浙江專用2025版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法第3講等比數(shù)列及其前n項和練習(xí)含解析

PAGEPAGE7第3講等比數(shù)列及其前n項和[基礎(chǔ)達標(biāo)]1．(2024·寧波質(zhì)檢)在單調(diào)遞減的等比數(shù)列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝eq\f(5,2)，則a1＝()A．2 B．4C．eq\r(2) D．2eq\r(2)解析：選B.在等比數(shù)列{an}中，a2a4＝aeq\o\al(2,3)＝1，又a2＋a4＝eq\f(5,2)，數(shù)列{an}為遞減數(shù)列，所以a2＝2，a4＝eq\f(1,2)，所以q2＝eq\f(a4,a2)＝eq\f(1,4)，所以q＝eq\f(1,2)，a1＝eq\f(a2,q)＝4.2．(2024·衢州模擬)設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，a2－8a5＝0，則eq\f(S8,S4)的值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(17,16)C．2 D．17解析：選B.設(shè){an}的公比為q，依題意得eq\f(a5,a2)＝eq\f(1,8)＝q3，因此q＝eq\f(1,2).留意到a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)，即有S8－S4＝q4S4，因此S8＝(q4＋1)S4，eq\f(S8,S4)＝q4＋1＝eq\f(17,16)，選B.3．(2024·瑞安四校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的首項a1＝2，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且bn＝eq\f(an＋1,an)，若b10b11＝2，則a21＝()A．29 B．210C．211 D．212解析：選C.由bn＝eq\f(an＋1,an)，且a1＝2，得b1＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(a2,2)，a2＝2b1；b2＝eq\f(a3,a2)，a3＝a2b2＝2b1b2；b3＝eq\f(a4,a3)，a4＝a3b3＝2b1b2b3；…；an＝2b1b2b3…bn－1，所以a21＝2b1b2b3…b20，又{bn}為等比數(shù)列，所以a21＝2(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝2(b10b11)10＝211.4．(2024·麗水市高考數(shù)學(xué)模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列結(jié)論肯定成立的是()A．a(chǎn)1＋a3≥2a2 B．a(chǎn)1＋a3≤2a2C．a(chǎn)1S3>0 D．a(chǎn)1S3<0解析：選C.選項A，數(shù)列－1，1，－1為等比數(shù)列，但a1＋a3＝－2<2a2＝2，故A錯誤；選項B，數(shù)列1，－1，1為等比數(shù)列，但a1＋a3＝2>2a2＝－2，故B錯誤；選項D，數(shù)列1，－1，1為等比數(shù)列，但a1S3＝1>0，故D錯誤；對于選項C，a1(a1＋a2＋a3)＝a1(a1＋a1q＋a1q2)＝aeq\o\al(2,1)(1＋q＋q2)，因為等比數(shù)列的項不為0，故aeq\o\al(2,1)>0，而1＋q＋q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，故aeq\o\al(2,1)(1＋q＋q2)>0，故C正確．5．(2024·鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)料)已知數(shù)列{an}滿意a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對隨意n∈N*都有eq\f(1,a1)＋eq\f(1,a2)＋…＋eq\f(1,an)<t，則實數(shù)t的取值范圍為()A．(eq\f(1,3)，＋∞) B．[eq\f(1,3)，＋∞)C．(eq\f(2,3)，＋∞) D．[eq\f(2,3)，＋∞)解析：選D.依題意得，當(dāng)n≥2時，an＝eq\f(a1a2a3…an,a1a2a3…an－1)＝eq\f(2n2,2（n－1）2)＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，eq\f(1,an)＝eq\f(1,22n－1)，數(shù)列{eq\f(1,an)}是以eq\f(1,2)為首項，eq\f(1,4)為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列{eq\f(1,an)}的前n項和等于eq\f(\f(1,2)（1－\f(1,4n)）,1－\f(1,4))＝eq\f(2,3)(1－eq\f(1,4n))<eq\f(2,3)，因此實數(shù)t的取值范圍是[eq\f(2,3)，＋∞)，選D.6．(2024·江南十校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Tn是{an}的前n項之積，a2＝27，a3a6a9＝eq\f(1,27)，則當(dāng)Tn最大時，n的值為()A．5或6 B．6C．5 D．4或5解析：選D.數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，因為a3a6a9＝eq\f(1,27)，所以aeq\o\al(3,6)＝eq\f(1,27)，所以a6＝eq\f(1,3).因為a2＝27，所以q4＝eq\f(a6,a2)＝eq\f(\f(1,3),27)＝eq\f(1,81)，所以q＝eq\f(1,3).所以an＝a2qn－2＝27×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－5).令an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(n－5)＝1，解得n＝5，則當(dāng)Tn最大時，n的值為4或5.7．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且aeq\o\al(2,5)＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________．解析：設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由aeq\o\al(2,5)＝a10，得(a1q4)2＝a1·q9，即a1＝q.又由2(an＋an＋2)＝5an＋1，得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(q＝\f(1,2)舍去))，所以an＝a1·qn－1＝2n.