天津市八所重點(diǎn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024-2025學(xué)年天津市八所重點(diǎn)學(xué)校高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算先求，再求即可.【詳解】因?yàn)椋?，故，?故選:A.2.設(shè)a則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】由已知結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗(yàn)充分必要性即可判斷．【詳解】解：當(dāng)時(shí)成立，但沒(méi)有意義，及充分性不成立；當(dāng)則此時(shí)成立，即必要性成立．故選：B3.有一散點(diǎn)圖如圖所示，在六組數(shù)據(jù)中去掉B點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）A.樣本數(shù)據(jù)的兩變量x，y正相關(guān)B.相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值更接近于0C.殘差平方和變大D.變量x與變量y相關(guān)性變強(qiáng)【答案】D【解析】【分析】由圖可知，兩變量負(fù)相關(guān)，去掉B點(diǎn)后，回歸直線效果更好，據(jù)此判斷，即可求解．【詳解】由圖可知，樣本數(shù)據(jù)的兩變量負(fù)相關(guān)，故A錯(cuò)誤；由圖可知，點(diǎn)B相對(duì)其它點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉B點(diǎn)后，回歸直線效果更好，故BC錯(cuò)誤，D正確．故選：D.4.已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A.若且則B.若則C.若則D.若則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中各要素位置關(guān)系，逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：若且則m與可以成任意角，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若則，B選項(xiàng)正確；若則n與可以成任意角，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；若則a與可以成任意角，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B5.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的單調(diào)性排除D，從而得解.【詳解】對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，易知，，則，不滿足圖象，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，定義域?yàn)椋?，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤；檢驗(yàn)選項(xiàng)A，滿足圖中性質(zhì)，故A正確.故選：A.6.已知，，，則實(shí)數(shù)a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分別作出相應(yīng)函數(shù)的圖像，結(jié)合圖像交點(diǎn)，即可判斷、、的大小.【詳解】分別作出與的圖像，因，故結(jié)合圖像可知分別作出與的圖像，因，故結(jié)合圖像可知.分別作出與的圖像，因，故結(jié)合圖像可知.因此.故選：B.7.已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，M，N為雙曲線一條漸近線上的兩點(diǎn)，為雙曲線的右頂點(diǎn)，若四邊形為矩形，且，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由四邊形為矩形，可設(shè)以MN為直徑的圓的方程為，設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立求出，進(jìn)而求出，再在中利用余弦定理即可求解.【詳解】如圖，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以（矩形的?duì)角線相等），所以以MN為直徑的圓的方程為.直線MN為雙曲線的一條漸近線，不妨設(shè)其方程為，由解得，或所以，或，.不妨設(shè)，，又，所以，.在△AMN中，，由余弦定理得，即，則，所以，則，所以.故選C.8.函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為的等差數(shù)列圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論不正確的是（）A.為奇函數(shù)B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】【分析】利用等差數(shù)列的概念和三角函數(shù)的性質(zhì)可知，再依據(jù)圖像的平移的性質(zhì)得到函數(shù)，選項(xiàng)A：，根據(jù)正弦函數(shù)的奇偶性可知判斷A；選項(xiàng)B：直接代入函數(shù)中，看結(jié)果是否為最值；選項(xiàng)C：利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求得單調(diào)區(qū)間；選項(xiàng)D：求得的導(dǎo)函數(shù)后，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域．【詳解】解：設(shè)的最小正周期為T，由題意可知：，即，且則，可得，所以，對(duì)于選項(xiàng)A：，為奇函數(shù)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋瑸樽钚≈?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，則，且在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，且，則，可得所以，故D錯(cuò)誤．故選：D9.如圖，四邊形ABCD為正方形平面ABCD記三棱錐的體積分別為有如下的結(jié)論，其中正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】B【解析】【分析】作出圖形，根據(jù)三棱錐的體積公式，轉(zhuǎn)化三棱錐的頂點(diǎn)，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)連接分別延長(zhǎng)EG，F(xiàn)B交于點(diǎn)I，則根據(jù)題意可得G為DB中點(diǎn)，又從而可得又所以所以所以所以①錯(cuò)誤，③正確；又且所以所以又所以所以②錯(cuò)誤，④正確．