平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（學(xué)生版）

6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示模塊一：平面向量基本定理一、知識(shí)點(diǎn)回顧1．平面向量基本定理如果是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使.若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.注：①基底：同一平面內(nèi)的不共線兩個(gè)向量，可作為一組基底.②可將任一向量a在給出基底的條件下進(jìn)行分解——平面內(nèi)的任一向量都可以用平面內(nèi)任意不共線的兩個(gè)向量線性表示.2．用平面向量基本定理解決問題的一般思路①選擇一組基底；②運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式；③通過向量的運(yùn)算來解決.注：同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解都是唯一的.題型歸納【題型1基底的概念】【例題1】設(shè)是不共線的兩個(gè)非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．與C．與 D．與【變式11】（多選）設(shè)，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則以下，可作為該平面內(nèi)一組基的是（

）A．， B．，C．， D．，【變式12】（多選）若是平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面內(nèi)所有向量的基底的是（

）A． B．C． D．【題型2用基底表示向量】【例題2】如圖，在中，為靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，為的中點(diǎn)，設(shè)，以向量為基底，則向量（

）A． B． C． D．【變式21】如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)，則（

）

A． B．C． D．【變式22】如圖，在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．【題型3三點(diǎn)共線求參數(shù)問題】【例題3.1】如圖在△ABC，，P是BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B． C． D．【變式3.11】在中，，是線段上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【變式3.12】如圖，中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，AM與CN交于點(diǎn)D，，則（

）A． B． C． D．【變式3.13】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)三等分點(diǎn)，且，若，則（

）A．1 B． C． D．*【例題3.2】如圖，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與AB?AC兩邊交于M?N兩點(diǎn)（M?N與B?C不重合），設(shè)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．*【變式3.21】已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過點(diǎn)G作直線分別與兩邊交于兩點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），設(shè)，，則的最小值為（）A．1 B． C．2 D．*【變式3.22】在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．7*【變式3.23】已知，分別是的邊，上的點(diǎn)，且滿足，．為直線與直線的交點(diǎn)．若（，為實(shí)數(shù)），則的值為（

）A．1 B． C． D．**【例題3.3】如圖，平行四邊形中，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)且.（1）若，求的值；（2）延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，在線段上（包含端點(diǎn)），若，求的取值范圍.**【變式3.31】如圖，在梯形中，，、是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，是的兩個(gè)三等分點(diǎn)，線段上一動(dòng)點(diǎn)滿足.分別交、于，兩點(diǎn)，記，.

(1)當(dāng)時(shí)，用，表示；(2)若，求的最大值.**【變式3.32】如圖，在直角梯形中，//，，，為上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)用和表示；(2)設(shè)，求的取值范圍．

模塊一：平面向量的坐標(biāo)表示一、知識(shí)點(diǎn)回顧1．平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示(1)正交分解不共線的兩個(gè)向量相互垂直是一種重要的情形，把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.(2)向量的坐標(biāo)表示如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為，取作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得.這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作.其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)（橫），y叫做a在y軸上的坐標(biāo)（縱），（x,y）叫做向量a的坐標(biāo)表示.

顯然，，，.(3)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的關(guān)系區(qū)別表示形

式不同向量中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x,y)中間沒有等號(hào).意義

不同點(diǎn)A(x,y)的坐標(biāo)(x,y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，的坐標(biāo)(x,y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外，(x,y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x,y)或向量(x,y).聯(lián)系向量的坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)不一定相同.當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同.2．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示(1)兩個(gè)向量和（差）的坐標(biāo)表示由于向量，等價(jià)于，，所以，即.同理得.

這就是說，兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差).(2)向量數(shù)乘的坐標(biāo)表示由，可得，則，即.

這就是說，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo).

3．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示由于向量，等價(jià)于，，所以.又，，，所以.

這就是說，兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.(2)平面向量長(zhǎng)度（模）的坐標(biāo)表示若，則或.