答案：2n8．已知等比數(shù)列{an}的首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，全部的奇數(shù)項之和為85，全部的偶數(shù)項之和為170，則這個等比數(shù)列的項數(shù)為________．解析：由題意得a1＋a3＋…＝85，a2＋a4＋…＝170，所以數(shù)列{an}的公比q＝2，由數(shù)列{an}的前n項和公式Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)，得85＋170＝eq\f(1－2n,1－2)，解得n＝8.答案：89．(2024·溫州市十校聯(lián)合體期初)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則q的值為________．解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為Sn，且Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列，則2Sn＝Sn＋1＋Sn＋2，若q＝1，則Sn＝na1，等式明顯不成立，若q≠1，則為2·eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝eq\f(a1（1－qn＋1）,1－q)＋eq\f(a1（1－qn＋2）,1－q)，故2qn＝qn＋1＋qn＋2，即q2＋q－2＝0，因此q＝－2.答案：－210．(2024·臺州市高考模擬)已知數(shù)列{an}的前m(m≥4)項是公差為2的等差數(shù)列，從第m－1項起，am－1，am，am＋1，…成公比為2的等比數(shù)列．若a1＝－2，則m＝________，{an}的前6項和S6＝________．解析：由a1＝－2，公差d＝2，得am－1＝－2＋2(m－2)＝2m－6，am＝－2＋2(m－1)＝2m－4，則eq\f(am,am－1)＝eq\f(2m－4,2m－6)＝2，所以m＝4；所以S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28.答案：42811．(2024·高考全國卷Ⅱ)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通項公式；(2)若T3＝21，求S3.解：設(shè){an}的公差為d，{bn}的公比為q，則an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②聯(lián)立①和②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝3，,q＝0))(舍去)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(d＝1，,q＝2.))因此{(lán)bn}的通項公式為bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5，q＝4.當(dāng)q＝－5時，由①得d＝8，則S3＝21.當(dāng)q＝4時，由①得d＝－1，則S3＝－6.12．(2024·瑞安市龍翔中學(xué)高三月考)已知數(shù)列{an}是首項為2的等差數(shù)列，其前n項和Sn滿意4Sn＝an·an＋1.數(shù)列{bn}是以eq\f(1,2)為首項的等比數(shù)列，且b1b2b3＝eq\f(1,64).(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，若對隨意n∈N*不等式eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)≥eq\f(1,4)λ－eq\f(1,2)Tn恒成立，求λ的取值范圍．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由題意得4a1＝a1(a1＋d)，解得d＝2，所以an＝2n，由b1b2b3＝beq\o\al(3,2)＝eq\f(1,64)?b2＝eq\f(1,4)，從而公比q＝eq\f(b2,b1)＝eq\f(1,2)，所以bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n).(2)由(1)知eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,n（n＋1）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，所以eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝1－eq\f(1,n＋1)，又Tn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n)，所以對隨意n∈N*，eq\f(1,S1)＋eq\f(1,S2)＋…＋eq\f(1,Sn)≥eq\f(1,4)λ－eq\f(1,2)Tn等價于eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,2n＋1)≥eq\f(1,4)λ，因為eq\f(3,2)－eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,2n＋1)對n∈N*遞增，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,n＋1)－\f(1,2n＋1)))eq\s\do7(min)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，所以eq\f(3,4)≥eq\f(1,4)λ?λ≤3，即λ的取值范圍為(－∞，3]．[實力提升]1．(2024·麗水模擬)已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)且公比大于1，前n項積為Tn，且a2a4＝a3，則使得Tn＞1的n的最小值為()A．4 B．5C．6 D．7解析：選C.因為{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列且a2a4＝a3，所以aeq\o\al(2,3)＝a3，所以a3＝1.又因為q＞1，所以a1＜a2＜1，an＞1(n＞3)，所以Tn＞Tn－1(n≥4，n∈N*)，T1＜1，T2＝a1·a2＜1，T3＝a1·a2·a3＝a1a2＝T2＜1，T4＝a1a2a3a4＝a1＜1，T5＝a1·a2·a3·a4·a5＝aeq\o\al(5,3)＝1，T6＝T5·a6＝a6＞1，故n的最小值為6，故選C.2．(2024·溫州十校聯(lián)合體期初)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列(bn>0)．()A．若b7≤a6，則b4＋b10≥a3＋a9B．若b7≤a6，則b4＋b10≤a3＋a9C．若b6≥a7，則b3＋b9≥a4＋a10D．若b6≤a7，則b3＋b9≤a4＋a10解析：選C.