第十章概率講核心02

講核心1、基本事件個數(shù)的確定方法（1）列舉法：此法適合于基本事件個數(shù)較少的古典概型；（2）列表法：此法適合于從多個元素中選定兩個元素的試驗，也可看成坐標法；（3）樹狀圖法：樹狀圖是進行列舉的一種常用方法，適用于有順序的問題及較復雜問題中基本事件數(shù)的探求；2、求解古典概型的概率“四步”法3、解決有序和無序問題應注意兩點（1）關(guān)于不放回抽樣，計算樣本點個數(shù)時，既可以看做是有順序的，也可以看做是無順序的，其最后結(jié)果是一致的．但不論選擇哪一種方式，觀察的角度必須一致，否則會產(chǎn)生錯誤．（2）關(guān)于有放回抽樣，應注意在連續(xù)取出兩次的過程中，因為先后順序不同，所以（a1，b），（b，a1）不是同一個樣本點．解題的關(guān)鍵是要清楚無論是“不放回抽取”還是“有放回抽取”，每一件產(chǎn)品被取出的機會都是均等的．（一）概率計算【例題】1.在由1、2、3組成的不多于三位的自然數(shù)（可以有重復數(shù)字）中任意取一個，正好抽出兩位自然數(shù)的概率是______.【答案】【解析】【分析】由1、2、3組成的一位自然數(shù)有3個，二位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，由此求得正好抽出兩位自然數(shù)的概率．【詳解】由1、2、3組成的一位自然數(shù)有3個，二位自然數(shù)有個，三位自然數(shù)有個，故正好抽出兩位自然數(shù)的概率是，故答案為：．2.已知甲袋中有2個白球、3個紅球、5個黑球；乙袋中有4個白球、3個紅球、3個黑球，各個球的大小與質(zhì)地相同．若從兩袋中各取一球，則2個球顏色不同的概率為_____．【答案】##0.68【解析】【分析】找出基本事件總數(shù)和滿足條件的基本事件數(shù)，根據(jù)古典概型公式求解即可.【詳解】由題，甲袋中共有10個球，乙袋中共有10個球，則從兩袋中各取一球，基本事件總數(shù)為，取出的2個球顏色不同，可能為：（甲白，乙紅），（甲白，乙黑），（甲紅，乙白），（甲紅，乙黑），（甲黑，乙白），（甲黑，乙紅），則2個球顏色不同的基本事件數(shù)為，所以，故答案為：【練習題】3.盲盒是指消費者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有種玩偶，小明依次購買個盲盒，則他能集齊這種玩偶的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)兩種玩偶對應的盲盒分別為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)兩種玩偶對應的盲盒分別為、，小明依次購買個盲盒，所有的基本事件有：、、、，、、、，共種，其中，事件“這種玩偶齊全”所包含的基本事件有：、、，、、，共種，故所求概率為.故選：D.4.一個籠子里有只白兔，只灰兔，現(xiàn)讓它們一一跑出籠子，假設(shè)每一只跑出籠子的概率相同，則先跑出籠子的兩只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用列舉法和古典概型的概率公式計算可得結(jié)果.【詳解】設(shè)只白兔為，只灰兔為，則所有基本事件為：，，,,,,,,,,共有個，其中先跑出籠子的兩只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有：,,,,,,共個，所以所求事件的概率為：.故選：A5.為了活躍網(wǎng)課氣氛，某老師安排甲乙兩同學玩錘頭?剪刀?布的猜拳游戲，贏了的同學要講一個數(shù)學小故事，假設(shè)兩人都隨機出拳，共進行兩次游戲，則第一次游戲甲不講故事的概率為__________，兩次游戲甲乙恰好各講了一個數(shù)學小故事的概率為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】由列舉法結(jié)合概率公式得出第一空，再由獨立事件的乘法公式得出第二空.【詳解】因為甲有3種不同的出拳方法，乙同樣也有3種不同的出拳方法，樣本空間{（錘子，錘子），（錘子，剪刀），（錘子，布），（剪刀，錘子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，錘子），（布，剪刀），（布，布）}，共有9個樣本點.