其含義是：向量a的長(zhǎng)度(模)等于向量a的橫、縱坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.

如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，那么，.

4．平面向量位置關(guān)系的坐標(biāo)表示(1)共線的坐標(biāo)表示①兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中.我們知道，共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使.如果用坐標(biāo)表示，可寫為，即，消去λ，得.這就是說，向量共線的充要條件是.②三點(diǎn)共線的坐標(biāo)表示若，，三點(diǎn)共線，則有，從而，即，

或由得到，

或由得到.

由此可知，當(dāng)這些條件中有一個(gè)成立時(shí)，A,B,C三點(diǎn)共線.

(2)夾角的坐標(biāo)表示設(shè)都是非零向量，，，θ是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示可得.(3)垂直的坐標(biāo)表示設(shè)，，則.

即兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們相應(yīng)坐標(biāo)乘積的和為0.5．平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).(2)解題過程中，若題目沒有坐標(biāo)，可建立坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算.二、題型歸納【題型4平面向量的坐標(biāo)表示】【例題4】點(diǎn)，,則向量＝（

）A． B． C． D．【變式41】已知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【變式42】若向量，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【變式43】設(shè)若向量，且點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型5向量共線、垂直的坐標(biāo)表示】【例題5】已知向量.若，則（

）A．1 B．2 C． D．【變式51】已知平面向量.若，則（

）A．或1 B． C．1 D．2【變式52】已知平面向量，，，若，，則實(shí)數(shù)與的和為(

)A．6 B． C．2 D．【變式53】已知平面向量，，，若，，則（

）A．6 B． C．2 D．【題型6平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示】【例題6.1】已知平面向量，，則（

）A． B． C．1 D．5【變式6.11】已知向量，，則．【變式6.12】已知向量，則．【變式6.13】已知圓O為長(zhǎng)方形ABCD的外接圓，，，若點(diǎn)P是該圓上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4*【例題6.2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．3*【變式6.21】菱形邊長(zhǎng)為，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【題型7向量夾角的坐標(biāo)表示】【例題7.1】在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，則（

）A． B． C． D．【變式7.11】設(shè)向量與的夾角為，且，，則.【變式7.12】設(shè)向量的夾角為，且，則．【變式7.13】平面向量，，，且與的夾角等于與的夾角，則.*【例題7.2】已知向量，若的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．*【變式7.21】已知向量，若與所成的角為銳角，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【題型8坐標(biāo)計(jì)算向量的?！俊纠}8.1】已知向量，，，則＝（

）A． B．5 C． D．7【變式8.11】已知平面向量，滿足，，，則A． B． C． D．【變式8.12】已知向量，，且，則（

）A．或 B．2或－1 C． D．*【例題8.2】設(shè)向量，，若，，則的最小值為（）A． B．1C． D．*【變式8.21】如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B．5 C． D．7【題型9坐標(biāo)計(jì)算向量的投影向量】【例題9】已知向量，，若，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式91】已知向量，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【變式92】（多選）已知向量，，且向量滿足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B．C． D．【題型10向量坐標(biāo)運(yùn)算與三角函數(shù)】*【例題10】已知向量，且，其中．（1）求的值；*（2）若，求的值．【變式101】已知向量，，，其中.（1）若，求的值；*（2）若，，且，求的值.【變式102】已知向量與，其中．（1）若，求的值；*（2）記函數(shù)，且，求的值．

課后拔高練習(xí)1.【變式23】如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，設(shè)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A． B． C． D．2.【變式3.14】如圖所示，平行四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，若，則等于（

）A．1 B． C． D．3.【變式3.15】如圖，在平行四邊形中，，，與交于點(diǎn).設(shè)，，若，則（

）A． B． C． D．4.【變式3.24】如圖，已知點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別與，兩邊交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，則的最小值為（

）A． B．4 C． D．35.【變式54】已知向量，不共線，，，若，則