第05講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用（春季講義）（人教A版2019選擇性）（原卷版）

第05講導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用【人教A版2019】模塊一模塊一導(dǎo)數(shù)中函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題1．導(dǎo)數(shù)中的函數(shù)零點(diǎn)（方程根）問題利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）主要有兩種方法：(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f(x)的最值，轉(zhuǎn)化為f(x)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，主要是應(yīng)用分類討論思想解決.(2)分離參變量，即由f(x)=0分離參變量，得a=g(x)，研究y=a與y=g(x)圖象的交點(diǎn)問題.2．與函數(shù)零點(diǎn)（方程根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題的解題策略與函數(shù)零點(diǎn)（方程根）有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)判斷函數(shù)的大致圖象，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.也可分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況.【題型1函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題】【例1.1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）函數(shù)fx=xeA．0 B．1 C．2 D．3【例1.2】（2425高三上·四川·期中）已知實(shí)數(shù)a滿足2a+a=2，則函數(shù)fxA．0 B．1 C．2 D．3【變式1.1】（2425高三下·浙江寧波·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+4x,x≤0A．3 B．4 C．5 D．6【變式1.2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知符號(hào)函數(shù)sgn(x)=1,x>00,x=0A．0 B．1 C．2 D．3【題型2函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的參數(shù)范圍問題】【例2.1】（2425高三上·安徽淮南·階段練習(xí)）已知fx=e2x+A．?2e B．?3 C．?e 【例2.2】（2425高三上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=?x3+x2,x≤0A．1e,+∞C．0,1e 【變式2.1】（2425高三上·四川德陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若a=e，求函數(shù)f(2)若函數(shù)fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，（?。┣髮?shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：1x【變式2.2】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)fx(2)若gx=ax2?1lnx?(x?1)2（ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（ⅱ）求證：3a?1x模塊二模塊二導(dǎo)數(shù)中的不等式問題1．導(dǎo)數(shù)中的不等式證明(1)一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點(diǎn)處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可.(2)在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的最值問題，可考慮轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題．2．導(dǎo)數(shù)中的恒（能）成立問題解決不等式恒（能）成立問題有兩種思路：(1)分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題，根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，即可解決問題．(2)分類討論法解決恒（能）成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，據(jù)此進(jìn)行求解即可.【題型3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式】【例3.1】（2425高二上·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)fx(1)求fx(2)證明：當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，【例3.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)fx(1)當(dāng)a=e時(shí)，證明：f(2)當(dāng)a>0時(shí)，證明：fx【變式3.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=1?(1)當(dāng)b=0時(shí)，討論fx(2)證明：當(dāng)0<b<e2時(shí)，【變式3.2】（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若fx1=f【題型4利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題】【例4.1】（2425高三上·江西宜春·階段練習(xí)）已知x1,x2是函數(shù)fx=1A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．