專題17 以求和為主導的數列綜合【一題一專題 技巧全突破】熱點題型專項突破（原卷版）

以求和為主導的數列綜合高考定位數列是高中數學的重要內容,又是高中數學與高等數學的重要銜接點,其涉及的基礎知識、數學思想與方法,在高等數學的學習中起著重要作用,因而成為歷年高考久考不衰的熱點題型,在歷年的高考中都占有重要地位.數列求和的常用方法是我們在高中數學學習中必須掌握的基本方法，是高考的必考熱點之一.此類問題中除了利用等差數列和等比數列求和公式外，大部分數列的求和都需要一定的技巧.下面，就近幾年高考數學中的幾個例子來談談數列求和的基本方法和技巧.專題解析（1）能夠通過通項或遞推公式辨析求和方法（2）分組求和、錯位相減法，學生錯因在運算能力（3）裂項、并項兼具運算與思想方法、模型多樣（4）探索發(fā)現項與和的新規(guī)律，辨析求和方法（5）通項與和之間的相互轉換數列數列求通項求和公式法疊加法疊乘法構造法分組法裂項法錯位法并項法專項突破基礎類型一、錯位相減例1．已知數列中，，.（1）求證：數列是等比數列；（2）數列滿足的，數列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.練.（2020·山東省高考真題）已知公比大于的等比數列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數，求數列的前項和．基礎類型二、分組求和法例2．記數列的前項和為，若，，則（）A． B．C． D．練．已知數列滿足，，（），則數列的前2017項的和為（）A． B．C． D．練．已知數列滿足，且，則該數列的前9項之和為（）A．32 B．43 C．34 D．35提高類型三、列項相消求和法例3-1．在數列中，，且，則數列的前項和為__________.練．已知數列的前項和為，且，，則數列的前2020項的和為（）A． B． C． D．練．設數列滿足，若，且數列的前項和為，則（）A． B． C． D．例3-2．已知正項數列的前項和為，且，.數列滿足，.（1）求數列的通項公式；（2）證明：.練．數列滿足，，數列的前項和為，則（）A． B．C． D．例3-3．已知數列的前項和為，，數列滿足，．（1）求數列、的通項公式；（2）若數列滿足，求證：．練．已知數列的各項均為正數，，，，數列的前項和為，若對任意正整數都成立，則的取值范圍是___________.例3-4．設正項數列的前項和為，滿足.（1）求數列的通項公式；（2）令，若數列的前項和為，證明：.練．已知是等差數列的前項和，若，設，則數列的前項和取最大值時的值為______________例3-5．已知正項數列滿足，，則數列的前項和為___________．練．已知等比數列的各項均為正數，，，成等差數列，且滿足，數列的前項之積為，且．（1）求數列和的通項公式；（2）設，若數列的前項和，證明：．練．已知數列的前項和為.若，且（1）求；（2）設，記數列的前項和為.證明：.例3-6．已知數列的通項公式，設其前項和為，則使成立的最小的自然為__________.練．已知數列是正項等差數列，，且.數列滿足，數列前項和記為，且.（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，其前項和記為，試比較與的大小.例3-7．正項數列的前n項和為，且，設，則數列的前2020項的和為（）A． B． C． D．練．已知數列滿足，其前項和，數列滿足，其前項和為，若對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．類型四、并項求和法例4．已知數列滿足，則的前20項和________．練．設數列滿足，，，則數列的前5