即每次游戲甲不講故事的概率為，乙不講故事的概率為，則第一次游戲甲不講故事的概率為，兩次游戲甲乙恰好各講了一個數(shù)學小故事，說明“第一次甲講故事，第二次乙講故事”或“第一次乙講故事，第二次甲講故事”，則兩次游戲甲乙恰好各講了一個數(shù)學小故事的概率為.故答案為：；.（二）有放回抽樣與無放回抽樣【例題】6.一個口袋中有5個紅球，6個黃球，除了顏色外其他沒有區(qū)別．求：（1）若不放回的抽取兩球，均為紅球的概率；（2）若放回的抽取兩球，均不是紅球的概率．【答案】（1）（2）【解析】分析】利用計數(shù)原理及古典概型公式求解即可.【小問1詳解】不放回的抽取兩球的情況有：11×10＝110種，其中抽取的兩球均為紅球的情況有：5×4＝20種，所以，不放回的抽取兩球，均為紅球的概率為；【小問2詳解】放回的抽取兩球的情況有：11×11＝121種，其中抽取的兩球均不是紅球的情況有：6×6＝36種，所以，放回的抽取兩球，均不是紅球的概率為.【練習題】7.一個信箱里裝有標號為1，2，3，4的4封大小完全相同的信件，先后隨機地選取2封信，根據(jù)下列條件，分別求2封信上的數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率.（1）信的選取是無放回的；（2）信的選取是有放回的.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)“無放回”選取，利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式、對立事件概率計算公式，計算出正確答案.（2）根據(jù)“有放回”選取，利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式計算出正確答案.【小問1詳解】記事件為“選取的2封信上的數(shù)字為相鄰整數(shù)”．從4封信中無放回地隨機選取2封，則試驗的樣本空間{（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3）}，共有12個樣本點，這12個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的，{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6個樣本點．由古典概型的概率計算公式知，故無放回地選取2封信，這2封信上數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率為.【小問2詳解】從4封信中有放回地隨機選取2封，則試驗的樣本空間{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）}，共有16個樣本點，這16個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的．{（1，2），（2，1），（2，3），（3，2），（3，4），（4，3）}，包含6個樣本點，且這6個樣本點出現(xiàn)的可能性是相等的．由古典概型的概率計算公式知，故有放回地選取2封信，這2封信上數(shù)字為不相鄰整數(shù)的概率為.8.一個盒中裝有編號分別為1，2，3，4的四個形狀大小和質(zhì)地完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，求“取出的兩球編號之和大于4”的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號x，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號y，求事件“”發(fā)生的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）列舉出從盒中任取兩球的所有等可能基本事件，再列出取出的兩球編號之和大于4的事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；（2）列出有放回地連續(xù)抽取兩球的所有等可能基本事件，列出事件“”發(fā)生的所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案.【小問1詳解】從盒中任取兩球的所有等可能基本事件有：，，，，，，共6個，記取出的兩球編號之和大于4的事件為A，則事件A包含，，，，共4個等可能基本事件所以;答：從盒中任取兩球，取出兩球編號之和大于4的概率為【小問2詳解】有放回地連續(xù)抽取兩球的所有等可能基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共16個，記的事件為B，則事件B包含，，，，，，，，，，，，，共14個等可能基本事件,所以,答：事件“”發(fā)生的概率為.9.