山西省太原市某校2024-2025學年高一下學期開學考試數(shù)學試題（原卷版+解析版）

2024-2025學年第二學期高一年級開學考試（數(shù)學）測試時長：120分總分：150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）.A. B.C D.2.（）A. B. C. D.3.已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則（）A.1 B.2 C.3 D.44.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.在數(shù)學學習和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.5.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，，則扇環(huán)的面積為（）A128 B. C. D.1926.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若（為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.7.已知，，則（）A. B. C. D.8.若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則（）A.5 B.4 C.3 D.2二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.該圖象向左平移個單位長度可得圖象C.該圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來倍可得圖象D.函數(shù)在上單調(diào)遞減11.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時，則()A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面1米C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P水面下方，距離水面2米D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸沒有公共點，則＝______13.函數(shù)的減區(qū)間是______.14.若，，且，則的最小值為____.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.計算下列各式的值：（1）；（2）.16.已知關(guān)于的不等式的解集為或（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式17.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)圖象的對稱中心；（3）求函數(shù)在區(qū)間上最大值和最小值.19.著名的“懸鏈線拱橋問題”與數(shù)學中的雙曲函數(shù)相關(guān).函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).已知函數(shù).（1）對任意實數(shù)是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；（2）求不等式的解集；（3）當時，求的最大值.

