高等數(shù)學(xué) 課件【ch04】不定積分

不定積分第四章高等數(shù)學(xué)高等職業(yè)教育數(shù)字課程改革創(chuàng)新系列教材01不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)在微分學(xué)中，我們已經(jīng)學(xué)過怎樣求已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分，但在許多實(shí)際問題中，經(jīng)常需要解決與此相反的問題，即已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分求原來的函數(shù)，亦即求一個(gè)未知函數(shù)。這種已知導(dǎo)數(shù)或微分求原來函數(shù)的運(yùn)算稱為不定積分。本章將介紹不定積分的概念及其計(jì)算方法。一、原函數(shù)的概念函數(shù)f（x）若有一個(gè)原函數(shù)F（x），則它必有無窮多個(gè)原函數(shù)；任意兩個(gè)原函數(shù)之間只相差一個(gè)常數(shù)。關(guān)于原函數(shù)，一個(gè)函數(shù)具備什么條件時(shí)它的原函數(shù)一定存在？對(duì)于這個(gè)問題的回答，有下面的定理。不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)定理1若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I內(nèi)存在原函數(shù)。簡單地說就是連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。定理2若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)有原函數(shù)F（x），則f（x）的所有原函數(shù)都可以表示為F（x）+C（C為任意常數(shù)）。二、不定積分不定積分的概念與性質(zhì)定義

2若F（x）是在f（x）區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則f（x）的所有原函數(shù)F（x）+C（C為任意常數(shù)）稱為f（x）在I內(nèi)的不定積分，記作

。即

。不定積分的概念與性質(zhì)三、積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）的互逆運(yùn)算性質(zhì)由不定積分的定義容易得到如下的積分與導(dǎo)數(shù)（或微分）的互逆運(yùn)算性質(zhì)。性質(zhì)1說明不定積分的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)，或者說，先積分后微分則積分符號(hào)與導(dǎo)數(shù)符號(hào)相互抵消了；性質(zhì)

2

說明對(duì)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）求不定積分，其結(jié)果與該函數(shù)相差一個(gè)常數(shù)。四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

（k為常數(shù)）

（

）

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)四、基本積分公式根據(jù)原函數(shù)的定義，由導(dǎo)數(shù)和微分基本公式容易推導(dǎo)得到下面的基本積分公式：

不定積分的概念與性質(zhì)五、不定積分的性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)現(xiàn)在我們應(yīng)用不定積分的基本運(yùn)算法則和基本積分公式來計(jì)算不定積分，這種計(jì)算不定積分的方法稱為直接積分法。被積函數(shù)中的非零常數(shù)因子可以提到積分號(hào)之前，即

（常數(shù)k≠0）

02換元積分法換元積分法可以利用基本積分公式和積分的性質(zhì)來計(jì)算的不定積分非常有限，因此有必要進(jìn)一步研究不定積分的求法。本節(jié)把求復(fù)合函數(shù)微分的方法反過來用于求不定積分，利用中間變量的代換得到復(fù)合函數(shù)，這種求積分的方法稱為換元積分法。換元積分法根據(jù)換元方式的不同，換元積分法通常分為以下兩類。一、第一類換元積分法（湊微分法）根據(jù)不定積分的定義得

。二、第二類換元積分法（變量代換法）此方法通常稱為第二類換元積分法，也稱為變量代換法。

上述公式稱為第二類換元積分公式。換元積分法換元積分法一般來說，在處理含有以下根式的被積函數(shù)的不定積分時(shí)，常用三角函數(shù)代換，如表4-1所示。03分部積分法分部積分法除換元積分法外，還有一個(gè)重要的方法，即分部積分法。分部積分法是利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則來推得另一個(gè)積分的方法。分部積分法注：（1）從上例可見，積分運(yùn)算有時(shí)需要多次使用分部積分法，當(dāng)出現(xiàn)“循環(huán)現(xiàn)象”時(shí)，還需要通過移項(xiàng)求解。（2）在積分過程中，有時(shí)需要同時(shí)使用換元積分法和分部積分法才能求出不定積分。例子如下。例33

求不定積分分部積分法分部積分法例34

求不定積分分部積分法例35求不定積分例36

求不定積分分部積分法分部積分法例37

求不定積分04簡單有理函數(shù)的不定積分簡單有理函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的不定積分。通常需要利用代數(shù)恒等式進(jìn)行拆項(xiàng)，然后對(duì)部分分式進(jìn)行積分，如其中A、B、M、N、a、p、q都是常數(shù)。例40求不定積分簡