某商場做促銷活動，顧客每購滿100元可抽獎一次．在一個口袋內(nèi)裝有除顏色外其余完全相同的5個小球，其中3個紅球、1個黑球、1個黃球．某顧客購滿100元，可抽獎一次．（1）若從中依次不放回地取出2個球，取出的球中有黃球，則送一件價值10元的禮品，求這位顧客能獲得一件價值10元的禮品的概率；（2）若從口袋中連續(xù)取兩次球，每次取1個球后放回，當取出的2個球中沒有紅球時，送一件價值50元的禮品，問這位顧客獲得一件價值50元的禮品的可能性會超過20%嗎？【答案】（1）（2）不會超過20%【解析】【分析】（1）設(shè)3個紅球的編號為1,2,3，黑球為，黃球為，寫出一次性摸出2個球的所有可能，結(jié)合古典概型公式即可求解.（2）寫出從袋中連續(xù)取兩次球，每次取一球后放回，則所有包含的基本事件，結(jié)合古典概型概率公式，從而可求出取出的兩個球中沒有紅球，即可判斷.【小問1詳解】3個紅球的分別記為1，2，3，1個黑球記為a，1個黃球記為b．從袋中依次不放回地取出2個球，所包含的樣本點為（1，2），（1，3），（2，3），（1，a），（2，a），（3，a），（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（2，1），（3，1），（3，2），（a，1），（a，2），（a，3），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共20個，有黃球的樣本點為（1，b），（2，b），（3，b），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），共8個，所以這位顧客能獲得一件價值10元的禮品的概率為．【小問2詳解】從袋中連續(xù)取兩次球，每次取1球后放回，所包含的樣本點為（1，1），（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，1），（2，2），（2，3），（2，a），（2，b），（3，1），（3，2），（3，3），（3，a），（3，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，a），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（b，a），（b，b），共25個，取出的2個球中沒有紅球的樣本點為（a，a），（a，b），（b，a），（b，b），共4個，所以這位顧客能獲得一件價值50元的禮品的概率為，所以這位顧客獲得一件價值50元的商品的可能性不會超過20%．10.一個盒中裝有紅、白兩種顏色的玻璃球，其中紅球3個，白球2個．（1）若一次從盒中隨機取出2個玻璃球，求至少取到一個白色球的概率；（2）依次從盒中隨機取球，每次取一個，取后不放回．當某種顏色的球全部取出后即停止取球．求最后一次取出的是紅色玻璃球的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）給5個球編號，利用古典概率公式結(jié)合列舉法求解作答.（2）求出最后取出紅球和取出白球的不同取法數(shù)，再利用古典概率公式計算作答.【小問1詳解】記3個紅球為，2個白球為，從盒中一次取出2個玻璃球，不同結(jié)果有：，共10個，至少取到一個白色球的不同結(jié)果有：，共7個，所以至少取到一個白色球的概率.【小問2詳解】依題意，紅球全部取出后停止取球有：取球三次有1種方法；取球四次，則前三次取白球一次，有3種方法，因此，紅球全部取出后停止取球的不同方法有4種，白球全部取出后停止取球有：取球兩次有1種方法；取球三次，則前兩次取紅球一次，有2種方法；取球四次，則前三次取紅球兩次，有3種方法，因此，白球全部取出后停止取球的不同方法有6種，從而，當某種顏色的球全部取出后即停止取球的不同取法數(shù)是10，所以，最后一次取出的是紅色玻璃球的概率.【易錯題小練習】11.袋中共有4個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、1個白球和2個黑球.從袋中任取兩球，則兩球顏色為一白一黑的概率為______；【答案】【解析】【分析】利用列舉法求出任取兩球的基本事件個數(shù)，再求出一白一黑的基本事件個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】記1個紅球為，1個白球為，2個黑球為,從袋中任取兩球的基本事件為，，，，，，共種；兩球顏色為一白一黑的為，，共種，所以兩球顏色為一白一黑概率為.