北師大版八年級上冊數(shù)學第4章：一次函數(shù)之面積問題 壓軸題（含答案解析）

北師大版八年級上冊數(shù)學第4章：一次函數(shù)之面積問題壓軸題

1.如圖，直線y=?2x+7與X軸、y軸分別相交于點c、B,與直線y=2x相交于點A.

2

(1)求A點坐標；

(2)如果在y軸上存在一點P,使AOAP是以0A為底邊的等腰三角形，則P點坐標是；

(3)在直線y=?2x+7上是否存在點Q,使AOAQ的面積等于￡?若存在，請求出Q點的坐標，若不存在,

請說明理由.

第1頁共35頁

2.如圖，直線y=-2x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P是直線AB上的一個動點，點C的坐標為(-

4,0),PC交y軸點于D,0是原點.

(1)求△求B的面積;

(2)線段AB上存在一點P,使AD0C0AAOB,求此時點P的坐標；

(3)直線AB上存在一點P,使以P、C、。為頂點的三角形面積與AAOB面積相等，求出P點的坐標.

第2頁共35頁

3.如圖1,已知直線y=2x+2與y軸，x軸分別交于A,B兩點，以B為直角頂點在笫二象限作等腰Rl^ABC

（1）求點C的坐標，并求出直線AC的關系式：

（2）如圖2,直線CB交y軸于E,在直線CB上取一點D,連接AD,若AD=AC,求證：BE=D3.

（3）如圖3,在（1）的條件下，直線AC交x軸于點M,P（-9，k）是線段BC上一點，在x軸上是否存

2

第3頁共35頁

4.已知y關于x的一次函數(shù)y=mx+2-2m（mWO.且mWl）,其圖象交x軸于點A,交y軸于點B.（0為坐

標系的原點）

（1）若0B=6,求這時m的值；

（2）對于mXO的任意值，該函數(shù)圖象必過一定點，請求出定點的坐標；

（3）是否存在m的值，使△OAB的面積為8?若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

第4頁共35頁

5.如圖，在平面直角坐標系中，3為坐標原點，直線y=-'x+8與x軸交于點A,與y軸交于點B.

3

（1）A點坐標為,B點坐標為；

（2）若動點D從點B出發(fā)以4個單位/秒的速度沿射線B0方向運動，過點D作0B的垂線，動點E從點（）

出發(fā)以2個單位/秒的速度沿射線0A方向運動，過點E作0A的垂線，兩條垂線相交于點P,若D、E兩點同

時出發(fā)，此時，我們發(fā)現(xiàn)點P在一條直線L運動，請求這條直線的函數(shù)解析式.

（3）在（2）的基礎上若點P也在直線y=3x上，點Q在坐標軸上，當△ABP的面積等于aBAQ面積時，請

直接寫出點Q的坐標.

圖1圖2圖3

第5頁共35頁

6.如圖，一次函數(shù)y=x+3的函數(shù)圖象與x軸，y軸分別交于點A,B.

（1）若點P（-2,m）為第三象限內(nèi)一個動點，請問aOPB的面積會變化嗎？若不變，請求出面積；若變

化，請說明理由.

（2）在（1）的條件下，試用含m的代數(shù)式表示四邊形APOB的面積；若4APB的面積是6,求m的值.

第6頁共35頁

7.直線y=x-6與x軸、y軸分別交于A、B兩點，點E從B點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿線段

B0句0點移動（不考慮點E與B、0兩點重合的情況），過點E作EF〃AB,交x軸于點F,將四邊形ABEF沿

直線EF折疊后，與點A對應的點記作點C,與點B對應的點記作點D,得到四邊形CDEF,設點E的運動時

間為t秒.

（1）畫出當t=2時，四邊形ABEF沿直線EF折置后的四邊形CDEF（不寫畫法）；

（2）在點E運動過程中，CD交x軸于點G,交y軸于點H,試探究t為何值時，4CGF的面積為在；

8

（3）設四邊形CDEF落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S,求S關于t的函數(shù)解析式，并求出S的最大值.