因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列(bn>0)，在A中，因為b7≤a6，b4＋b10≥2eq\r(b4b10)＝2b7，a3＋a9＝2a6，所以b4＋b10≥a3＋a9不肯定成立，故A錯誤；在B中，因為b7≤a6，b4＋b10≥2eq\r(b4b10)＝2b7，a3＋a9＝2a6，所以b4＋b10≤a3＋a9不肯定成立，故B錯誤；在C中，因為b6≥a7，所以b3＋b9≥2eq\r(b3·b9)＝2b6，a4＋a10＝2a7，所以b3＋b9≥a4＋a10，故C正確；在D中，因為b6≤a7，所以b3＋b9≥2eq\r(b3·b9)＝2b6，a4＋a10＝2a7，所以b3＋b9≤a4＋a10不肯定成立，故D錯誤．3．已知直線ln：y＝x－eq\r(2n)與圓Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的兩點An，Bn，n∈N*，數(shù)列{an}滿意：a1＝1，an＋1＝eq\f(1,4)|AnBn|2，則數(shù)列{an}的通項公式為________．解析：圓Cn的圓心到直線ln的距離dn＝eq\f(|\r(2n)|,\r(2))＝eq\r(n)，半徑rn＝eq\r(2an＋n)，故an＋1＝eq\f(1,4)|AnBn|2＝req\o\al(2,n)－deq\o\al(2,n)＝2an，故數(shù)列{an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an＝2n－1(n∈N*)．答案：an＝2n－1(n∈N*)4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1＝eq\f(1,3)，且對隨意正整數(shù)m，n都有am＋n＝am·an，若Sn<a恒成立，則實數(shù)a的最小值為________．解析：因為am＋n＝am·an，令m＝1得an＋1＝a1·an，即eq\f(an＋1,an)＝a1＝eq\f(1,3)，所以{an}為等比數(shù)列，所以an＝eq\f(1,3n)，所以Sn＝eq\f(\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n))),1－\f(1,3))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3n)))<eq\f(1,2)，所以a≥eq\f(1,2).故a的最小值為eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)5．(2024·溫州瑞安七中高考模擬)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記A(n)＝a1＋a2＋…＋an，B(n)＝a2＋a3＋…＋an＋1，C(n)＝a3＋a4＋…＋an＋2，n＝1，2，…(1)若a1＝1，a2＝5，且對隨意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項公式；(2)證明：數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對隨意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．解：(1)因為對隨意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成等差數(shù)列，所以B(n)－A(n)＝C(n)－B(n)，即an＋1－a1＝an＋2－a2，亦即an＋2－an＋1＝a2－a1＝4.故數(shù)列{an}是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，于是an＝1＋(n－1)×4＝4n－3.(2)證明：(必要性)：若數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列，對隨意n∈N*，有an＋1＝anq.由an>0知，A(n)，B(n)，C(n)均大于0，于是eq\f(B（n）,A（n）)＝eq\f(a2＋a3＋…＋an＋1,a1＋a2＋…＋an)＝eq\f(q（a1＋a2＋…＋an）,a1＋a2＋…＋an)＝q，eq\f(C（n）,B（n）)＝eq\f(a3＋a4＋…＋an＋2,a2＋a3＋…＋an＋1)＝eq\f(q（a2＋a3＋…＋an＋1）,a2＋a3＋…＋an＋1)＝q，即eq\f(B（n）,A（n）)＝eq\f(C（n）,B（n）)＝q，所以三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列；(充分性)：若對隨意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列，則B(n)＝qA(n)，C(n)＝qB(n)，于是C(n)－B(n)＝q[B(n)－A(n)]，即an＋2－a2＝q(an＋1－a1)，亦即an＋2－qan＋1＝a2－qa1.由n＝1時，B(1)＝qA(1)，即a2＝qa1，從而an＋2－qan＋1＝0.因為an>0，所以eq\f(an＋2,an＋1)＝eq\f(a2,a1)＝q.故數(shù)列{an}是首項為a1，公比為q的等比數(shù)列．綜上所述，數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對隨意n∈N*，三個數(shù)A(n)，B(n)，C(n)組成公比為q的等比數(shù)列．6．(2024·杭州市七校高三聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的公比為q(0<q<1)，且a2＋a5＝eq\f(9,8)，a3a4＝eq\f(1,8).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝an·(log2an)，求{bn}的前n項和Tn；(3)設(shè)該等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，正整數(shù)m，n滿意eq\f(Sn－m,Sn＋1－m)<eq\f(1,2)，求出全部符合條件的m，n的值．解：(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a3a4＝a2a5＝eq\f(1,8)，a2＋a5＝eq\f(9,8)，所以a2，a5是方程x2－eq\f(9,8)x＋eq\f(1,8)＝0的兩根，由題意可知a2>a5，解得a2＝1，a5＝eq\f(1,8)，由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a5＝a2·q3，解得q＝eq\f(1,2)，an＝a2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－2)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n－2).(2)由(1)可知bn＝an·(log2an)＝eq\f(2－n,2n－2)，{bn}的前n項和Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＋0＋eq\b\l