故答案為：【點睛】本題考查了古典概型的概率計算公式、列舉法求基本事件個數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.12.一只口袋裝有形狀大小都相同的只小球，其中只白球，只紅球，只黃球，從中隨機摸出只球，試求（1）只球都是紅球的概率（2）只球同色的概率（3）“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的幾倍？【答案】（1）（2）（3）8【解析】【分析】記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，用列舉法得出從中隨機取2只的所有結(jié)果；（1）列舉只球都是紅球的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可得結(jié)論；

（2）列舉只球同色的種數(shù)，利用古典概型概率公式，可得結(jié)論；

（3）求出恰有一只是白球的概率，只球都是白球的概率，可得結(jié)論．【詳解】解：記兩只白球分別為，；兩只紅球分別為，；兩只黃球分別為，從中隨機取2只的所有結(jié)果為，，，，，，，，，，，，，，共15種（1）只球都是紅球為共1種，概率（2）只球同色的有：，，，共3種，概率（3）恰有一只是白球的有：，，，，，，，，共8種，概率;只球都是白球的有：，概率所以：“恰有一只是白球”是“只球都是白球”的概率的8倍【點睛】本題考查概率的計算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生的計算能力，屬于中檔題．1．求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：（1）首先確定各事件之間是相互獨立的；（2）確定這些事件可以同時發(fā)生；（3）求出每個事件的概率，再求積．2．使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．（一）相互獨立事件的判斷【例題】13.已知下列各組事件：①擲一次骰子，事件A：點數(shù)為奇數(shù)，事件B：點數(shù)為偶數(shù)；②擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：兩次正面都朝上；③從10男10女中選兩個人分別擔任正副班長，事件A：正班長是男的，事件B：副班長是男的；④擲兩次硬幣，事件A：第一次正面朝上，事件B：第二次反面朝上．其中A、B是獨立事件的序號是______.【答案】④【解析】【分析】若事件與相互獨立，則必須滿足，根據(jù)此公式對選項逐一判斷即可得出結(jié)果．【詳解】對于①，因為，而，此時，所以事件與不獨立；對于②，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則，而，此時，所以事件與不獨立；對于③，因為，而，此時，所以事件與不獨立；對于④，擲兩次硬幣，可能的結(jié)果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則，而，此時，所以事件與相互獨立，綜上可知，A、B是獨立事件的序號為④．故答案為：④．14.若，，，則事件A與B的關(guān)系是（）A.互斥但不對立 B.對立C.相互獨立 D.既互斥又獨立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)獨立事件的乘法公式判斷獨立性，根據(jù)互斥事件的定義判斷是否互斥．詳解】∵，∴，∴，∴事件A與B相互獨立，題中事件A與B可以同時發(fā)生，它們既不互斥也不對立.故選：C．【練習題】15.同時擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”，則（）A.A與C互斥 B.B與D對立 C.A與相互獨立 D.B與C相互獨立【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)互斥的意義判定A；利用對立事件定義判斷B；利用獨立事件的概率公式判斷C、D.