第7頁共35頁

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊0A=2,0C=6,在0C上取點D將△/［（）【）沿AD翻折，使（）

點落在AB邊上的E點處，將一個足夠大的直角三角板的頂點P從D點出發(fā)沿線段DA-AB移動，且一直角

邊始終經(jīng)過點D,另一直角邊所在直線與直線DE,BC分別交于點M,N.

（1）填空：D點坐標是（,）,E點坐標是（,）；

（2）如圖1,當點P在線段DA上移動時，是否存在這樣的點使△CMN為等腰三角形？若存在，請求出

M點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2,當點P在線段AB上移動時，設P點坐標為（x,2）,記△DBN的面積為S,請直接寫出S與x

之間的函數(shù)關系式.

第8頁共35頁

9.如圖1,在平面直角坐標系中，已知△AOB是等邊三角形，點A的坐標是（0,4）,點B在第一象限，點

P是x軸上的一個動點，連接AP,并把△A0P繞著點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使邊A0與AB重合，得到AABD.

（1）求直線AB的解析式：

（2）當點P運動到點（的，0）時，求此時DP的長及點D的坐標；

（3）是否存在點P,使的面積等于返？若存在，請求出符合條件的點P的坐標：若不存在,請說明

4

理由.

第9頁共35頁

10.如圖，在直角梯形OABC中，AB〃OC,BC_Lx軸于點C,A(1,2),C(3,0).動點P從0點出發(fā)，沿x

軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動.過P點作PQ_L直線0A,垂足為Q.設P點移動的時間為t秒(0

VtW7),A0PQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.

(1)寫出點B的坐標：；

(2)當t=7時，求直線PQ的解析式，并判斷點B是否在直線PQ上;

第10頁共35頁

11.如圖，梯形OABC中，BC/7AO,ZBA0=90°,B（-3的，3）,直線0C的解析式為y=-?x,將AOBC

繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°后,0到Oi,B到B”得△0BC.

（1）求證：點U在x軸上；

（2）將點（）1運動到點M（-4V3-（）），求NBNC的度數(shù)；

（3）在（2）的條件下，將直線MC向下平移m個單位長度，設直線MC與線段AB交于點P,與線段0C的交

于點Q,四邊形OAPQ的面積為S,求S與m的函數(shù)關系式，并求出m的取值范圍.

第11頁共35頁

12.如圖a,矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線函數(shù)式為丫得工，AD

=8,矩形ABCD沿DB方向以每秒一個單位長度運動，同時點P從點A出發(fā)做勻速運動，沿矩形ABCD的邊

經(jīng)B到達終點C,用了14秒.

（1）求矩形ABCD周長；

（2）如圖b,當P到達B時，求點P坐標；

（3）當點P在運動時，過點P作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、F,

①如圖c,當P在BC上運動時，矩形PEOF的邊能否與矩形ABCD的邊對應成比例？若能，求出時間t的值，

若不能，說明理由；

②如圖d,當P在AB上運動時，矩形PEOF的面積能否等于256?若能，求出時間t的值，若不能，說明理

由；

Ox

圖b

第12頁共35頁

13.如圖，等腰RlZXABC中，ZACB=90°,在直角坐標系中如圖擺放，點A的坐標為（0,2〕，點B的坐

標為（6,0）.

（1）直接寫出線段AB的中點P的坐標為；

（2）求直線OC的解析式；

（3）動點機N分別從0點出發(fā)，點M沿射線0€以每秒加個單位長度的速度運動，點N沿線段0B以每秒

1個長度的速度向終點B運動，蘭N點運動到B點時，M、N同時停止運動，設△PMN的面積為S（SW0）運

動時間為t秒，求S與t的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量t的取值范圍.

第13頁共35頁

y=-2x+7

1.【解答】解：（1）解方程組：〈3得:

y=yx

??"點坐標是（2,3）；

（2）設P點坐標是（0,y）,

VA0AP是以OA為底邊的等腰三角形，

ACP=PA,

A22+（3-y）2=y2,

解得y=13，

6

???F點坐標是（0,」老），

故答案為（0,

(3)存在：

由直線y=-2x+7可知B(0,7),C(工，0),

,*eSAAOC=AX-CX3=—<6,S^x?=—X7X2=7>6,

2242

??<點有兩個位置：Q在線段AB上和AC的延長線上，設點Q的坐標是（x,y）,

當Q點在線段AB上：作QD_Ly軸于點D,如圖①，則QD=x,

???士oB?QD=l,BpAx7x=l,

22

?