2,+∞【例4.2】（2425高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知當(dāng)xlnx≥1時(shí)，exlnxA．0,e2 C．e,+∞ 【變式4.1】（2425高三上·天津·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+aln1A．0,1 B．1,+∞ C．1,+∞ 【變式4.2】（2425高三上·山東泰安·階段練習(xí)）函數(shù)?x=e2x?1ex+2A．(?2,+∞) B．(?∞,2) C．【題型5利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問題】【例5.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)fx=lnx?mx+1，若存在x∈0,+∞，使A．?∞,1 B．?∞,2 C．【例5.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）若?x∈0,+∞，使得不等式lnx?2ax+1≥0成立，則實(shí)數(shù)aA．12，+∞ B．1，+∞ 【變式5.1】（2425高三上·吉林長春·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xe?x，gx=12xA．2e2+C．12?1【變式5.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2?2ex+a，gx=lnxA．2e?1,+∞C．e2,+∞模塊模塊三導(dǎo)數(shù)中的其他問題1．導(dǎo)數(shù)中的雙變量問題破解雙參數(shù)不等式的方法：一是轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參數(shù)滿足的關(guān)系式，并把含雙參數(shù)的不等式轉(zhuǎn)化為含單參數(shù)的不等式；二是巧構(gòu)函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．2．極值點(diǎn)偏移的相關(guān)概念所謂極值點(diǎn)偏移，是指對(duì)于單極值函數(shù)，由于函數(shù)極值點(diǎn)左右的增減速度不同，使得函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性．極值點(diǎn)偏移的定義：對(duì)于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，方程的解分別為，且.(1)若，則稱函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)偏移；(2)若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)左偏，簡稱極值點(diǎn)左偏；(3)若，則函數(shù)在區(qū)間上極值點(diǎn)右偏，簡稱極值點(diǎn)右偏．【題型6雙變量問題】【例6.1】（2324高二下·福建福州·期中）已知函數(shù)fx=x?2ex，若fx1A．x1>12 B．x2<【例6.2】（2425高三上·山東·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=e2x,g(x)=x?1，對(duì)任意x1∈R，存在x2∈(0,+A．1 B．2C．2+ln2 【變式6.1】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)設(shè)x1,x2x【變式6.2】（2425高三上·四川綿陽·階段練習(xí)）已知fx(1)當(dāng)a=3時(shí)，求fx(2)若fx有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，（i）求a的取值范圍；（ii）證明：fx【題型7導(dǎo)數(shù)中的極值點(diǎn)偏移問題】【例7.1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)y=f′x(2)設(shè)x1,x2是函數(shù)【例7.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若函數(shù)gx=fx?ax2+a【變式7.1】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+aex(1)求a的值，并討論函數(shù)fx(2)若fx1=fx2【變式7.2】（2425高三上·上海黃浦·期末）函數(shù)y=fx的定義域?yàn)镈，在D上僅有一個(gè)極值點(diǎn)x0，方程fx=0在D上僅有兩解，分別為x1、x2，且x1<x0<x2(1)設(shè)fx=x2?1，D=(2)設(shè)m>0且m≠1，fx=x3?mx2(3)設(shè)a∈R，fx=lnx?ax，D=0,+∞【題型8導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例8.1】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）把一個(gè)周長為6的長方形鐵皮圍成一個(gè)無蓋無底的圓柱，當(dāng)圓柱的體積最大時(shí)，該圓柱的底面半徑和高的比值為（

）A．2 B．1π C．1 D．【例8.2】（2024高三·全國·專題練習(xí)）小李準(zhǔn)備向銀行貸款x(0<x≤10)萬元全部用于某產(chǎn)品的加工與銷售，據(jù)測(cè)算每年利潤y（單位：萬元）與貸款x滿足關(guān)系式y(tǒng)=lnx?x?12A．3萬元 B．4萬元 C．5萬元 D．6萬元【變式8.1】（2324高二下·重慶沙坪壩·期中）不期而至的新冠肺炎疫情，牽動(dòng)了億萬國人的心，全國各地紛紛捐贈(zèng)物資馳援武漢有一批捐贈(zèng)物資需要通過輪船沿長江運(yùn)送至武漢，已知該運(yùn)送物資的輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為10海里每小時(shí)時(shí)，燃料費(fèi)是6元每小時(shí)，而其他與速度無關(guān)的費(fèi)用是96元每小時(shí)，問當(dāng)輪船的速度是多少時(shí)，航行1海里所需的費(fèi)用總和最?。浚?/p>