【詳解】事件A：兩枚骰子的點數(shù)之和為5，則為（1,4）（4,1）（2,3）（3,2）事件C：表示“兩枚骰子的點數(shù)相同，則為（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）故事件A與事件C互斥，所以A正確；事件中與事件D會出現(xiàn)相同的情況，例如（2,1）（4,3）等故事件中與事件D不對立，故B不正確；事件D表示“至少一枚骰子的點數(shù)是奇數(shù)”事件D的對立事件表示“擲出的點數(shù)都是偶數(shù)點”所以,,所以故C不正確；,,所以故D正確；故選：AD.16.袋中裝有質(zhì)地均勻的紅、白色球各一個，每次取一個，有放回地抽取兩次，設(shè)事件“第一次取到紅球”，事件“第二次取到紅球”，下列說法正確的是（）A.與為對立事件 B.C.與相互獨立 D.與為互斥事件【答案】BCD【解析】【分析】由對立事件、互斥事件、獨立事件及古典概率依次判斷即可.【詳解】對于A，事件“第二次取到白球”，顯然與可以同時發(fā)生，則與不是對立事件，A錯誤；對于B，，則，B正確；對于C，由于是有放回地抽取兩次，顯然第一次取到的球和第二次取到的球相互獨立，即與相互獨立，C正確；對于D，“第一次取到紅球，第二次取到紅球”；“第一次取到白球，第二次取到白球”，顯然不能同時發(fā)生，為互斥事件，D正確.故選：BCD.17.某商場推出抽獎活動，在甲抽獎箱中有四張有獎獎票.六張無獎獎票；乙抽獎箱中有三張有獎獎票，七張無獎獎票.每人能在甲乙兩箱中各抽一次，以A表示在甲抽獎箱中中獎的事件，B表示在乙抽獎箱中中獎的事件，C表示兩次抽獎均末中獎的事件.下列結(jié)論中不正確的是（）A. B.事件A與事件相互獨立C.與和為 D.事件A與事件B互斥【答案】D【解析】【分析】分別求出，，進一步求出與，從而判斷AC選項，在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，判斷BD選項.【詳解】，在甲抽獎箱抽獎和在乙抽獎箱抽獎互不影響，故事件A和事件B相互獨立，B項正確，故A正確，故C正確事件A與事件B相互獨立而非互斥，故D錯誤.故選：D.（二）相互獨立事件概率的計算【例題】18.已知甲的投籃命中率為0.6，乙的投籃命中率為0.7，丙的投籃命中率為0.5，求：（1）甲，乙，丙各投籃一次，三人都命中的概率；（2）甲，乙，丙各投籃一次，恰有兩人命中的概率；（3）甲，乙，丙各投籃一次，至少有一人命中的概率．【答案】（1）0.21；（2）0.44；（3）0.94.【解析】【分析】（1）根據(jù)概率乘法得三人都命中概率為；（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三種情況討論，結(jié)合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正難則反的原則，求出其對立事件即三人全未命中的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式求解即可.【小問1詳解】設(shè)事件：甲投籃命中;事件：乙投籃命中;事件：丙投籃命中.甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率.所以甲,乙,丙各投籃一次,三人都命中的概率為0.21.【小問2詳解】設(shè)事件:恰有兩人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,恰有兩人命中的概率為0.44.【小問3詳解】設(shè)事件:至少有一人命中.所以所以甲,乙,丙各投籃一次,至少有一人命中的概率為0.94.19.已知某著名高校今年綜合評價招生分兩步進行：第一步是材料初審，若材料初審不合格，則不能進入第二步面試；若材料初審合格，則進入第二步面試．只有面試合格者，才能獲得該高校綜合評價的錄取資格，且材料初審與面試之間相互獨立，現(xiàn)有甲、乙、丙三名考生報名參加該高校的綜合評價，假設(shè)甲、乙，丙三名考生材料初審合格的概率分別是，，，面試合格的概率分別是，，．（1）求甲考生獲得該高校綜合評價錄取資格的概率；（2）求甲、乙兩位考生中有且只有一位考生獲得該高校綜合評價錄取資格的概率；（3）求三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄取資格的概率．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】設(shè)事件A、B、C分別為“甲、乙、丙獲得該高校綜合評價錄取資格”，根據(jù)獨立事件概率計算方法可直接求出、、.由此可得(1)題答案，(2)題概率為，(3)題可先計算其對立事件概率從而求解．