2024-2025學年第二學期高一年級開學考試（數(shù)學）測試時長：120分總分：150分一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)并集的運算求解.【詳解】∵，，∴.故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)值即可得解.【詳解】.故選：D.3.已知函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)零點存在性定理即可判斷出零點所在的區(qū)間.【詳解】因為，，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，所以.故選：C.4.我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”.在數(shù)學的學習和研究過程中，常用函數(shù)圖像來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)解析式來分析函數(shù)的圖像特征，函數(shù)在的圖像大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的解析式，可得函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項，在上函數(shù)值大于0，排除D選項，再由接近8，排除A，只有B的圖象接近函數(shù)的圖象.【詳解】解：設(shè)函數(shù)在上，定義域關(guān)于原點對稱，又因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除C選項，當時，，排除D選項，當時，，所以A不正確，B正確.故選：B.5.中國歷代書畫家喜歡在紙扇的扇面上題字繪畫，某扇面為如圖所示的扇環(huán)，記的長為，的長為，若，，則扇環(huán)的面積為（）A.128 B. C. D.192【答案】D【解析】【分析】由題意可求，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，，的弧度數(shù)為，利用扇形的弧長公式可得，解得，利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】因為的長為，的長為，，，則，如圖，設(shè)扇環(huán)所在圓的圓心為，，的弧度數(shù)為，則，解得，則扇環(huán)的面積.故選：D.6.已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若（為自然對數(shù)的底數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)單調(diào)性，只需比較對數(shù)、分數(shù)指數(shù)冪的大小即可得解.【詳解】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，因為所以，即.故選：C.7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角差的正弦公式同角關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于，的方程組，解方程求，，再結(jié)合兩角和正弦公式求結(jié)論.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以，，所以.故選：D.8.若定義在上的函數(shù)滿足，是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】先由題設(shè)推出函數(shù)的周期性和圖象的對稱性，再利用這些性質(zhì)推出，根據(jù)和，利用周期性即可求得結(jié)果.【詳解】因?qū)τ?，，則，故函數(shù)為周期函數(shù)，4是函數(shù)的一個周期，又是上的奇函數(shù)，則，故的圖象關(guān)于點對稱，于是，，在，取，得，因，則，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值，賦變量，轉(zhuǎn)化抽象關(guān)系式，判斷和利用函數(shù)的周期性和對稱性解題.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】CD【解析】【分析】利用作差法計算可得A錯誤，C正確，取特殊值可得B錯誤，由不等式性質(zhì)計算可判斷D正確.【詳解】對于A，由可得，所以，即，即A錯誤；對于B，不妨取，，此時，即B錯誤；對于C，由可得，所以，即，因此C正確；對于D，由可得，又，所以，即D正確.故選：CD10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱B.該圖象向左平移個單位長度可得圖象C.該圖象的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標縮短到原來倍可得圖象D.函數(shù)上單調(diào)遞減【答案】ABC【解析】【分析】由圖可知，由得，將點代入求得，從而得，驗證是否為0可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得變換后的函數(shù)解析式可判斷B、C；利用三角函數(shù)的圖象及其單調(diào)性可判斷D.【詳解】由圖可知，由得，，將點的坐標代入中，可得，則，因為，所以，得，對于A，將代入，得到，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對于B，圖象向左平移個單位，則，故B正確；對于C，對于，如果橫坐標伸長到原來的2倍，則；同時縱坐標縮短到原來的倍，得，故C正確；D.由于，則，而在不單調(diào)故函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：ABC.11.如圖所示，一半徑為4米的水輪，水輪圓心O距離水面2米，已知水輪每60秒逆時針轉(zhuǎn)動一圈，如果當水輪上點P從水中浮現(xiàn)時(圖中點P0)開始計時，則()A.點P第一次到達最高點需要20秒B.當水輪轉(zhuǎn)動155秒時，點P距離水面1米C.當水輪轉(zhuǎn)動50秒時，點P在水面下方，距離水面2米D.點P距離水面的高度h(米)與t(秒)的函數(shù)解析式為【答案】ACD【解析】【分析】由題意設(shè)出函數(shù)解析式，由最大值與最小值列式求得與的值，由周期求得，再由時，求解，得到函數(shù)解析式判斷D；令求解判斷A；取秒求得判斷B；取秒求得判斷C．【詳解】設(shè)點距離水面的高度為（米和（秒的函數(shù)解析式為，，，由題意，，，，解得，，，則．當時，，，則，又，則．綜上，，故D正確；令，則，若，得秒，故A正確；當秒時，米，故B不正確；當秒時，，故C正確．故選：ACD．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知冪函數(shù)的圖象與坐標軸沒有公共點，則＝______【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)解析式，再求函數(shù)值.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，解得或1，又的圖象與坐標軸無公共點，故，故，所以．故答案：13.函數(shù)的減區(qū)間是______.【答案】【解析】【分析】先求出的定義域，令，分別求出，在定義域上的單調(diào)性，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，即或，設(shè)，則當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減．∵函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，∴根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)的遞減區(qū)間為.故答案為:.14.若，，且，則的最小值為____.【答案】【解析】【分析】首先化簡得，再利用乘“1”法即可得到最小值.【詳解】，即，，則，當且僅當，結(jié)合，即時等號成立，則的最小值為.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.計算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)計算即可.（2）根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】.16.已知關(guān)于的不等式的解集為或（1）求的值；（2）解關(guān)于的不等式【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由題中條件，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系列出方程，解出即可；（2）先化簡不等式，因式分解后，討論的范圍得到解集.【小問1詳解】根據(jù)題意，得方程的兩個根為1和，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解之得【小問2詳解】由（1）得關(guān)于的不等式，即，因式分解得．①當時，原不等式的解集為；②當時，原不等式的解集為；③當時，原不等式的解集為；17.已知.（1）若，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡，然后結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式即可得到結(jié)果.（2）由，且，得出，代入即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，，，.【小問2詳解】，

，，，，.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)圖象的對稱中心；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角恒等變換化簡函數(shù)，再求出周期即得.（2）利用余弦函數(shù)圖象的對稱性求出對稱中心.（3）利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出在指定區(qū)間上的最值.【小問1詳解】函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期.【小問2詳解】由，解得，所以函數(shù)圖象的對稱中心是.【小問3詳解】當時，，則當，即時，；當，即時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為.19.著名的“懸鏈線拱橋問題”與數(shù)學中的雙曲函數(shù)相關(guān).函數(shù)叫做雙曲正弦函數(shù)，函數(shù)叫做雙曲余弦函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).已知函數(shù).（1）對任意實數(shù)是否為定值？若是，請求出該定值，若不是，請說明理由；（2）求不等式解集；（3）當時，求的最大值.【答案】（1）是，定值1（2）（3）【解析】【分析】（1）將兩函數(shù)式代入計算即得；（2）利用函數(shù)的奇偶性