）A．15 B．20 C．25 D．30【變式8.2】（2024高二下·全國·專題練習(xí)）某工廠需要建一個(gè)面積為512m2的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁，則要使砌墻所用材料最省，則堆料場(chǎng)的長和寬各為（A．16m，16m B．32m，16mC．32m，8m D．16m，8m【題型9導(dǎo)數(shù)中的新定義問題】【例9.1】（2324高二下·江蘇常州·期中）設(shè)f(x)定義在R上，若對(duì)任意實(shí)數(shù)t，存在實(shí)數(shù)x1,x2，使得fx1?fx2A．f(x)=x3?3x B．f(x)=ex?1 【例9.2】（2425高三上·河北石家莊·期中）定理：如果函數(shù)fx及gx滿足：①圖象在閉區(qū)間a,?b上連續(xù)不斷；②在開區(qū)間a,?b內(nèi)可導(dǎo)；③對(duì)?x∈a,?b,?g′x≠0，那么在a,?bA．?32e4C．?4e4【變式9.1】（2425高三上·山東臨沂·階段練習(xí)）若存在一個(gè)數(shù)m，使得函數(shù)fx定義域內(nèi)的任意x，都有fx≥m，則稱fx有下界，(1)求函數(shù)fx=xln(2)判斷fx=e(3)若函數(shù)fx=xex?x2?3xx>0，m【變式9.2】（2425高三上·上海嘉定·期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)數(shù)為y′=f′x，若對(duì)任意的x∈(1)請(qǐng)說明fx(2)若函數(shù)y=f(x)為“導(dǎo)可控函數(shù)”，且存在正數(shù)M，使|f(x)|≤M在x∈R上恒成立，試判斷函數(shù)y=f(x)?x(3)若函數(shù)y=f(x)為“導(dǎo)可控函數(shù)”，且存在a、b(a<b)，使得f(a)=f(b)，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1、x2∈[a,b]一、單選題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x+2exA．?1e3,0 B．?1e2．（2324高二下·北京延慶·期末）現(xiàn)有一塊邊長為2米的正方形鐵板，如果從鐵板的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長相等的小正方形，然后做成一個(gè)長方體形的無蓋容器，為了使容器的容積最大，則截去的小正方形邊長應(yīng)為（

）A．16米 B．14米 C．13米 3．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）若關(guān)于x的不等式ex?x?a>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（A．e,+∞ B．?∞,1 C．4．（2324高二下·江西萍鄉(xiāng)·期中）對(duì)于三次函數(shù)fx=ax3+bx2+cx+da≠0，給出定義：f′x是y=fx的導(dǎo)函數(shù)，f″x是f′A．2022 B．2023 C．2024 D．20255．（2324高一上·北京·期末）已知函數(shù)f(x)=x+1x,g(x)=ax?1(a>0)，若?x1∈[12,2],?xA．(0,4] B．(0,74] C．[6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+x3+a，若方程fA．1 B．239 C．527．（2425高二下·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex+ax有兩個(gè)零點(diǎn)xA．a(chǎn)<?e B．C．x1x2>18．（2425高三上·廣東東莞·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=xlnx,x>0,A．若a<?1e，則B．若gx恰有2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是C．若gx恰有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是D．若1≤a<2，則gx二、多選題9．（2425高二·全國·課后作業(yè)）已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)1000件需另投入2.7萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為Rx萬元，且RA．年產(chǎn)量為9000件 B．年產(chǎn)量為10000件C．年利潤最大值為38萬元 D．年利潤最大值為38.6萬元10．（2425高三上·河南·階段練習(xí)）已知對(duì)任意x>0，不等式ex?ax3+2aA．1 B．e2 C．e D．11．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=x?aA．當(dāng)a=?1時(shí)，fx的圖象關(guān)于點(diǎn)0,?2B．當(dāng)a=0時(shí)，方程fx+sinC．當(dāng)a≥2時(shí)，a是fxD．存在實(shí)數(shù)a，fx三、填空題12．（2425高三上·江蘇淮安·階段練習(xí)）函數(shù)f(x)=2x3?3a.13．（2425高二上·江西宜春·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=ex?e?x?2sinx+2，若關(guān)于x的不等式14．（2425高三上·廣東深圳·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x3+x2?x+1,x<0,x四、解答題15．（2425高三上·北京·階段練習(xí)）現(xiàn)有一張長為40cm，寬為30cm的長方形鐵皮ABCD，準(zhǔn)備用它做成一只無蓋長方體鐵皮盒，要求材料利用率為100%，不考慮焊接處損失.如圖，在長方形ABCD的一個(gè)角剪下一塊正方形鐵皮，作為鐵皮盒的底面，用余下材料剪拼后作為鐵皮盒的側(cè)面，設(shè)長方體的底面邊長為xcm，高為ycm，體積為(1)求出x與y的關(guān)系式；(2)求該鐵皮盒體積V的最大值.16．（2425高三上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=axlnx，曲線y=fx(1