【小問1詳解】設(shè)事件表示“甲獲得該高校綜合評價錄取資格”，則；【小問2詳解】設(shè)事件表示“乙獲得該高校綜合評價錄取資格”，則，則甲、乙兩位考生有且只有一位考生獲得該高校綜合評價錄取資格的概率為：；【小問3詳解】設(shè)事件表示“丙獲得該高校綜合評價錄取資格”，則，三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄取資格的對立事件是三人都沒有獲得該高校綜合評價錄取資格，三人中至少有一人獲得該高校綜合評價錄取資格的概率為：．【練習題】20.已知甲運動員的投籃命中率為0.8，乙運動員投籃命中率為0.7，甲、乙各投籃一次．設(shè)事件A為“甲投中”，事件B為“乙投中”．（1）求甲、乙二人中恰有一人投中的概率；（2）求甲、乙二人中至少有一人投中的概率．【答案】（1）0.38；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)互斥事件求和公式及獨立事件的乘法公式即得；（2）根據(jù)對立事件的概率公式及獨立事件的乘法公式即得.【小問1詳解】由題可得，，則，所以甲、乙二人中恰有一人投中的概率為；；【小問2詳解】由題可得甲、乙二人都沒有投中的概率為，所以甲、乙二人中至少有一人投中的概率為.21.某中學為了豐富學生的業(yè)余生活，開展了一系列文體活動，其中一項是同學們最感興趣的3對3籃球?qū)官?，現(xiàn)有甲、乙兩隊進行比賽，已知甲隊每場獲勝的概率為，且各場比賽互不影響．（1）若采用三局兩勝制進行比賽（即先勝兩局者贏得比賽，同時比賽結(jié)束），求甲隊獲勝的概率；（2）若采用五局三勝制進行比賽（即先勝三局者贏得比賽，同時比賽結(jié)束），求乙隊在第四場比賽后即獲得勝利的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）三局兩勝制甲勝，則包括三個基本事件，甲勝前兩場比賽，第一或第二場比賽甲輸了，其他兩場比賽贏了，根據(jù)相互獨立事件的概率計算公式計算可得.（2）五局三勝制，乙隊在第四場比賽后即獲得勝利，即第四場比賽乙贏，前三場比賽乙贏了二場比賽，根據(jù)相互獨立事件的概率公式計算可得.【小問1詳解】設(shè)表示甲隊在第場比賽獲勝．則事件甲隊獲勝可表示為，所以事件甲隊獲勝的概率，所以．小問2詳解】設(shè)表示甲隊在第場比賽獲勝，則事件乙隊在第四場比賽后獲勝可表示為，所以事件乙隊在第四場比賽后獲勝的概率為，所以所以，22.某停車場臨時停車按停車時長收費，收費標準為每輛汽車一次停車不超過半小時的免費，超過半小時的部分每小時收費3元（不足1小時的部分按1小時計算）.現(xiàn)有甲?乙兩人在該停車場臨時停車，兩人停車時長互不影響且都不超過2.5小時.（1）若甲停車的時長在不超過半小時，半小時以上且不超過1.5小時，1.5小時以上且不超過2.5小時這三個時段的可能性相同，乙停車的時長在這三個時段的可能性也相同，求甲?乙兩人停車付費之和為6元的概率；（2）若甲?乙停車半小時以上且不超過1.5小時的概率分別為，，停車1.5小時以上且不超過2.5小時的概率分別為，，求甲?乙兩人臨時停車付費不相同的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及列舉法寫出基本事件，結(jié)合古典概型的計算公式即可求解；（2）根據(jù)互斥事件及相互獨立事件的概率公式，結(jié)合對立事件的概率計算公式即可求解.【小問1詳解】設(shè)甲停車付費a元，乙停車付費b元，其中a，.所以甲?乙兩人停車付費（a，b）的所有可能情況為：（0，0），（0，3），（0，6），（3，0），（3，3），（3，6），（6，0），（6，3），（6，6），共9種.其中事件“甲?乙兩人停車付費之和為6元”包含（0，6），（3，3），（6，0），共3種情況，故甲?乙兩人停車付費之和為6元的概率為.【小問2詳解】設(shè)甲停車的時長不超過半小時?乙停車的時長不超過半小時分別為事件，，甲停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時?乙停車的時長在半小時以上且不超過1.5小時分別為事件，，甲停車的時長為1.5小時以上且不超過2.5小時?乙停車的時長在1.5小時以上且不超過2.5小時分別為事件，，則，，所以甲?乙兩人臨時停車付費相同的概率為.所以甲?乙兩人臨時停車付費不相同的概率為.【例題】23.某校高一年級組織學科活動競賽，現(xiàn)隨機抽取了100名學生進行成績統(tǒng)計，成績的頻率分布直方圖如圖所示，數(shù)據(jù)的分組依次為：、、、、、．