故選：B二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.10.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足則z共軛復(fù)數(shù)______.【答案】2i【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由共軛復(fù)數(shù)的定義得答案．【詳解】，故答案為：.11.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)_____用數(shù)字填寫(xiě)答案【答案】80【解析】【分析】先求出展開(kāi)式通項(xiàng)公式，進(jìn)而得x的系數(shù)．【詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：由得則展開(kāi)式中x的系數(shù)為故答案為：8012.過(guò)原點(diǎn)的一條直線與圓相切，交曲線于點(diǎn)，若，則的值為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)切線方程為，，即可根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，直線與拋物線的位置關(guān)系解出．【詳解】易知圓和曲線關(guān)于軸對(duì)稱，設(shè)切線方程為，，所以，解得：，由解得：或，即，所以，解得：．故答案為：.13.中華茶文化源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，博大精深，不但包含豐富的物質(zhì)文化，還包含深厚的精神文化.其中綠茶在制茶過(guò)程中，在采摘后還需要經(jīng)過(guò)殺青、揉捻、干燥這三道工序.現(xiàn)在某綠茶廠將采摘后的茶葉進(jìn)行加工，其中殺青、揉捻、干燥這三道工序合格的概率分別為每道工序的加工都相互獨(dú)立，則茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格的概率為_(kāi)_____；在綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格的前提下，殺青加工合格的概率為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】利用對(duì)立事件和獨(dú)立事件的概率公式求解第一空，利用條件概率公式求解第二空．【詳解】解：設(shè)事件A表示“茶葉加工中三道工序至少有一道工序合格”，則事件表示“茶葉加工中三道工序都不合格”，所以設(shè)事件B表示“綠茶的三道工序中恰有兩道工序加工合格”，事件C表示“殺青加工合格”，則所以故答案為：；14.在矩形ABCD中在AD上取一點(diǎn)M，在AB上取一點(diǎn)P，使得過(guò)M點(diǎn)作交BC于N點(diǎn)，若線段MN上存在一動(dòng)點(diǎn)E，線段CD上存在一動(dòng)點(diǎn)（1）若用向量表示向量______；（2）若則的最小值為_(kāi)_____.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)、平面向量的線性運(yùn)算法則，求出用向量表示向量的式子；（2）由結(jié)合算出然后根據(jù)向量的模的公式算出的最小值．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，可得且所以可得結(jié)合、可得；（2）因?yàn)樗杂^察圖形可得：當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以可得即的最小值為故答案為：；15.已知函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，并且這三個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______．【答案】或【解析】【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】函數(shù)0，得|x+a|a＝3，設(shè)g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，則函數(shù)g（x），不妨設(shè)f（x）＝0的3個(gè)根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，當(dāng)x＞﹣a時(shí)，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此時(shí)x2＝﹣1，x3＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，滿足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，則f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有兩個(gè)不同的解，不妨設(shè)x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的兩個(gè)解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的兩個(gè)解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由設(shè)f（x）＝0的3個(gè)根為x1，x2，x3成差數(shù)列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4時(shí)，f（x）＝0最多只有兩個(gè)解，不滿足題意；綜上所述，a或﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度極大．三、解答題：本題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知為鈍角（1）求角A的大??；（2）若則：①求b的值；②求的值.【答案】（1）（2）①3；②【解析】【分析】（1）由二倍角公式結(jié)合正弦定理即可求得；（2）①由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正弦定理即可求得；②由二倍角公式與兩角差的正弦公式計(jì)算即可求得．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)闉殁g角，所以為銳角，所以所以所以因?yàn)樗杂烧叶ɡ碛校核砸驗(yàn)闉殁g角，所以；【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)榍褺為銳角，所以由得；②因?yàn)樗?7.