??AY.-...2-9

把：《=_|代入y=-2X+7,得尸爭

??工的坐標是（2,至），

77

當Q點在AC的延長線上時，作QD_Lx軸丁點D,如圖②則QD=?y,

?c_cc—公21_3

??5A0CQ-OAQAQ-OAOiU：—O-----，

44

把y=-3代入y=-2x+7,解得x=2@,

第14頁共35頁

??人的坐標是（歿，

77

綜上所述：點Q是坐標是（2至）或（歿，-2）.

7777

圖②

圖①

2.【解答】解：（1）如圖1,???直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、B兩點,

AA(2,0),B(0,4),

ACA=2,0B=4.

.?.SIWB=10A*0B=-1X2X4=4,UPAAOB的面積是4；

22

(2)VADOC^AAOB,

.??CD=0A=2,

AC(0,2).

故設直線CD的解析式為y=kx+2(kNO).

VC(-4,0)

第15頁共35頁

則0=-4k+2,

解得，k=A,

2

，直線CD的解析式為y=』x+2.

2

乂?：點P是直線CI)與直線AB的交點,

y=-2x+4

??4]?

y至x+2

'4

x二

解陰”

X乙

y=T

???點p的坐標是(金—

55

（3）如圖2,設P（x,y）,

又1?點C的坐標為（-4,0）,

ACC=4,

?*SAC<X,=SA,M）6?

.-.locx|y|=4,Bp|y|=2,

2'

解得，y=±2,

?；F是直線AB上一點，

???點P的坐標為：（1,2）或（3,-2）.

3.【解答】解.：(1)令x=0,則y=2,令y=0,則x=?2,則點A、B的坐標分別為：(0,2)、(-1,0),

過點C作CH_Lx軸于點H,

第16頁共35頁

圖1

VZHCB+ZCBH=90°,ZCBH+ZAB0=90°,AZABO=ZBCH,

ZCHB=ZB0A=90°,BC=BA,AACHB^ABO/\(AAS),

/.EH=0A=2,CH=OB,則點C（?3,1）,

將點A、C的坐標代入一次函數(shù)表達式：y=mx+b得：Jb=2,解得：《嗝,

l=-3in+bb=2

故直線AC的表達式為；y=1x+2；

3

（2）同理可得直線CI）的表達式為：y=--lx-」?…①，則點E（0,-A）,

222

直線AD的表達式為：y=-3x+2…②，

聯(lián)立①②并解得：x=l,即點D（l,-1）,

點B、E、I）的坐標分別為（-1,0）、（0,-」?）、（1,-1）,

2

故點E是BD的中點，即BE=DE；

（3）將點BC的坐標代入一次函數(shù)表達式并解得：

直線BC的表達式為：y=?2x-L

22

將點P坐標代入直線BC的表達式得：1<=2，

4

直線AC的表達式為：y=2x+2,則點M(?6,0),

3

S△%=^4JBXyc=2X5X1=9,

222

151q

S^N=—S^M=—=—NBXk=—NB,

f2428

解得：NB=￥，

故點N(-生，0)或(工，0).

33

4.【解答】解：（1）UB=6,即2-2m=±6,

第17頁共35頁

解得：m=-2或4；

(2)y=mx+2-2m=m(x-2)+2,

當;《=2時，y=2,

故定點坐標為(2,2)；

(3)存在，理由：

OA=|2m~2.|,0B=|2-2m|.

m

SAa?B=—XOAXOB=Ax2-2m=8,

22m

解得：m=-1或3+2加或3-2M.

