖象如下圖所示，由圖可知，是非奇非偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；是周期為1的周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，，C選項(xiàng)正確；方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖可得方程在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有9個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解題的主要方法是圖象法數(shù)形結(jié)合得出函數(shù)的奇偶性及根的個(gè)數(shù).三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知是以原點(diǎn)O為圓心，半徑長(zhǎng)為3的圓，角的終邊與的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于x的函數(shù)解析式_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角函數(shù)的定義可求.【詳解】設(shè)，則，，所以.故答案為：.13.如圖，已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意可得，，且，利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，即，由圖像可知，且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.14.已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】可知在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.【詳解】由題意可知：在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其中．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)的定義域和值域．【答案】（1），（2）定義域：；值域：【解析】【分析】（1）把點(diǎn)代入函數(shù)的解析式，列方程組求解可得a，b的值.（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的意義求函數(shù)的定義域，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域可求函數(shù)的值域.【小問(wèn)1詳解】由題意：，又，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，由，所以函?shù)的定義域?yàn)椋?因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?6.已函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求函數(shù)解析式．（2）求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）增區(qū)間，減區(qū)間，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式.（2）先用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在上的單調(diào)性，再結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在上的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，.所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，因?yàn)?，所以，，所?即.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.又函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.17.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查分析，某地區(qū)一年的前個(gè)月內(nèi)，對(duì)某種商品的需求累計(jì)萬(wàn)件，近似地滿(mǎn)足下列關(guān)系：．（1）求這一年內(nèi)，哪幾個(gè)月需求量超過(guò)1.7萬(wàn)件?（2）若在全年銷(xiāo)售，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場(chǎng)，則為保證該產(chǎn)品全年不脫銷(xiāo)，每月初至少投放多少萬(wàn)件?（精確到萬(wàn)）【答案】（1）月（2）1.43萬(wàn)件【解析】【分析】（1）首先求出第個(gè)月的月需求量，根據(jù)需求量超過(guò)萬(wàn)件建立等式關(guān)系，可求出所求；（2）設(shè)每月初等量投放商品萬(wàn)件，要使商品不脫銷(xiāo)，對(duì)于第個(gè)月來(lái)說(shuō)，不僅有本月投放市場(chǎng)的萬(wàn)件商品，還有前幾個(gè)月未銷(xiāo)售完的商品.所以，需且只需：，將分離出來(lái)，利用基本不等式可求出的最值.【小問(wèn)1詳解】第1個(gè)月的月需求量為，第個(gè)月的月需求量為，由得，又得，即這一年的這四個(gè)月的需求量超過(guò)萬(wàn)件.【小問(wèn)2詳解】設(shè)每月初等量投放商品萬(wàn)件，要使商品不脫銷(xiāo)，對(duì)于第個(gè)月來(lái)說(shuō)，不僅有本月投放市場(chǎng)的萬(wàn)件商品，還有前幾個(gè)月未銷(xiāo)售完的商品.所以，需且只需：，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故，即每月初至少要投放萬(wàn)件即1.43萬(wàn)件商品，才能保證全年不脫銷(xiāo).18.已知函數(shù)的最小正周期為2，部分圖象如圖所示．（1）求A，，；（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，求使不等式成立的x的集合；（3）若，且滿(mǎn)足，求滿(mǎn)足要求的m的個(gè)數(shù)．【答案】（1），，（2）（3）72【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合周期性、最值運(yùn)算求解即可；（2）由（1）可知：，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)解不等式即可；（3）根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)可得，代入整理可得，分類(lèi)討論k的奇偶性運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，因?yàn)?，且函?shù)的最小正周期為2，則，解得，可得，又因?yàn)楹瘮?shù)的過(guò)點(diǎn)，則，即，且，則，可得，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，因?yàn)?，即，可得，則，解得，所以不等式成立的x的集合為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，即，可得，解得，又因?yàn)?，可得，即，可得，若為偶?shù)，可得，解得，滿(mǎn)足條件的有34個(gè)；若為奇數(shù)，可得，解得，滿(mǎn)足條件的有38個(gè)；綜上所述：滿(mǎn)足條件的有個(gè).19.意大利著名畫(huà)家達(dá)芬奇曾提出一個(gè)引人深思的數(shù)學(xué)問(wèn)題：倘若將項(xiàng)鏈的兩端牢牢固定，并讓它在重力的牽引下自然垂落，那么這條項(xiàng)鏈所勾勒出的曲線(xiàn)形態(tài)究竟怎樣?這便是聞名遐邇的“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”．1691年，萊布尼茨和伯努利推導(dǎo)出懸鏈線(xiàn)的方程為，其中c為參數(shù).當(dāng)時(shí)就是雙曲函數(shù)，其中雙曲余弦函數(shù)為，雙曲正弦函數(shù)為，懸鏈線(xiàn)方程在海洋、河流、道路工程等多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，它的應(yīng)用不僅能提高工程結(jié)構(gòu)的安全性和穩(wěn)定性，也能增強(qiáng)整個(gè)工程項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)性和實(shí)用性．（1）求證：；（2）求函數(shù)的最小值；（3）求證：對(duì)，．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）代入雙曲余弦和雙曲正弦函數(shù)的解析式，化簡(jiǎn)即可.（2）求函數(shù)解析式，利用換元法結(jié)合基本不等式可求函數(shù)的最小值.（3）當(dāng)時(shí)，研究的符號(hào)，判斷它們的大小，當(dāng)