（1）求a的值及這100名學生成績的眾數(shù)；（2）若采用分層抽樣的方法，從成績在和內(nèi)的學生中共抽取7人，查看他們的答題情況來分析知識點上的缺漏，再從中隨機選取2人進行調(diào)查分析，求這2人中恰好有1人成績在內(nèi)的概率．【答案】（1）,眾數(shù)為75.（2）【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖直接求解；（2）利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】，眾數(shù)為75.【小問2詳解】設(shè)這2人中恰好有1人成績在內(nèi)為事件，由題設(shè)可知，成績在和內(nèi)的頻率為0.20,0.15，則抽取的7人中，成績在的人數(shù)為4，成績在內(nèi)的學生數(shù)為3，記成績在得4位同學分別為，成績在得3位同學分別為，則從7人中，任取2人，基本事件有：共21個，其中事件包含的基本事件有共12個，所以這2人中恰好有1人成績在內(nèi)的概率為.【練習題】24.從某網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中抽取400部，統(tǒng)計其評分數(shù)據(jù)，將所得400個評分數(shù)據(jù)分為8組：、、…、，并整理得到如下的頻率分布直方圖．（1）從該網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中隨機抽取1部，估計評分不小于90分的概率；（2）用分層抽樣的方式從評分不小于90分的影視作品中隨機抽取5部作為樣本，設(shè)x為評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量，求x的值；（3）從（2）得到的樣本中隨機抽取2部影視作品提供給學生寒假觀看，求兩部影視作品的評分都在區(qū)間的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率估計概率，計算評分不小于90分的頻率即可；（2）根據(jù)分層抽樣計算即可；（3）結(jié)合（2），列舉基本事件，根據(jù)古典概型公式求解即可.【小問1詳解】解：由頻率分布直方圖可知，評分不小于90分的頻率為，所以，根據(jù)頻率估計概率，該網(wǎng)絡(luò)平臺推薦的影視作品中隨機抽取1部，估計評分不小于90分的概率為【小問2詳解】解：由頻率分布直方圖可知，評分在之間的有部，評分在之間的有部，所以，用分層抽樣的方式從評分不小于90分的影視作品中隨機抽取5部作為樣本，評分在有部，評分在之間的有部，所以，評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量的值為.【小問3詳解】解：由（2）知，記評分在的部影片為，評分在之間的部影片為，所以，樣本中隨機抽取2部影視作品提供給學生寒假觀看，可能的情況有：，共10種，其中，兩部影視作品的評分都在區(qū)間的情況有，共3種，所以，兩部影視作品的評分都在區(qū)間的概率為25.某區(qū)政府組織了以“不忘初心，牢記使命”為主題的教育活動，為統(tǒng)計全區(qū)黨員干部一周參與主題教育活動的時間，從全區(qū)的黨員干部中隨機抽取n名，獲得了他們一周參與主題教育活動時間(單位：h)的頻率分布直方圖如圖所示，已知參與主題教育活動時間在內(nèi)的人數(shù)為92.（1）求n的值.（2）以每組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點值作為本組的代表，估算這些黨員干部參與主題教育活動時間的平均值以及中位數(shù)(中位數(shù)精確到0.01).（3）如果計劃對參與主題教育活動時間在內(nèi)的黨員干部給予獎勵，且在內(nèi)的分別評為二等獎和一等獎，那么按照分層抽樣的方法從獲得一、二等獎的黨員干部中選取5人參加社區(qū)義務宣講活動，再從這5人中隨機抽取2人作為主宣講人，求這2人均是二等獎的概率.【答案】（1）200；（2）13.64；13.83；（3）.【解析】【分析】（1）先由頻率分布直方圖可知每一組的頻率和為1，列方程求出的值，從而可得的頻率，進而可求出n的值；（2）用每一組的中間值乘以其對應的頻率，再把所得的積相加可得平均值，由頻率分布直方圖可知中位數(shù)在第3組，若設(shè)中位數(shù)為x，則，解方程可得中位數(shù)；（3）先利用分層抽樣的方法計算出從和所選的人數(shù)，然后利用列舉法列出從這5人中隨機抽取2人的所有情況，進而可求出概率【詳解】（1）由已知可得，.則，得.