5.【解答】解：(1)y=--x+8,令x=0,則y=8,令y=(),則x=6,

3

故答案為：(6,0)、(0,8)；

（2）由題意得：點P（2t,8-4t）,

則：《=2t,y=8-4t,

故點P所在的直線表達式為：y=B-2x；

（3）①當點Q在AB下方時,

將y-3x與y-8-2x聯(lián)立并解得：x一旦，y-22,即點P（旦，2生）,

5555

△ABP的面積等于ABAQ面積時，點Q在過點P且平行于AB的直線上，

設過點P且平行于AB的直線表達式為：y=-Ax+b,

將點P的坐標代入上式得：絲=-《xg+b,解得：b=羋，

53515

故函數(shù)的表達式為：y=-^x+跳，

315

當x=0時，y=期，當y=0時，x=空，

155

即點Q（0,期）或（絲，0）.

當點Q在AB上方時，

同理可得：點Q的坐標為：（建，0）或（0,3）；

515

綜上點Q的坐標為：（0,—）或（空，0）或（避，0）或（0,莖2）.

第18頁共35頁

6.【解答】解：（1）不變，理由:

一次函數(shù)y=x+3的函數(shù)圖象與x軸，y軸分別交于點A,B,

則點A、B的坐標分別為(?3,0)、(0,3),

SAO?B=--OBXXp=—■X3X2=3；

22

ii、i、qg

(2)S叫邊形AKB=SAABO+SAM?=—XAOXB0+—AOX(-m)=—X(3-m)=-—m+—,

22222

__39._

SAU|)=S四邊形ATOB-SzM?p=-——m+--3=6?

22

解得：m=-3.

2

SACFC=ACF*FG=—t=—,

228

第19頁共35頁

解得t=e,t=?$（不符合題意，舍）;

22

（3）分兩種情況討論:

J

6

5

4

3

2

四邊形DCFE落在第一象限內(nèi)的圖形是

AS=-V,

2

2

vs=At,在t>o時，s隨t增大而增大，

2

.,.t=3時，S*4大=9；

2

四邊形DCFE落在第一象限內(nèi)的圖形是四邊形CHOF,

第20頁共35頁

S網(wǎng)邊形aKM：=S/\CGF-SAIIGO>

AS=-t2--2(2t-6)2

2

=--t2+12t-18

2

=(t-4)2+6,

2

Va=-3vO?

2

???s有最大值，

當t=4時，S最大=6,

綜上所述，當t=4時，S最大值為6.

8.【解答】解：(1)???將AAOD沿AD翻折，使0點落在AB邊上的E點處,

/.ZO/\D=ZEAD=45°,DE=OD,

???CA=OD,

VCA=2,

???CD=2,

??上點坐標是(2,0),DE=0D=2,

???E點坐標是(2,2),

故答案為：(2,0),(2,2)；

(2)存在點M使△CMN為等腰三角形，理由如下：

由翻折可知四邊形AODE為正方形，

過［作皿_LBC于H,

VZPDM=ZPMD=45°,則NNMH=/MNH=45°,

NH=MH=4,MN=4V2?

???直線0E的解析式為：y=x,依題意得MN〃OE,

???設MN的解析式為y=x+b,

而DE的解析式為x=2,BC的解析式為x=6,

AM(2,2+b),N(6,6+b),

CM="+(2+b)2,CN=6+b,MN=4&,

分三種情況討論:

第21頁共35頁

①當CM=CNH寸，

42+(2+b)2=(6+b)2,

解得：b=-2,此時M(2,0)；

②當CM=MN時，

42+(2+b)2=(472))

解得：bi=2,b>=-6(不合題意舍去)，

此時M(2,4)；

③當CN=MN時，

6+匕=4亞，

解得：b=4&-6,此時M(2,4V2-4);

綜上所述，存在點M使△CMN為等腰三角形，M點的坐標為:

(2.0).(2.4).(2,4加-4)：

(3)根據(jù)題意得：

當0WxW2時,

VZBPN+ZDPE=90°,

ZEPN+ZBNP=90°,

二/DPE=NBNP,

又NPED=NNBP=90°,

/.△DEP^APBN,

.PB=BN

**DEEP，

.6-xBN

22-x

.(2-x)(6-x)