如圖，四棱錐中，平面平面ABCD是以為斜邊的等腰直角三角形，底面為直角梯形其中是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)平面平面ABCD，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可得證；（2）建立空間直坐標(biāo)系Oxyz，分別求出平面PAB和平面PBC的法向量，利用向量法求解即可；（3）求出利用向量法求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：由于是以AD為斜邊的等腰直角三角形，O是AD的中點(diǎn)，故由于平面平面ABCD，平面平面平面PAD，故平面ABCD；【小問(wèn)2詳解】連結(jié)OB，由于O是AD的中點(diǎn)，且故由于故四邊形OBCD為矩形，所以故有OB、OD、OP兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OD、OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直坐標(biāo)系Oxyz，則設(shè)平面PAB的法向量為則令則故平面PAB的一個(gè)法向量為設(shè)平面PBC的法向量為則令則故平面PBC一個(gè)法向量為設(shè)平面PAB與平面PBC的夾角為故平面PAB與平面PBC的夾角余弦值為；【小問(wèn)3詳解】由（2）知，平面PAB的一個(gè)法向量為所以點(diǎn)E到平面PAB的距離為18.已知橢圓C：的離心率為點(diǎn)在橢圓C上，A，B分別為橢圓的左右頂點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若直線：與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且求證：為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積為定值；（3）若M為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線AM，BM的斜率分別為且滿足直線AM，BM分別交動(dòng)直線于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作BM的垂線交x軸于點(diǎn)判斷是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）存在，【解析】【分析】根據(jù)題目所給信息以及a，b，c之間的關(guān)系，列出等式求解即可；將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式以及三角形面積公式進(jìn)行求證即可；設(shè)出直線AM和BM的方程，求出D，E，H兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，且離心率為所以解得，則橢圓方程為；【小問(wèn)2詳解】證明：聯(lián)立消去y并整理得此時(shí)設(shè)，由韋達(dá)定理得，因?yàn)橛諳到直線PQ的距離且所以綜上，的面積為定值，定值為；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)橹本€AM，BM的斜率分別為且滿足設(shè)直線AM的方程為令，可得，即，同理得，因?yàn)橹本€DH的方程為令，解得，即，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，最大值為則存在最大值，最大值為【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：解答圓錐曲線的綜合題，難點(diǎn)在于復(fù)雜的運(yùn)算，特別的，基本都是有關(guān)字母參數(shù)的運(yùn)算，因此需要學(xué)生具備較強(qiáng)的計(jì)算能力.19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為是公比大于0的等比數(shù)列且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)求；（3）對(duì)于數(shù)列在和之間插入數(shù)列的前k項(xiàng)組成一個(gè)新的數(shù)列：…，求.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得所求；由數(shù)列的分組求和、裂項(xiàng)相消求和與錯(cuò)位相減法求和，計(jì)算可得所求和；由數(shù)列的分組求和、錯(cuò)位相減法求和，計(jì)算可得所求和．【小問(wèn)1詳解】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為設(shè)公差為d，是公比q大于0的等比數(shù)列，由且成等差數(shù)列，可得即解得則；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)設(shè)奇數(shù)項(xiàng)的和為相減可得化為；設(shè)所以；【小問(wèn)3詳解】由可得設(shè)相減可得則【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：第2問(wèn)求和按奇偶分組，再利用錯(cuò)位相減法和裂項(xiàng)相消法求和.20.已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求出曲線在處的切線方程；（2）已知若不等式對(duì)于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根求證：【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到的定義域?yàn)樵俳獠坏仁郊纯汕蟪鰡握{(diào)區(qū)間；又再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程即可求解；（2）由得即令再利用導(dǎo)數(shù)求解即可；（3）記再利用導(dǎo)數(shù)求解即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)榱畹盟詴r(shí)單調(diào)遞減，時(shí)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為又所以曲線在處的切線方程為【小問(wèn)2詳解】由得即而所以令則?′m=em+1>0,由可知所以所以令則所以當(dāng)時(shí),F′當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，所以則即所以的取值范圍為；【小問(wèn)3詳解】由（1）知，若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根因?yàn)闀r(shí)極小值則記則令得當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí),?′x