（2）這些黨員干部參與主題教育活動時間的平均值為：設(shè)中位數(shù)為x，則，得.（3）按照分層抽樣的方法從內(nèi)選取的人數(shù)為，從內(nèi)選取的人數(shù)為.記二等獎的4人分別為，一等獎的1人為A，事件E為“從這5人中抽取2人作為主宣講人，且這2人均是二等獎”.從這5人中隨機抽取2人的基本事件為，，共10種，其中2人均是二等獎的情況有，，共6種，由古典概型的概率計算公式得.【點睛】此題考查由頻率分布直方圖求平均數(shù)和中位數(shù)，考查分層抽樣，考查古典概型的概率計算，考查分析問題的能力，屬于中檔題26.近年來，在新高考改革中，打破文理分科的“3＋3模式初露端倪，其中，語、數(shù)、英三門為必考科目，剩下三門為選考科目（物理、化學、生物、政治、歷史、地理）．選考科目采用賦分”，即原始分不直接使用，而是按照學生在本科目考試的排名來劃分等級，并以此打分得到最后的得分，假定某省規(guī)定：選考科目按考生原始分數(shù)從高到低排列，按照占總體15%，35%，35%，13%和2%劃定A、B、C、D、E五個等級，并分別賦分為90分、80分、70分、60分和50分．該省某高中高一（1）班（共40人）進行了一次模擬考試選考科目全考，單科全班排名，（已知這次模擬考試中歷史成績滿分100分）的頻率分布直方圖和地理成績的成績單如下所示，李雷同學這次考試地理70多分．地理成績4044435253536161626364

6571727373737475757676777882838385858586868888899192939396（1）采用賦分制前，求該班同學歷史成績的平均數(shù)與中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果精確到0.01）；（2）采用賦分制后，若李雷同學地理成績的最終得分為80分，那么他地理成績的原始分的所有可能值是多少?（3）若韓梅同學必選歷史，從地理、政治、物理、化學、生物五科中等可能地任選兩科，則她選考科目中包含地理的概率是多少?【答案】（1）平均數(shù)76.5，中位數(shù)為77.14.（2）可能的原始分數(shù)為76,77,78.（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算平均數(shù)，先找出中位數(shù)所在的組，設(shè)出來，列出方程解出即可；（2）計算成績應該在名和名之間，即到之間，得到分數(shù)；（3）列舉所有情況，統(tǒng)計滿足條件的個數(shù)，得到概率；【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，采用賦分制前，該班同學歷史成績的平均數(shù)為：（分），由，所以該班同學歷史成績的中位數(shù)在70與80，設(shè)為，則，【小問2詳解】采用賦分制后，李雷同學地理成績的最終得分為80分，，，故成績在名和名（包含7、20名）之間，即到之間，又因為其地理70多分，故可能的原始分數(shù)為76,77,78.【小問3詳解】記地理、政治、物理、化學、生物分別為，共有10種情況，滿足條件的有4種，故所求概率為：.27.珠算是以算盤為工具進行數(shù)字計算的一種方法，2013年年底聯(lián)合國教科文組織將中國珠算項目列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．算盤的每個檔（掛珠的桿）上有7顆算珠，用梁隔開，梁上面的兩顆珠叫“上珠”，下面的5顆叫“下珠”，從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】計算古典概型概率即可.【詳解】總共14顆算珠，其中上珠4顆，故從最右邊兩檔的14顆算珠中任取1顆，則這一顆是上珠的概率為.故選：C28.《易經(jīng)》是中國文化中的精髓，如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（表示一根陽線，表示一根陰線），從八卦中任取兩卦，這兩卦中陽線之和為的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先得到根陽線的有一卦，根陽線的有三卦，根陽線的有三卦，根陽線的有一卦，再求出基本事件總數(shù)，與滿足條件的事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】解：由圖可知有根陽線的有一卦，根陽線的有三卦，根陽線的有三卦，根陽線的有一卦，記根陽線的分別為、、，根陽線的分別為、、，根陽線的為，從八