-2，

2

一1?-(-2---x--)-(-6---x--)-?4

整理得：S=X2-8X+12；

當2VxW6時,

VAPBN^ADEP,

第22頁共35頁

?PB=DE

**NBPE*

?L22

NB6-x

.(x-2)(6-x)

2

=1,(x-2)(6-x)x4>

22

整理得：S=-X2+8X-12；

S=X2-8X+12(0<X<2)

則S與x之間的函數(shù)關系式:

S=-X2+8X-12(2<X<6)

①當0WxW2時，S=X2-8X+12=(x-4)2-4,

當:《W4時，S隨x的增大而減小，即0WxW2,

②當2VxW6時，S=-X2+8X-12=-(x-4)2+4,

當:《24時，S隨x的增大而減小，即4WxW6,

綜上所述：S隨x增大而減小時，0WxW2或4Wx《6.

9.【解答】解：(1)如圖1,過點B作BE_Ly軸于點E,作BF_Lx軸于點F.由已知得:

BF=0E=2,OF=dd2_22=2的，

???點B的坐標是(2加，2)

第23頁共35頁

4=b

設直線AB的解析式是y=kx+b(kWO),則有

2=2yk+b'

k=￥.

解得

b=4

???直線AB的解析式是y=-^?x+4；

3

(2)如圖2,二?△ABD由AAOP旋轉(zhuǎn)得到,

/.△ABD^AAOP,

???AP=AD,ZDAB=ZPAO,

/.ZDAP=ZBA0=60°,

/.△ADP是等邊三角形,

???DP=AP="r《喬=?.

如圖2,過點D作DH_Lx軸于點H,延長EB交DH于點G,則BG_LDH.

方法(一)

在RlZXBDG中，ZBGD=90°,ZDBG=60°.

???EG=BD?cos60°=V3X—=—.

V22

DG=BD*sin60°=/x返=3.

22

???CH=EG=,DH=—

2

,I)

/.點D的坐標為

2

方法(二)

易得/AEB=NBGD=90°,ZABE=ZBDG,

/.△ABE^ABDG,

ABG_=DG_=BD而AE=2,BD=OP=J^,BE=2/，AB=4,

AEBEAB

則有弛解得

BG=Y?,DG=—；

22V3422

???CH=,DH=Z；

2

點D的坐標為

第24頁共35頁

（3）假設存在點P,在它的運動過程中，使AOPD的面枳等于返.

4

設點P為（30）,下面分三種情況討論：

①當t>0時，如圖，BD=OP=t,DG=?t,

2

ACH=2+2^t.

2

???△OPD的面積等于返.

4

解得xi與返，（舍去）

1323

???點3的坐標為（返11?亞.，0）.

3

②;當D在x釉上方時，根據(jù)勾股定理求出BD=3^=OP,

3

..當時，如圖，BD=OP=-t,DG=-返t,

32

AGH=BF=2-（-返t）=2+遮t.

22

「△OPD的面積等于返，

4

??W/

解得ti二考，t2“時，

???點P2的坐標為（斗，（）），點Pa的坐標為（-加，0）.

③當tW-孰巧時,如圖3,BD=OP=-t,DG=-返t,

32

??』H=-返t-2.

2

???△OPD的面積等于返，

4

.\-L（-t）[-（2+退t）]=亞,

224

解得t■:叵（舍去），弋廣一亞二26

13%3

???點八的坐標為（乜宜工返，0）,

3

綜上所述，點P的坐標分別為巴（逝二2亟,0）、P2（二巨，0）、p3（-加,0）、P,（22^二2堂,（））.

333

第25頁共35頁

圖1

10.【解答】解：(1)VA(1,2),C(3,0),AB〃OC,BC_Lx軸于點C,

???點B的坐標為：(3,2)；

故答案為：(3,2).

