向量的減法運算學案答案

6．2.2向量的減法運算學案學習目標1．借助實例和平面向量的幾何表示，理解相反向量的含義、向量減法的意義．2.掌握向量減法的幾何意義．3.能熟練地進行向量的加、減綜合運算．情境導入如圖所示，向量eq\o(AD,\s\up6(→))是向量eq\o(AB,\s\up6(→))與向量x的和．你能作出向量x嗎？新知探究知識點一向量的減法運算問題引導1.在數的運算中，減法是加法的逆運算，它的運算法則是什么？提示：減去一個數等于加上這個數的相反數．知識點總結1．相反向量與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作－a.2．向量的減法向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量，求兩個向量差的運算叫做向量的減法．典例探究例1(多選)若非零向量m與n是相反向量，則下列正確的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．m與n方向相反解析：BCD相反向量的大小相等、方向相反，故A錯誤，B、C、D正確．變式訓練1．(2024·簡陽市校級開學)在平行四邊形ABCD中，化簡eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝________．解析：∵在平行四邊形ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))與eq\o(BA,\s\up6(→))是一對相反向量，∴eq\o(DC,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故答案為eq\o(BC,\s\up6(→)).答案：eq\o(BC,\s\up6(→))知識點二向量減法的幾何意義問題引導2.如何進行向量的減法運算？提示：轉化為向量的加法來進行，減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量．知識點總結向量減法的幾何意義作法一：已知非零向量a，b，在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，如圖所示．即a－b可以表示為從向量eq\o(□,\s\up1(1))b的終點指向向量eq\o(□,\s\up1(2))a的終點的向量．作法二：(相反向量法)在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OD,\s\up6(→))＝－b，連接AB．由向量減法的定義知a－b＝a＋(－b)＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).在四邊形OCAB中，OB綉CA，所以四邊形OCAB是平行四邊形，所以eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－b.典例探究例2(鏈接教材P12例3)如圖所示，已知正方形ABCD的邊長等于1，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，求作下列向量：(1)a－b＋c，并求|a－b＋c|；(2)a－b－c，并求|a－b－c|.解：(1)如圖所示，依題知eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，作eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(DF,\s\up6(→))，故eq\o(DF,\s\up6(→))＝a－b＋c，且由平面幾何知識知，|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|a|＝2，即|a－b＋c|＝2.(2)∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，過D作eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DE,\s\up6(→))＝a－b－c，且由平面幾何知識知，|eq\o(EB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝2|b|＝2，∴|a－b－c|＝2.變式訓練2．如圖所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：如圖所示，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up6(→))和eq\o(AC,\s\up6(→))，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up6(→))＝a－b，再以C為起點作向量eq\o(CD,\s\up6(→))，使eq\o(CD,\s\up6(→))＝c.連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up6(→))，則向量eq\o(DB,\s\up6(→))即為所求作的向量a－b－c.思維提升向量加減的混合運算例3(1)已知正六邊形ABCDEF，則eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(FD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AE,\s\up6(→))C．eq\o(BE,\s\up6(→)) D．eq\o(AC,\s\up6(→))解析：B如圖所示，由正六邊形的特征可知eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(FD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(FD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).(2)(多選)下列結果為零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))B．eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))C．eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))D．eq\o(NO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))解析：BCD對于A，eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))≠0，故選項A不正確；對于B，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，故選項B正確；對于C，eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，故選項C正確；對于D，eq\o(NO,\s\up6(→))＋eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))＋eq\o(MN,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(MP,\s\up6(→))＝0，故選項D正確．變式訓練3．化簡下列各式：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))．解：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(MC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋(eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋0eq\a\vs4\al(＝)eq\o(AD,\s\up6(→)).思維提升向量和與差的模例4(1)若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝5，則|a－b|的最大值為________；(2)若向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|＝2eq\r(2)，|a|＝eq\r(3)，則|b|＝________．解析：(1)|a－b|≤|a|＋|b|＝2＋5＝7，故|a－b|的最大值是7.(2)如圖所示，在平面內任取一點A，作eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝a－b.又因為|a＋b|＝|a－b|，所以四邊形ABCD為矩形，即△ABD是直角三角形．在Rt△ABD中，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|a－b|＝2eq\r(2)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|a|＝eq\r(3)，所以|b|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（2\r(2)）2－（\r(3)）2)＝eq\r(5).答案：(1)7(2)eq\r(5)變式訓練4．已知非零向量a，b滿足|a|＝eq\r(7)＋1，|b|＝eq\r(7)－1，且|a－b|＝4，則|a＋b|＝________．解析：如圖所示，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|a－b|.以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|.由于(eq\r(7)＋1)2＋(eq\r(7)－1)2＝42，故|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(OB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|2，所以△OAB是直角三角形，∠AOB＝90°，從而OA⊥OB，所以平行四邊形OACB是矩形．根據矩形的對角線相等，得|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝4，即|a＋b|＝4.答案：4

課堂小結1.知識網絡2．方法歸納：數形結合．3．易錯提醒忽視只有向量共起點時才可用減法法則．

課堂練習1．下列關于空間向量的說法中正確的是()A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))D．相等向量其方向必相同解析：D方向相反且大小相等的兩個向量是相反向量，故選項A錯誤；空間中任意兩個單位向量的模必相等，但方向不一定相同，故選項B錯誤；向量不能比較大小，故選項C錯誤；相等向量其方向必相同，故選項D正確；故選D．2．如圖所示，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(BF,\s\up6(→))C．eq\o(EC,\s\up6(→)) D．eq\o(BE,\s\up6(→))解析：C在正六邊形ABCDEF中，則eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\