(2)???設直線OA的坐標為:y=kx,

VA(1,2)，

.*.k=2,

即直線0A的解析式為：y=2x,

?；FQJ_直線0A,

???設直線PQ的解析式為：y=-工x+b,

2

???當t=7時，點P的坐標為(7,0),

第26頁共35頁

...?_lx7+b=0,

2

解得：b=工，

2

，直線PQ的解析式為：y=-2x+工

22

當:《=3時，y=2,

???點B在直線PQ上；

(3)???直線OA的解析式為:y=2x,

AtanZPOQ=2,B|JsinZP0Q=-^.,cosZPOQ=2/l

55

/.tanZOPQ=-,

2

VCP=t,

,-.CQ=^t,PQ=3^t,

55

當t=3時，點P與點C重合,

當Q與A重合時，即OQ=OA=d]2+22=^"^,

唔=道，

解得：t=5；

當0VtW3,S=S&的=2OQ?PQ=2X逅

t_1產(chǎn).

；

2255~~5

當3VtW5,如圖2,

VFC=t-3,

???CD=PC?tanNOPQ=2PC=>^,

22

29

S=S-SAK[>=—t-—(t-3)

AIW522=4

???當3VtW5,$二239

s20

當5VtW7,如圖3,

?.?CD=-^,

2

/.ED=2

22

???AB〃x軸,

第27頁共35頁

.\ZBEI)=ZOPQ,

.*.tanZBED=—,

2

.*.BE=2BI)=7-t,

???S=S梯形。ABC-S△g=2X(2+3)X2--X(7-t)x2ll=

2224124

???當5VtW7,=-A2-^t-：

s41t214

(4)存在.

理由：VSAAC=—AB-BC=—X2X2=2,

B22

???若使得PQ分△使C的面積為1：3,

當3VtW5時,SAD￡F=—SA,\BC=—>

42

設AC交PQ于點E,過點E作EF/DF,

AACEF^ACAB,AEDF^APDC,

AEF：AB=CF：CB,EF：CP=DF：CD,

VAB=BC,CP=2CD,

.?.EF=CF,EF=2DF,

.\CF=2DF,

ACF=CD=-i-^

2

??.EF=2DF=t-3,

.?._Lx(t-3)X上父?=2,

222

解得：t=3+加：

當5VtW7時，ABE5^=—,

S?=—42

即Lx(7-1)x2zl=A,

222

解得：1=7-

綜上可得：歷或12=7飛行?

第28頁共35頁

11.【解答】（1）證明：如圖hVBC/7A0,B（-3的，3）,

，點C的縱坐標是3,

又1?直線0C的解析式為y=-代x,

A3=-

解得，x=-近，則C（-M，3）

:.tanZC0A=V3?

AZC0A=60°.

???根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，NOCO[=60°,C（）=CO.

???△COOi為等邊三角形，

r.zcoo>=6o°

.,.ZC0A=ZC00.

???點a在x軸上.

(2)解：如圖2,???/C00i=60。，BC/7A0,

.\ZBCO=120°,

.\EIC0I=120°.

VZ0,C0=60°,

.??NB￡0=180°,

???Ei、C、0三點共線.

第29頁共35頁

VC（-M，3）,

??.C0=C0i=0Q=2的，

VM0=4V3?

/?MOi—OiO=OiC,

可證得NMC0=90°

???EC=CO=2加，BC=B,C,

??.E￡=CO,

???NBNC=2NBM0=30°；

2

(3)解：如圖3,設MC與AB邊交于點D,過點C作CE〃AB交PQ于點E,過點Q作QN_L()A于點N.

VAD=1,PD=m,

AAP=1-m.

在ACEQ中，CE=m,ZECQ=30°

.?.CQ=?i,

2

/.CQ=2V3-—m

2

?仆=3-瓜m,0N=V3-—m

44

AAN=2然與

4

又I'S四邊形OAPQ=S梯形PMN+SaQNO

???$=_1+_!（V3-—m）（3-遮m）

2244

第30頁共35頁

B點在y=-,x上,

4

???y=3x8=6,

4

B點坐標為(8,6),

AB=6,

，矩形的周長=2(AD+AB)=2(3+6)=28；

(2)當P到達B時,VAB=6,

，共運動6秒，

???CD=6,

設點D的橫坐標是a,

則縱坐標是3a,

4

Aa2+(g)2=6?,

4

解得a=空，

5

,3V2418

455

幺+8=四，理+6=型，

5555

???點P的坐標是P